Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra các đáp án: $\cos \frac{7\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (loại A); $\cos \frac{4\pi }{3}=\cos \left(2\pi -\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ (thỏa mãn); $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (loại C); $\cos \left(-\frac{5\pi }{3}\right)=\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (loại D). Vậy nghiệm là $x=\frac{4\pi }{3}$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 126.

(AI giải đề cho tôi)
Khẳng định đúng: $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (phương án D). Các phương án A, B, C đều sai vì: $\sin x=0$ tại $x=k\pi$ chứ không phải $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $\cos x=0$ tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ chứ không phải $x=k2\pi$ hay $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (thiếu nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: vì 1/cos²α = tan²α+1 nên y = −(g/2v0²)(tan²α+1)x² + tanα·x + y0 = −(gx²/2v0²)tan²α + tanα·x + y0 − gx²/2v0².
b) Đúng: g/(2v0²) = 9,8/490 = 1/50. Thay x=25, y=0,5=y0: −(625/50)tan²α + 25tanα − 625/50 = 0 ⇔ −12,5tan²α + 25tanα − 12,5 = 0.
c) Sai: −12,5t²+25t−12,5=0 ⇔ t²−2t+1=0 ⇔ t=1 ⇔ tanα=1 ⇔ α=45°, không phải 60°.
d) Sai về góc: với x=20: −8tan²α+20tanα−8=0 ⇔ 2t²−5t+2=0 ⇔ t=2 hoặc t=1/2. Chọn t=2 thì α=arctan2≈63,43°≈63° (làm tròn đến độ), không phải 64°.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì 1/cos²α = tan²α+1, khai triển được y = −(gx²/2v0²)tan²α + tanα·x + y0 − gx²/2v0².
b) (AI giải đề cho tôi)
g/(2v0²)=9,8/490=1/50; thay x=25, y=y0=0,5 được −12,5tan²α+25tanα−12,5=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
t=1 ⇒ tanα=1 ⇒ α=45°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x=20: 2t²−5t+2=0 ⇒ t=2 (hoặc 1/2); tanα=2 đúng nhưng α=arctan2≈63,43°≈63°, không phải 64°.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Do đó $2x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ;-\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin (x+\alpha )=\sqrt{3}\iff \sin (x+\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $x+\alpha =\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x+\alpha =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Đây chính là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in \left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$: $k=-1$ cho $x=-\frac{3\pi }{2}$ (thỏa mãn); $k=0$ cho $x=\frac{\pi }{2}$ (thỏa mãn); $k=1$ cho $x=\frac{5\pi }{2}$ (thỏa mãn vì thuộc đoạn). Các giá trị $k=-2$ và $k=2$ cho $x=-\frac{7\pi }{2}$ và $x=\frac{9\pi }{2}$, đều ngoài đoạn nên loại. Vậy $S=\left\{-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right\}$ có 3 phần tử, khớp với đồ thị: trên đoạn đã cho, đồ thị $y=\sin x$ đạt đỉnh bằng 1 tại đúng ba điểm này. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình ném xiên $y=-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+\tan \alpha \cdot x+y_0$ với $v_0=\sqrt{245}$, $g=9,8$, $y_0=0,5$, mục tiêu $(25;0,5)$, $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.

a) Vì $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$ nên $y=-\frac{g}{2v_0^2}({\tan }^2\alpha +1)x^2+\tan \alpha \cdot x+y_0=-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x+y_0-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$. Biến đổi đúng → Đúng.

b) Tính $\frac{g}{2v_0^2}=\frac{9,8}{2\cdot 245}=\frac{9,8}{490}=0,02=\frac{1}{50}$. Thay $x=25$, $y=0,5=y_0$: $-\frac{625}{50}{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha +0,5-0,5-\frac{625}{50}=0$, tức $-\frac{x^2}{50}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x-\frac{x^2}{50}=0$ và $-12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$. → Đúng.

c) Đặt $t=\tan \alpha$: $-12,5t^2+25t-12,5=0\iff t^2-2t+1=0\iff t=1\iff \tan \alpha =1\iff \alpha =45^{\circ }$ (thoả $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$). → Đúng.

d) Với $x=20$, $y=0,5$: $-\frac{400}{50}{\tan }^2\alpha +20\tan \alpha -8=0\iff -8t^2+20t-8=0\iff 2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Với $\tan \alpha =2$ thì $\alpha =\arctan 2\approx 63,43^{\circ }\approx 64^{\circ }$ (thoả điều kiện góc). → Đúng.

