Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$. Do đó $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin x\in [-1;1]$ với mọi $x$ mà $\pi \approx 3,14>1$ nên phương trình $\sin x=\pi$ vô nghiệm. Các phương trình còn lại đều có nghiệm: $\cot x=\sqrt{2}$ có nghiệm $x=\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}+k\pi$; $\cos x=\frac{2017}{2018}$ có nghiệm vì $\left|\frac{2017}{2018}\right|<1$; $\tan x=2018$ luôn có nghiệm với mọi giá trị thực. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm tổng quát: $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Thật vậy, hai góc có cùng sin khi chúng bằng nhau cộng bội của $2\pi$, hoặc bù nhau đến $\pi$ cộng bội của $2\pi$. Điều này khớp với đáp án A và cũng trùng với đáp án của đề (mã đề 1001, Câu 7: A).

Ta có $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$

$\iff \left[\begin{array}{c}2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}-x+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{6}+x+k2\pi \end{array}\right]$

$\iff \left[\begin{array}{c}3x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right]$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right],(k\in \mathbb{Z}).$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ và $x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$.

(Không kết luận vẫn cho điểm tối đa).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=-\sqrt{2}$ suy ra $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ và hàm số $\cos$ là hàm chẵn, chu kì $2\pi$, nên $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $2\cos \frac{3\pi }{4}=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}$ đúng. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 111, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Yêu cầu $-\pi <\frac{\pi }{3}+k\pi <3\pi$, tức $-\frac{4}{3}<k<\frac{8}{3}$, nên $k\in \{-1,0,1,2\}$, cho 4 nghiệm: $x=-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$. Vậy có 4 nghiệm, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$, ta có $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{5\pi }{2}$ cho $\frac{7\pi }{24}\le \frac{k\pi }{2}\le \frac{55\pi }{24}$, tức $\frac{7}{12}\le k\le \frac{55}{12}\approx 4,58$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$. Vậy có 4 nghiệm, khớp với đáp án nguồn.

a. Ta có:
$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$$
$$P={\cos }^{2}2x+{\cos }^{2}x={\left(2{\cos }^{2}x-1\right)}^2+{\cos }^{2}x={\left(2.\frac{24}{25}-1\right)}^2+\frac{24}{25}=\frac{1129}{625}$$
b. Giải phương trình:
$$\cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\frac{1}{2}$$
$$\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$$
$$\iff [<table><tbody><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{8\pi }{15}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{2\pi }{15}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (theo công thức nghiệm của phương trình $\sin x=\sin \alpha$ với $\alpha =\frac{\pi }{2}$). Kiểm tra: với $k=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ đúng; các phương án A, B, C đều sai vì A cho $\sin x=-1$, B và C cho các tập nghiệm khác. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Điều này khớp với đáp án A và khớp với bảng đáp án của đề (mã đề 2512, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}=\cot \frac{\pi }{6}$, nên $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in \left[\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$: $\frac{\pi }{2}\le \frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\le \frac{5\pi }{2}\iff \frac{7}{12}\le k\le \frac{55}{12}$, tức $k\in \{1,2,3,4\}$. Vậy có 4 nghiệm (đúng với đáp án nguồn là 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$, ta có $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{5\pi }{2}$ cho $\frac{\pi }{2}\le \frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\le \frac{5\pi }{2}$, nhân với $\frac{24}{\pi }$: $12\le 5+12k\le 60$, tức $\frac{7}{12}\le k\le \frac{55}{12}$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$. Vậy có 4 nghiệm, khớp với đáp án nguồn (Câu 3, Phần 3: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm số $\sin x$ đạt giá trị 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$ và lặp lại chu kỳ $2\pi$. Kiểm tra: $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$ với mọi $k$. Các phương án khác sai: $x=k\pi$ cho $\sin x=0$; $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ bao gồm cả $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$ nơi $\sin x=-1$; $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ cho $\sin x=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 2511, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$ có điều kiện $\cos x+1\ne 0\iff \cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, nên ý a) đúng. Khi đó $\sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$, ý b) đúng. Trên đoạn $[2\pi ;4\pi ]$: $2\pi \le \frac{k\pi }{3}\le 4\pi \iff 6\le k\le 12$, cho $k=6,7,8,9,10,11,12$ (7 giá trị), nhưng $k=9$ cho $x=3\pi$ với $\cos 3\pi =-1$ bị loại. Vậy phương trình có 6 nghiệm thuộc $[2\pi ;4\pi ]$: $x\in \left\{2\pi ,\frac{7\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{11\pi }{3},4\pi \right\}$, nên ý c) sai (không phải 7 nghiệm). Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{3}(6+7+8+10+11+12)=\frac{54\pi }{3}=18\pi \ne 21\pi$, nên ý d) sai. Kết quả khớp đáp án nguồn DDSS (mã đề 1102).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $\cos x+1\ne 0\iff \cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=\frac{k\pi }{3}\in [2\pi ;4\pi ]$ ta có $k=6,\dots ,12$ (7 giá trị) nhưng $k=9$ cho $x=3\pi$ bị loại do $\cos 3\pi =-1$. Vậy chỉ có 6 nghiệm, không phải 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 6 nghiệm là $\frac{\pi }{3}(6+7+8+10+11+12)=18\pi \ne 21\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$. Vì $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ ta có $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng; $\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng. Vậy tập nghiệm là $\left\{\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, khớp với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 1102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: cos x + 1 ≠ 0 ⟺ cos x ≠ -1 ⟺ x ≠ π + k2π, k∈ℤ → a đúng. sin 3x = 0 ⟺ 3x = kπ ⟺ x = kπ/3, k∈ℤ → b đúng. Trên [2π; 4π]: x = kπ/3 với k = 6,7,...,12 (7 giá trị), nhưng k = 9 cho x = 3π vi phạm điều kiện (cos 3π = -1), nên còn 6 nghiệm → c sai. Tổng các nghiệm: (2π + 7π/3 + ... + 4π) - 3π = 7·(2π+4π)/2 - 3π = 21π - 3π = 18π ≠ 21π → d sai. Kết quả DDSS khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 14).
a) (AI giải đề cho tôi)
cos x + 1 ≠ 0 ⟺ cos x ≠ -1 ⟺ x ≠ π + k2π, k∈ℤ.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin 3x = 0 ⟺ 3x = kπ ⟺ x = kπ/3, k∈ℤ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [2π;4π], x = kπ/3 với k = 6,...,12 (7 giá trị) nhưng x = 3π (k=9) bị loại do cos 3π = -1, nên chỉ có 6 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nghiệm = 7·(2π+4π)/2 - 3π = 21π - 3π = 18π ≠ 21π.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$. Ta có $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \left(\pm \frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1101).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ tương đương với $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm tổng quát của phương trình dạng $\sin x=\sin \alpha$). Kiểm tra: với $x=\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin \alpha$; với $x=\pi -\alpha +k2\pi$ thì $\sin x=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$. Các phương án khác sai vì: B dùng $\pi +\alpha$ (đây là nghiệm của $\sin x=-\sin \alpha$), C dùng chu kỳ $k\pi$ (sin có chu kỳ $2\pi$), D dùng $-\alpha$ (nghiệm của $\cos x=\cos \alpha$). Đáp án khớp với nguồn: A.

a) SAI. b) ĐÚNG. c) ĐÚNG. d) SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Đây chính là phương án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 6: A).