Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Chọn nhóm thứ nhất có 5 học sinh từ 15 học sinh: có $C_{15}^5$ cách. Chọn nhóm thứ hai có 5 học sinh từ 10 học sinh còn lại: có $C_{10}^5$ cách. Do hai nhóm có vai trò bình đẳng trong việc chia thành 2 nhóm không phân biệt thứ tự (chỉ chia thành 2 đội), số cách là $\frac{C_{15}^5\cdot C_{10}^5}{2!}=\frac{3003\cdot 252}{2}=378378$... Tuy nhiên theo đáp án chính thức của trường Chuyên Quốc Học Huế, hai đội kéo co được phân biệt thành hai phía/đội nên số cách là $C_{15}^5\cdot C_{10}^5=756756$.

Tập hợp các chữ số chẵn khác 0 là $\{2,4,6,8\}$ gồm 4 phần tử.
Chọn 2 chữ số chẵn từ tập trên có $C_4^2$ cách.
Tập hợp các chữ số lẻ khác 0 là $\{1,3,5,7,9\}$ gồm 5 phần tử.
Chọn 2 chữ số lẻ từ tập trên có $C_5^2$ cách.
Từ 4 chữ số đã chọn (2 chẵn, 2 lẻ phân biệt và khác 0), hoán vị 4 vị trí để tạo thành số tự nhiên có 4 chữ số có $4!$ cách.
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là $4!C_4^2{C}_5^2$.
Chọn C.

Phương pháp: Sử dụng quy tắc bù: Số cách chọn có cả nam và nữ bằng tổng số cách chọn 3 bạn trừ đi số cách chọn toàn nam hoặc toàn nữ.
Cách giải: Chọn 3 bạn bất kì từ 12 bạn: $C_{12}^3=220$ cách. Chọn 3 bạn toàn nam: $C_7^3=35$ cách. Chọn 3 bạn toàn nữ: $C_5^3=10$ cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn là $220-35-10=175$ cách.
Chọn B.

Số cách xếp $10$ học sinh tùy ý là $10!$. Số cách xếp sao cho Mơ và Mộng đứng cạnh nhau là $2!\cdot 9!$. Vậy số cách xếp sao cho hai em không đứng cạnh nhau là $10!-2\cdot 9!=8\cdot 9!$.

Chọn D.
Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lập từ 5 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 5:
$$A_5^3=\frac{5!}{2!}=60.$$

Chọn A.
Một lục giác có 6 đỉnh phân biệt. Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử. Do đó có $A_6^2$ vectơ.

Mỗi vectơ khác vectơ không được tạo thành bởi $2$ điểm phân biệt có thứ tự nên số vectơ là $A_8^2$. Đáp án cần chọn là C.

Chọn C.
Cứ 3 điểm không thẳng hàng tạo thành một tam giác. Do đó số tam giác tạo thành là tổ hợp chập 3 của 18 phần tử: $C_{18}^3$.

Lời giải
Chọn D
Số cách lấy ra 2 quyển sách Toán là C62 = 15 .
Số cách lấy ra 2 quyển sách Hóa là C52 = 10 .
Số cách lấy ra 2 quyển sách Lí là C32 = 3 .
Vậy số cách lấy ra 6 quyển sách sao cho mỗi loại có hai quyển là 15.10.3 = 450 .

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd4}$ với $a,b,c,d\in \{1;2;3;5\}$ đôi một khác nhau.
- Chọn số xếp vào vị trí $a$ có $4$ cách.
- Chọn số xếp vào vị trí $b$ có $3$ cách.
- Chọn số xếp vào vị trí $c$ có $2$ cách.
- Chọn số xếp vào vị trí $d$ có $1$ cách.

Vậy thành lập được tất cả $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ số.
Chọn đáp án A.

Một vectơ khác vectơ-không được xác định bởi 2 điểm phân biệt (có thứ tự điểm đầu và điểm cuối) trong 5 đỉnh của ngũ giác. Số các vectơ là: $A_5^2$.

Dựa vào sơ đồ hình vẽ:
- Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có 4 con đường riêng biệt.
- Từ thành phố $B$ đến thành phố $C$ có 2 con đường riêng biệt.
Theo quy tắc nhân, số cách đi từ $A$ đến $C$ qua $B$ đúng một lần là $4\times 2=8$ cách.

Chọn đáp án A.

Tổng số học sinh là $4+3+2=9$. Số cách chọn 5 học sinh bất kỳ là $C_9^5=126$.
Các trường hợp không thỏa mãn (thiếu ít nhất một lớp):
- Không có học sinh lớp 12C: chọn 5 em từ 7 em của 12A và 12B có $C_7^5=21$ cách.
- Không có học sinh lớp 12B: chọn 5 em từ 6 em của 12A và 12C có $C_6^5=6$ cách.
- Không có học sinh lớp 12A: chọn 5 em từ 5 em của 12B và 12C có $C_5^5=1$ cách.
(Các trường hợp đồng thời thiếu 2 lớp không thể xảy ra vì mỗi lớp có số em ít hơn 5).
Số cách chọn thỏa mãn là $126-(21+6+1)=98$ cách.

Chọn đáp án D.

Điều kiện: $n\in \mathbb{N},n\ge 3$. Phương trình trở thành:
$n(n-1)(n-2)=20n\iff (n-1)(n-2)=20\iff n^2-3n-18=0\iff (n-6)(n+3)=0$.
Vì $n\ge 3$ nên $n=6$.

Chọn đáp án B.

Có hai mô hình sắp xếp xen kẽ:
- Dạng 1: Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ: có $3!\times 3!=6\times 6=36$ cách.
- Dạng 2: Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam: có $3!\times 3!=6\times 6=36$ cách.
Tổng số cách xếp là $36+36=72$ cách.

Chọn đáp án B.

Điều kiện: $x\in \mathbb{N},x\ge 3$. Ta có $C_x^{x-2}=C_x^2=\frac{x(x-1)}{2}$ và $A_x^3=x(x-1)(x-2)$.
Phương trình trở thành:
$x(x-1)(x-2)+\frac{x(x-1)}{2}=14x\iff (x-1)(x-2)+\frac{x-1}{2}=14$ (do $x\ge 3>0$).
$\iff x^2-3x+2+\frac{x-1}{2}=14\iff 2x^2-6x+4+x-1=28\iff 2x^2-5x-25=0\iff (x-5)(2x+5)=0$.
Vì $x\ge 3$ nên $x=5$.

Chọn đáp án B.

Chọn C
Mỗi cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ trong một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11
m, theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là một chỉnh hợp chập 5 của 11 nên có A115 cách
chọn.

Mỗi bảng có 5 đội thi đấu vòng tròn một lượt, do đó cứ 2 đội bất kì trong cùng một bảng sẽ tạo thành 1 trận đấu.
Số trận đấu diễn ra ở mỗi bảng là tổ hợp chập 2 của 5 đội:
$C_5^2=\frac{5!}{2!3!}=10\text{ trận}.$
Vì có 2 bảng đấu nên tổng số trận đấu ở vòng bảng là:
$2\times 10=20\text{ trận}.$

Chọn đáp án C.

Số cách chọn 5 chiếc ghế từ 6 chiếc ghế và xếp thứ tự 5 người vào là một chỉnh hợp chập 5 của 6 phần tử:
$A_6^5=720\text{ caˊch}.$

Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi một cặp có thứ tự gồm 2 điểm phân biệt lấy từ $n$ điểm đã cho, do đó số vectơ bằng chỉnh hợp chập 2 của $n$ phần tử, tức là $A_n^2$. Chọn đáp án C.