Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ thuộc trung tuyến $AJ$, tức $A,G,J$ thẳng hàng. Mặt khác $G\in (ABC)$ và $G\in (AJD)$ (vì $G\in AJ$), $A$ thuộc cả hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AJD)$ có hai điểm chung $A,G$ phân biệt nên giao tuyến là $AG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AJ$, do đó $G\in (AJD)$ và $G\in (ABC)$. Hai mặt phẳng có chung hai điểm phân biệt $A,G$ nên giao tuyến là $AG$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I$ là trung điểm $AD$ nên $I\in (JAD)$ và $I\in (IBC)$; $J$ là trung điểm $BC$ nên $J\in (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD)$ có hai điểm chung phân biệt $I,J$, giao tuyến là $IJ$ chứ không phải $IG$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G\in AJ$ nên $I,G$ đều thuộc mặt phẳng $(AJD)$, suy ra $IG\subset (AJD)$; cũng có $IG\subset (IBC)$. Giao điểm $N=IG\cap (BCD)$: do $IG\subset (AJD)$ nên $N\in (AJD)\cap (BCD)=JD$. Vậy $N$ thuộc đường thẳng $JD$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A,G,J$ thẳng hàng nên đường thẳng $AG$ chính là đường thẳng $AJ$, đi qua $J$. Mà $J$ là trung điểm $BC$ nên $J\in BC$, và $J\in JD$. Ba đường thẳng $AG$, $BC$, $JD$ cùng đi qua điểm $J$, tức đồng quy. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt đáy, $AD$ và $BC$ là hai đường thẳng không song song (vì $AB=2CD$ nên hình thang không phải hình bình hành), chúng cắt nhau tại $E$. Khi đó $E$ thuộc $AD$ nên $E\in (SAD)$, $E$ thuộc $BC$ nên $E\in (SBC)$. Vậy $(SAD)\cap (SBC)=SE$. Với $(SAB)$ và $(SCD)$: cả hai đều chứa $S$. Trong mặt đáy, $AB\parallel CD$ (hai đáy của hình thang), do đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$), gọi là $Sx$. Vậy $(SAB)\cap (SCD)=Sx$ với $Sx\parallel AB\parallel CD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong mặt phẳng $(BCD)$: $N$ là trung điểm $BC$, $P\in BD$ với $BP=2PD$. Hai đường thẳng $NP$ và $CD$ không song song (vì $\frac{BN}{NC}=1\ne \frac{BP}{PD}=2$), nên chúng cắt nhau tại $I$. Khi đó $I=CD\cap (MNP)$ vì $I\in NP\subset (MNP)$ và $I\in CD$. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B(0;0),D(3;0),C(0;1)$ thì $N(0;0,5),P(2;0)$; đường $NP$: $y=0,5-0,25x$; đường $CD$: $y=1-\frac{x}{3}$; giải hệ được $I(6;-1)$, nằm trên tia đối của tia $DC$ với $DI=DC$ (tức $D$ là trung điểm $CI$). Vậy $I=CD\cap (MNP)=CD\cap NP$.