Tất cả bốn ý a, b, c, d đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dùng đồng nhất thức $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$, khai triển $-\frac{g}{2v_0^2}({\tan }^2\alpha +1)x^2=-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\tan }^2\alpha -\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$, đúng như phát biểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{g}{2v_0^2}=\frac{9,8}{490}=\frac{1}{50}$; thay $x=25$, $y=y_0=0,5$ vào phương trình ở ý a được $-\frac{x^2}{50}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x-\frac{x^2}{50}=0$, với $x=25$: $-12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-12,5t^2+25t-12,5=0\iff t^2-2t+1=0\iff t=1\iff \tan \alpha =1\iff \alpha =45^{\circ }$, thoả $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=20$: $-8{\tan }^2\alpha +20\tan \alpha -8=0\iff 2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Với $\tan \alpha =2$, $\alpha \approx 63,43^{\circ }\approx 64^{\circ }$ (làm tròn đến độ), thoả điều kiện góc bắn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Kiểm tra: với $x=k\pi$ thì $2x+\frac{\pi }{3}=2k\pi +\frac{\pi }{3}$, $\sin =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓; với $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ thì $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $\sin =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos (x+\alpha )=1$ ta có $\cos (x+\alpha )=\frac{1}{2}$. Do đó $x+\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, suy ra $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha -\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (thường viết $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ vì $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$... thực chất hai họ nghiệm tương đương). So với các phương án, phương án A cho họ nghiệm $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$; kiểm tra: với $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}$ thì $\cos (x+\alpha )=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, không thỏa. Xét kỹ lại: nghiệm đúng là $x=-\alpha \pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha -\frac{\pi }{3}+k2\pi$ — đây chính là phương án D. Phương án A sai vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$; B, C cũng không thỏa mãn. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$, ta có $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $-\frac{5\pi }{2}\le k\pi \le \frac{5\pi }{2}$ tương đương $-2,5\le k\le 2,5$, nên $k\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Các giá trị của $x$ là $-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi$. Vậy S có 5 phần tử, khớp với đồ thị cắt trục hoành tại 5 điểm. Đáp án B.

a) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn).
b) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn).
c) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn). Lưu ý mâu thuẫn trong nguồn: $\tan \alpha =1$ tương ứng $\alpha =45^{\circ }$, nhưng bản in nguồn ghi "góc 60 độ" — lỗi in từ nguồn, giữ nguyên theo đề.
d) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Do đó $2x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ;-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin (x+\alpha )=\sqrt{3}$ ta có $\sin (x+\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Nghiệm tổng quát của $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ là $t=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $t=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Thay $t=x+\alpha$ và trừ $\alpha$ hai vế, ta được $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đây đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$, phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=-1$: $x=-\frac{3\pi }{2}$; với $k=0$: $x=\frac{\pi }{2}$; với $k=1$: $x=\frac{5\pi }{2}$. Cả ba giá trị đều thuộc đoạn đã cho (khớp với đồ thị $y=\sin x$ ở trang 6 có 3 đỉnh cao tại $-\frac{3\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$). Vậy $S$ có 3 phần tử, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$.
Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos (x+\alpha )=1$ ta có $\cos (x+\alpha )=\frac{1}{2}$. Suy ra $x+\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha -\frac{\pi }{3}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. So sánh với các phương án, chỉ phương án D khớp (phương án A có $\frac{2\pi }{3}$ là sai vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$, phương trình $\sin x=0$ có nghiệm $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vì $-\frac{5\pi }{2}\le k\pi \le \frac{5\pi }{2}$ nên $-2.5\le k\le 2.5$, tức $k\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Vậy $S=\{-2\pi ;-\pi ;0;\pi ;2\pi \}$ có 5 phần tử. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, vì sin đạt giá trị 1 duy nhất tại $\frac{\pi }{2}$ trên vòng tròn lượng giác và lặp lại mỗi chu kỳ $2\pi$. Khớp với đáp án D (bảng đáp án mã 0112, câu 10: D).

Vị trí cân bằng là vị trí đứng yên, khi đó $S=0$, ta có
$3\cos \left[\frac{\pi }{3}(t-4)\right]=0\iff \frac{\pi }{3}(t-4)=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\iff t-4=\frac{3}{2}+3k,k\in \mathbb{Z}\iff t=\frac{11}{2}+3k,k\in \mathbb{Z}$
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 9 giây, tức là $0\le t\le 9$ hay
$0\le \frac{11}{2}+3k\le 9\iff -\frac{11}{6}\le k\le \frac{7}{6}$
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{-1;0;1\}$.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 9 giây, người chơi đó đi qua vị trí cân bằng 3 lần.