Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=0$ khi và chỉ khi $\sin x=0$ (với $\cos x\ne 0$), tức $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\tan (k\pi )=0$ đúng; các phương án A, C cho $\tan$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; phương án B chỉ là tập con ($k2\pi$) thiếu các nghiệm $x=\pi +k2\pi$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x-m=1\iff \sin x=m+1$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m+1\le 1$, tức $-2\le m\le 0$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải bất phương trình $\sin 2x\ge 0$ với $x\in \left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$. Đặt $t=2x$, khi đó $t\in [0;3\pi ]$. Bất phương trình $\sin t\ge 0$ có nghiệm $t\in [0;\pi ]\cup [2\pi ;3\pi ]$. Suy ra $2x\in [0;\pi ]\cup [2\pi ;3\pi ]$, tức $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$. Kết quả này trùng khớp với đáp án trong nguồn (trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị giao nhau khi $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên $[0,2\pi ]$, $\sin x=\frac{1}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Do hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$, họ nghiệm đầy đủ là $x\in \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng khớp với đáp án của đề (Câu 4, Phần III).

$2\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{3}=0\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$
$\iff \{\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{24}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
Vậy tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{\frac{5\pi }{24}+k\pi ,\frac{\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Ta có độ sâu của mực nước là $7cm$ nên: $h=2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+5=7\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$
$\iff \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff \frac{\pi t}{12}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff t=4+24k(k\in \mathbb{Z})$
Vì $1\le t\le 24\iff 1\le 4+24k\le 24\iff -\frac{1}{8}\le k\le \frac{5}{6},k\in \mathbb{Z}$
Nên k = 0 $\Rightarrow t=4$
Vậy vào lúc 4 giờ thì độ sâu của mực nước là 7cm.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x-m=1\iff \sin x=m+1$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m+1\le 1$, tức là $-2\le m\le 0$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị giao nhau khi $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên $[0,2\pi )$, $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Do $\sin x$ có chu kỳ $2\pi$, họ nghiệm đầy đủ là $x\in \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn ở trang 8 (Câu 4).

$2\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{3}=0\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$
$\iff \{\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{24}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$
Vậy tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{\frac{5\pi }{24}+k\pi ,\frac{\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Ta có độ sâu của mực nước là $7cm$ nên: $h=2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+5=7\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$
$\iff \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff \frac{\pi t}{12}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff t=4+24k(k\in \mathbb{Z})$
Vì $1\le t\le 24\iff 1\le 4+24k\le 24\iff -\frac{1}{8}\le k\le \frac{5}{6},k\in \mathbb{Z}$
Nên k = 0 $\Rightarrow t=4$
Vậy vào lúc 4 giờ thì độ sâu của mực nước là 7cm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 5x+\cos x=2\cos 3x\cos 2x=0$.

Trường hợp 1: $\cos 3x=0\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$. Nghiệm cách đều nhau $\frac{\pi }{3}$, trong khoảng độ dài $100\pi$ nên số nghiệm là $\frac{100\pi }{\pi /3}=300$ (kiểm tra: $-50\pi <\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}<50\pi \Rightarrow -150,5<k<149,5$, tức $k\in \{-150,\dots ,149\}$, đúng 300 giá trị).

Trường hợp 2: $\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Nghiệm cách đều $\frac{\pi }{2}$, số nghiệm là $\frac{100\pi }{\pi /2}=200$ (kiểm tra: $-100,5<k<99,5$, tức $k\in \{-100,\dots ,99\}$, đúng 200 giá trị).

Hai họ nghiệm không trùng nhau (nếu trùng thì $\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}$ suy ra $4k-6m=1$, vô nghiệm nguyên). Vậy tổng số nghiệm là $300+200=500$, trùng với đáp án của đề.

* $\cos \left(2x+20^{\circ }\right)=\cos \left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}2x+20^{\circ }=90-15^{\circ }+k360^{\circ }\\ 2x+20^{\circ }=-\left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)+k360^{\circ }\end{array}$ — 0,5

* $\{\begin{array}{l}x={\left(\frac{55}{2}\right)}^{\circ }+k180^{\circ }\\ x={\left(-\frac{95}{2}\right)}^{\circ }+k180^{\circ }\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng điều kiện $\cos A=\cos B⟺A=\pm B+2k\pi$.

TH1: $4x+\frac{\pi }{3}=2x+\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

TH2: $4x+\frac{\pi }{3}=-2x-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 6x=-\pi +2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$.

Vậy nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$, khớp với đáp án A (đáp án nguồn cho mã đề 469 cũng là A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\tan \frac{\pi }{6}$ có điều kiện $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Nghiệm của phương trình dạng $\tan x=\tan \alpha$ là $x=\alpha +k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Do đó $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án D (đáp án nguồn cho mã đề 469 là D, trùng khớp).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos 3x+\cos 2x=0\iff 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$. Trường hợp 1: $\cos \frac{5x}{2}=0\iff \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{(2k+1)\pi }{5}$. Với $-50\pi <x<50\pi$ ta cần $-250<2k+1<250$, tức $2k+1$ là số nguyên lẻ từ $-249$ đến $249$, cho $250$ giá trị. Trường hợp 2: $\cos \frac{x}{2}=0\iff x=(2m+1)\pi$, cho $50$ nghiệm trong khoảng, nhưng các nghiệm này đều đã nằm trong họ nghiệm của trường hợp 1 (vì khi $x=(2m+1)\pi$ thì $\frac{5x}{2}=\frac{5(2m+1)\pi }{2}$ có cos bằng 0). Vậy tổng số nghiệm là $250$, khớp với đáp án nguồn.

* $\sin \left(3x-10^{\circ }\right)=\sin \left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}3x-10^{\circ }=90^{\circ }-15^{\circ }+k360^{\circ }\\ 3x-10^{\circ }=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)+k360^{\circ }\end{array}$ — 0,5

* $\{\begin{array}{l}x={\left(\frac{85}{3}\right)}^{\circ }+k120^{\circ }\\ x={\left(\frac{115}{3}\right)}^{\circ }+k120^{\circ }\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng điều kiện $\cos A=\cos B⟺A=\pm B+2k\pi$.

TH1: $4x+\frac{\pi }{3}=2x+\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

TH2: $4x+\frac{\pi }{3}=-\left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)+2k\pi \Rightarrow 6x=-\pi +2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$.

Vậy nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$, trùng với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 357, Câu 2 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\tan \frac{\pi }{6}$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (với điều kiện $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, luôn thỏa với nghiệm này). Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 357, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ta có $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$, nên $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng. Phương án A dùng chu kỳ $k\pi$ cho cả hai họ nên sai (ví dụ $x=\frac{5\pi }{4}$ cho $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$); B sai vì $-\frac{\pi }{4}$ cho $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; C thiếu họ nghiệm thứ hai. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $h(t)=0$, tức $\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0\Rightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 9$: $0\le \frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5}\le 9\Rightarrow -\frac{2}{3}\le k\le \frac{45-2\pi }{3\pi }\approx 13,66$, nên $k=0,1,\dots ,13$, tức 14 giá trị. Vậy vật đi qua vị trí cân bằng 14 lần, khớp với đáp án nguồn (14).