b) Xét hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$:
- $M\in AC\subset (ACD)$ và $M\in (MNP)$.
- $I\in CD\subset (ACD)$ và $I\in (MNP)$ (theo câu a).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung $M$ và $I$, tức là $MI=(ACD)\cap (MNP)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: $I=CD\cap (MNP)=CD\cap NP$; giao tuyến là $MI$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt (1 đáy + 4 mặt bên) và 8 cạnh, không phải 4 mặt. b) Đúng: (SAC) chứa S, A, C; (SBD) chứa S, B, D. Cả hai đều chứa S và O (vì O ∈ AC ⊂ (SAC) và O ∈ BD ⊂ (SBD)), nên giao tuyến là đường thẳng SO. c) Đúng: I là giao của AM với (SBD). Vì I ∈ AM ⊂ (SAC) và I ∈ (SBD), nên I thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD), tức I ∈ SO. Mặt khác I ∈ AM nên I = AM ∩ SO. d) Đúng: Xét (ABM) và (SBD): B là điểm chung; A, M, S, C đồng phẳng (vì M ∈ SC) nên giao tuyến của (ABM) và (SAC) là AM, chứa I. Do đó (ABM) ∩ (SBD) = BI. Giao điểm của SD với (ABM) nằm trên SD ⊂ (SBD) và trên (ABM), nên thuộc giao tuyến BI. Khớp đáp án nguồn S - Đ - Đ - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác có 5 mặt và 8 cạnh, không phải 4 mặt.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng cùng chứa S và O (O ∈ AC, O ∈ BD) nên giao tuyến là SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
I ∈ AM ⊂ (SAC) và I ∈ (SBD) nên I ∈ (SAC) ∩ (SBD) = SO, do đó I = AM ∩ SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
(ABM) ∩ (SBD) = BI (chung B và I), nên giao điểm của SD với (ABM) thuộc BI.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Xét mặt phẳng $(ABF)$: $E$ nằm trên $AB$ nên $E\in (ABF)$; $G$ nằm trên $BF$ nên $G\in (ABF)$. Do đó đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt khác, $A\in (ACD)$ và $F\in CD\subset (ACD)$ nên $AF$ là giao tuyến của $(ABF)$ và $(ACD)$. Vậy giao điểm $H$ của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$: $EG\cap (ACD)=EG\cap AF$. Kết quả trùng với đáp án tham khảo của đề.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$ nên $MN\parallel AB$. Do đó $MN\parallel (ABD)$ (vì $MN$ không nằm trong $(ABD)$). Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ có điểm chung $P$ (vì $P\in BD\subset (ABD)$). Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $d$ đi qua $P$ và song song với $MN$ (đồng thời song song với $AB$ theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng). Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ (và $MN$).

b) Xét mặt phẳng $(BCD)$: ta có $N\in BC\subset (BCD)$, $P\in BD\subset (BCD)$ nên $NP\subset (BCD)$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $CD$ cắt đường thẳng $NP$ tại một điểm $Q$ (vì $NP$ không song song với $CD$: $N$ là trung điểm $BC$, $P$ thỏa $BP=2PD$ nên $\frac{BN}{NC}=1\ne \frac{BP}{PD}=2$). Khi đó $Q=CD\cap NP\in (MNP)$ và $Q\in CD$, suy ra $Q$ chính là giao điểm của $CD$ và $(MNP)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) giao tuyến là đường qua $P$ song song, $AB\parallel MN$; b) $CD\cap (MNP)=CD\cap NP$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên hai điểm phân biệt $E,F$ thuộc $(ABCD)$, suy ra đường thẳng $EF\subset (ABCD)$.
b) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm phân biệt $A,B$ (vì $A,B\in (SAB)$ và $A,B\in (ABCD)$), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $AB$.
c) Sai: Xét $(SAB)$ và $(SCD)$: chúng có điểm chung $S$; lại có $B\in (SAB)\cap (SCD)$? Không — thực hiện đúng: $(SAB)$ chứa $AB$, $(SCD)$ chứa $CD$, mà $AB\cap CD=E$, nên $E$ là điểm chung thứ hai, giao tuyến là $SE$ (không phải $SF$). Tương tự, $(SAC)$ chứa $AC$, $(SBD)$ chứa $BD$, với $AC\cap BD=F$ nên giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (không phải $SE$). Đề bài hoán đổi $SE$ và $SF$, do đó khẳng định sai.
d) Đúng: $(SEF)$ chứa $EF$, $(SAD)$ chứa $AD$; hai đường thẳng này cắt nhau tại $G=EF\cap AD$, nên $G$ là điểm chung. Ngoài ra $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(SEF)$ và $(SAD)$ là $SG$.
Kết quả khớp bảng đáp án nguồn: D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (vì $AB\cap CD=E$), còn giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (vì $AC\cap BD=F$). Đề hoán đổi nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S$ chung và $G=EF\cap AD$ chung, nên giao tuyến của $(SEF)$ và $(SAD)$ là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành). Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$ và cùng chứa đường thẳng $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ (vì $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$). Vậy giao tuyến là $SO$ với $O=BD\cap AC$.

b) Thiết lập hệ trục toạ độ: $A=(0;0;0)$, $B=(2;0;0)$, $D=(0;2;0)$, $C=(2;2;0)$, $S=(1;1;2)$, $O=(1;1;0)$. Khi đó $N$ trung điểm $SC$ là $N=(1,5;1,5;1)$, $M$ trung điểm $AB$ là $M=(1;0;0)$.

Mặt phẳng $(SBD)$: vectơ pháp tuyến từ $\overrightarrow{BD}=(-2;2;0)$ và $\overrightarrow{BS}=(-1;1;2)$ là $(4;4;0)$, nên $(SBD):x+y=2$.

Đường $AN$: $(1,5t;1,5t;t)$. Giao với $x+y=2$: $3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, suy ra $I=\left(1;1;\frac{2}{3}\right)$ (nằm trên $SO$ với $\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$).

Đường $MN$: $(1;0;0)+t(0,5;1,5;1)$. Giao với $x+y=2$: $1+2t=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, suy ra $J=\left(1,25;0,75;0,5\right)$.

Tính độ dài:
$$I{B}^2=(2-1{)}^2+(0-1{)}^2+{\left(0-\frac{2}{3}\right)}^2=1+1+\frac{4}{9}=\frac{22}{9},$$
$$I{J}^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}=\frac{11}{72}.$$
Vậy $\frac{IB}{IJ}=\sqrt{\frac{22/9}{11/72}}=\sqrt{16}=4$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) $SO$, $O=BD\cap AC$; b) $\frac{IB}{IJ}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$; mặt khác $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$. Giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$, tức $SO$. b) Đúng: $O\in BD$ và $O\in AC\subset (SAC)$, nên giao điểm của $BD$ và $(SAC)$ là $O$. c) Sai: Trong tam giác $SAC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AC$ và $MN\subset (SAC)$. Giao điểm của $MN$ với $(SBD)$ phải nằm trên giao tuyến $SO$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, $SO$ là đường trung tuyến kẻ từ $S$, còn $MN$ là đường trung bình; chúng cắt nhau tại trọng tâm $G$ của tam giác $SAC$ với $SG=\frac{2}{3}SO$, không phải trung điểm của $SO$. d) Sai: Hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(MCD)$ có điểm chung $C$ (vì $C\in (SBC)$, $C\in (MCD)$). Nhưng $M\in SA$ không thuộc $(SBC)$, nên giao tuyến không thể là $SC$ (vì nếu giao tuyến là $SC$ thì $(MCD)$ phải chứa cả $S$, vô lý). Giao tuyến thực tế là đường thẳng đi qua $C$ và giao điểm của $MD$ (hoặc đường thẳng khác trong $(MCD)$) với $(SBC)$, khác $SC$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ có hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$ (vì $O=AC\cap BD$), nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O\in BD$ và $O\in AC\subset (SAC)$, nên $BD\cap (SAC)=\{O\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình tam giác $SAC$, cắt đường trung tuyến $SO$ tại trọng tâm $G$ với $SG=\frac{2}{3}SO$, không phải trung điểm của $SO$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng chỉ có điểm chung $C$; vì $M\notin (SBC)$ nên giao tuyến không thể là $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong mặt phẳng đáy, $AC\cap BD=O$. Ta có $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$; rõ ràng $S\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$ với $O=AC\cap BD$.

b) Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(3;0;0)$, $D=(0;2;0)$, $C=(3;2;0)$, $S=(p;q;h)$ với $h\ne 0$.
- $M$ là trung điểm $CD$ nên $M=\left(\frac{3}{2};2;0\right)$. Đường thẳng $AM$: $y=\frac{4}{3}x$; đường thẳng $BD$: $y=-\frac{2}{3}x+2$. Giải hệ được $E=(1;\frac{4}{3};0)$.
- $AB=3AF\Rightarrow AF=1\Rightarrow F=(1;0;0)$.
- $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$: $G=\left(\frac{p+3}{3};\frac{q+4}{3};\frac{h}{3}\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{FE}=(0;\frac{4}{3};0)$, $\overrightarrow{FG}=\left(\frac{p}{3};\frac{q+4}{3};\frac{h}{3}\right)$ nên vectơ pháp tuyến của $(EFG)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FG}=\left(\frac{4h}{9};0;-\frac{4p}{9}\right).$$
Mặt phẳng $(EFG)$ qua $F(1;0;0)$ có phương trình: $h(x-1)-pz=0$.

Điểm $K$ trên $SC$ có dạng $K=S+t(C-S)=(p+t(3-p);q+t(2-q);h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$h(p+t(3-p)-1)-ph(1-t)=0\Rightarrow -1+3t=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}.$$
Vậy $K$ nằm giữa $S$ và $C$ với $KS=\frac{1}{3}SC$, $KC=\frac{2}{3}SC$, suy ra $\frac{KS}{KC}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}=0,5$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) giao tuyến là $SO$, $O=AC\cap BD$; b) $\frac{KS}{KC}=0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình thang: $AB\parallel CD$ với $AB<CD$; $O=AC\cap BD$.

a) $O=AC\cap BD$ với $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$, và $S$ chung, nên giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$. → Đúng.

b) Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(3;1)$, $D=(0;1)$, $S=(0;0;2)$. Khi đó $J=(0,5;0;0)$, trọng tâm $G$ tam giác $SDB$ là $G=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. Đường thẳng $JG$ có phương trình $(x;y;z)=\left(\frac{1}{2}-\frac{t}{6};\frac{t}{3};\frac{2t}{3}\right)$; đường thẳng $SC$: $(3u;u;2-2u)$. So sánh hệ thức dẫn đến $t=3/19$ từ hệ $(x,y)$ nhưng $t=3/4$ từ hệ $(z)$ — mâu thuẫn, vậy $JG$ và $SC$ chéo nhau, không có giao điểm $H=JG\cap SC$. Thật vậy, mặt phẳng $(IJG)$ (với $I$ trung điểm $AD$) cắt $SC$ tại điểm $H$ với tham số $u=2/9$, tức $H=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{9};\frac{14}{9}\right)$, không nằm trên $JG$. → Sai.

c) Vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ cắt nhau theo đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song $CD$). Mệnh đề phủ nhận điều này nên sai. → Sai.

d) Trong tam giác $ABD$, $I$ trung điểm $AD$, $J$ trung điểm $AB$ nên $IJ\parallel BD$, và $IJ$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Đường thẳng $SD$ cũng nằm trong $(ABD)$ và cắt $BD$ tại $D$, không song song với $BD$, nên $SD$ không song song với $IJ$; hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ và không song song nên cắt nhau. → Đúng.

Kết luận: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ lẫn $(SBD)$, hai mặt phẳng còn chung điểm $S$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(3;1)$, $D=(0;1)$, $S=(0;0;2)$: $JG$ và $SC$ chéo nhau (hệ phương trình cho $t=3/19$ và $t=3/4$ mâu thuẫn). Mặt phẳng $(IJG)$ cắt $SC$ tại $H$ ứng với $u=2/9$ trên $SC$, không trùng giao điểm $JG\cap SC$ (không tồn tại).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ chính là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$; mệnh đề nói 'không phải' nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IJ$ là đường trung bình tam giác $ABD$ nên $IJ\parallel BD$ và $IJ\subset (ABD)$; $SD\subset (ABD)$ cắt $BD$ tại $D$ nên không song song $IJ$. Hai đường thẳng cùng phẳng và không song song nên cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, suy ra $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{2}CD$.

Xét hai mặt phẳng $(GIJ)$ và $(BCD)$: cả hai đều chứa điểm $G$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $G$, chính là $MN$ (vì $M\in BC\subset (BCD)$, $N\in BD\subset (BCD)$ và $M,N\in (GIJ)$).

Ta có $IJ\subset (GIJ)$, $IJ\parallel CD$ với $CD\subset (BCD)$, và $IJ$ không nằm trong $(BCD)$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến $MN$ của $(GIJ)$ với $(BCD)$ phải song song với $CD$: $MN\parallel CD$.

Trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua trọng tâm $G$ song song với $CD$ cắt $BC,BD$ tại $M,N$. Gọi $K$ là trung điểm của $CD$, thì $B,G,K$ thẳng hàng với $BG=\frac{2}{3}BK$. Tam giác $BMN$ đồng dạng tam giác $BCD$ với tỉ số $\frac{BM}{BC}=\frac{BG}{BK}=\frac{2}{3}$.

Vậy $MN=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 2IJ=\frac{4}{3}IJ$, suy ra $x=\frac{4}{3}\approx 1,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Gọi $O=AC\cap BD$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$. Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, đồng thời $S$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

Câu b) Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;h)$ với $h>0$.
- $M$ trung điểm $SA$: $M\left(0;0;\frac{h}{2}\right)$.
- $N$ trung điểm $SB$: $N\left(\frac{1}{2};0;\frac{h}{2}\right)$.
- $P\in BC$ với $BP=3PC$ tức $P=B+\frac{3}{4}(C-B)$: $P\left(1;\frac{3}{4};0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{2};0;0\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(1;\frac{3}{4};-\frac{h}{2}\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(MNP)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=\left(0;\frac{h}{4};\frac{3}{8}\right).$$
Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ qua $M$:
$$\frac{h}{4}y+\frac{3}{8}\left(z-\frac{h}{2}\right)=0⟺4hy+6z-3h=0.$$

Điểm $Q$ trên đường thẳng $SD$: $Q=S+t(D-S)=(0;t;h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$4ht+6h(1-t)-3h=0⟺4t+6-6t-3=0⟺t=\frac{3}{2}.$$
Vậy $Q$ nằm ngoài đoạn $SD$, phía sau $D$, với $\overrightarrow{SQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{SD}$, suy ra $SQ=\frac{3}{2}SD$ và $QD=\frac{1}{2}SD$.
$$\frac{QS}{QD}=\frac{\frac{3}{2}SD}{\frac{1}{2}SD}=3.$$

Kết luận: a) Giao tuyến là $SO$ với $O=AC\cap BD$; b) $\frac{QS}{QD}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Khi đó $E\in AB$ và $G\in BF$, suy ra đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$ chung, $F\in CD\subset (ACD)$ và $F\in (ABF)$). Vậy giao điểm của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$. Trong mặt phẳng $(ABF)$, xét tam giác $ABF$: $E$ là trung điểm $AB$, $G$ trên $BF$ với $BG=2GF$, đường thẳng $EG$ cắt $AF$ tại một điểm xác định (không song song). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ kiểm chứng: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;1)$. Khi đó $O(0,5;0,5;0)$, $I$ trung điểm $SB=(0,5;0;0,5)$, $K$ trung điểm $SD=(0;0,5;0,5)$.

a) $(SAC)$ chứa $S,A,C$; $(SBD)$ chứa $S,B,D$. Cả hai mặt phẳng đều chứa $S$ và đều chứa $O$ (vì $O=AC\cap BD$ nằm trong mặt phẳng đáy). Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo giao tuyến đi qua hai điểm chung $S$ và $O$, tức $SO$. → Đúng.

b) Tìm $J=SA\cap (CKB)$. Mặt phẳng $(CKB)$ qua $C(1;1;0),K(0;0,5;0,5),B(1;0;0)$ có phương trình $x+2z=1$. Đường thẳng $SA$: $(0;0;t)$, suy ra $2t=1\Rightarrow t=0,5$, tức $J(0;0;0,5)$ là trung điểm $SA$. Mặt khác, $(CKB)\cap (SAD)$ là đường thẳng qua $K$ song song với $AD$ (phương trình $x=0,z=0,5$), chứ không song song với $DC$ (vì $DC\parallel AB$, hướng $(1;0;0)$, còn đường giao tuyến có hướng $(0;1;0)$). Điểm $J(0;0;0,5)$ không nằm trên đường qua $K(0;0,5;0,5)$ song song $DC$. → Sai (đường thẳng đúng phải song song với $AD$).

c) $(OIA)$: qua $A,O,I$ có phương trình $x-y-z=0$. $(SCD)$: qua $S,C,D$ có phương trình $y+z=1$. Giao tuyến: $x=1,y+z=1$, đi qua $C(1;1;0)$ và có chỉ phương $(0;1;-1)$ cùng phương với $\overrightarrow{DS}=(0;-1;1)$, tức song song với $SD$. → Đúng.

d) $I(0,5;0;0,5)$, $J(0;0;0,5)$ nên $\overrightarrow{IJ}=(-0,5;0;0)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$. Mà $AB\parallel DC$ (hình bình hành), suy ra $CD\parallel IJ$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và cùng chứa $O=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$J$ là trung điểm $SA$. Giao tuyến $(CKB)\cap (SAD)$ là đường qua $K$ song song với $AD$ (vì $AD\parallel BC$, $BC\subset (CKB)$... chính xác: hai mặt phẳng cắt theo đường qua $K$ có chỉ phương của $AD$), không song song với $DC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ, giao tuyến của $(OIA):x-y-z=0$ và $(SCD):y+z=1$ là đường $x=1,y+z=1$, đi qua $C$ và song song với $SD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I,J$ cùng có tung độ $z=0,5$ và hoành $y=0$, nên $IJ\parallel AB\parallel CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, suy ra $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$. Trong hệ cơ sở $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ ta có $M=\left(\frac{1}{2},0,0\right)$, $N=\left(0,\frac{2}{3},0\right)$, $P=\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$. Mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình $\frac{x}{1/2}+\frac{y}{2/3}+\frac{z}{1/2}=1$, tức $2x+\frac{3}{2}y+2z=1$. Điểm $Q$ thuộc $SD$ nên $Q=t\overrightarrow{SD}=(t,-t,t)$. Thay vào phương trình: $2t-\frac{3}{2}t+2t=\frac{5}{2}t=1\Rightarrow t=\frac{2}{5}$. Vậy $\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{5}=\frac{a}{5}$, suy ra $a=2$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 5.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành, $E\in CD$ với $CD=3CE$ (nghĩa là $CE=\frac{1}{3}CD$), $F\in SD$ với $SF=\frac{3}{4}SD$.

**a) Giao tuyến của $(SBE)$ và $(SAC)$.**
Hai mặt phẳng đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Xét trong mặt phẳng $(ABCD)$: $BE$ cắt $AC$ tại $I$. Ta xác định vị trí $I$ bằng cách đặt hệ tọa độ: $A(0,0)$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$, khi đó $E=\frac{2\vec{b}+3\vec{d}}{3}$.
Điểm trên $BE$: $\vec{b}+t(E-\vec{b})$; điểm trên $AC$: $s(\vec{b}+\vec{d})$. So sánh hệ số theo $\vec{b},\vec{d}$ ta được $t=s$ và $1-\frac{t}{3}=t\Rightarrow t=\frac{3}{4}$.
Vậy $I\in AC$ với $\frac{AI}{AC}=\frac{3}{4}$ (tức $3IA=IC$... chính xác là $AI=\frac{3}{4}AC$).
Giao tuyến của $(SBE)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $SI$ với $I=BE\cap AC$, $AI=\frac{3}{4}AC$.

**b) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$; của $(SAB)$ và $(SCD)$.**
- Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Mặt phẳng $(SAD)$ chứa đường $d_1$ qua $S$ song song với $AD$; mặt phẳng $(SBC)$ chứa đường $d_2$ qua $S$ song song với $BC$. Vì $AD\parallel BC$ nên $d_1\equiv d_2$. Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (và $BC$).
- Tương tự, $AB\parallel CD$, nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$).

**c) Tìm $K=AF\cap (SBE)$ và tính $\frac{KF}{KA}$.**
Dùng hệ vectơ độc lập $\{{\overrightarrow{SA}}^{\prime },\vec{b},\vec{d}\}$ với gốc $A$: $S=\vec{s}$, $F=\frac{1}{4}\vec{s}+\frac{3}{4}\vec{d}$ (vì $SF=\frac{3}{4}SD$), $E=\frac{2\vec{b}+3\vec{d}}{3}$.
Điểm $K$ trên $AF$: $K=uF=u\left(\frac{1}{4}\vec{s}+\frac{3}{4}\vec{d}\right)$.
Điểm $K$ trong $(SBE)$: $K=(1-\alpha -\beta )\vec{s}+\alpha \vec{b}+\beta E$.
So sánh hệ số:
- Theo $\vec{b}$: $0=\alpha +\frac{2}{3}\beta$;
- Theo $\vec{d}$: $\frac{3}{4}u=\beta$;
- Theo $\vec{s}$: $\frac{u}{4}=1-\alpha -\beta$.
Từ hai phương trình đầu: $\alpha =-\frac{u}{2}$, $\beta =\frac{3u}{4}$. Thay vào: $\frac{u}{4}=1+\frac{u}{2}-\frac{3u}{4}=1-\frac{u}{4}\Rightarrow u=2$.
Vậy $K=2F$ (tính theo vectơ từ $A$), tức $F$ là trung điểm của $AK$, do đó $KF=FA$ và $$\frac{KF}{KA}=\frac{1}{2}.$$