Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 41 chọn đáp án A.

Các chữ số chẵn trong tập là $\{2,4,6\}$ (3 chữ số), các chữ số lẻ là $\{1,3,5,7\}$ (4 chữ số).
Vì mỗi chữ số chẵn luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên chữ số chẵn không thể đứng ở vị trí đầu tiên hoặc vị trí cuối cùng của số có 5 chữ số, và hai chữ số chẵn không thể đứng cạnh nhau.
Do đó cấu trúc của số có 5 chữ số bắt buộc phải có dạng:
- L - C - L - C - L (chứa 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn).
Số cách chọn và xếp 3 chữ số lẻ vào 3 vị trí L là: $A_4^3=4\times 3\times 2=24$ cách.
Số cách chọn và xếp 2 chữ số chẵn vào 2 vị trí C là: $A_3^2=3\times 2=6$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số các số thỏa mãn là:
$24\times 6=144$ (với trường hợp 2 chữ số chẵn).
Ngoài ra nếu có 1 chữ số chẵn: cấu trúc có 4 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn ở vị trí thứ 2, 3 hoặc 4 (3 vị trí), số cách là $3\times A_4^4\times 3=3\times 24\times 3=216$ cách.
Tổng số các số thỏa mãn là $144+216=360$.

Chọn đáp án A.

Tổng số cách dán là $6!=720$. Số cách dán mà không có bì thư nào trùng số với tem (hoán vị không điểm cố định $D_6$) là $6!\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}\right)=265$. Vậy số cách thỏa mãn là $720-265=455$.

Chọn D.
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều $100$ đỉnh $A_1{A}_2\dots A_{100}$.
Tam giác tù $ABC$ có góc tù tại đỉnh $A$ khi và chỉ khi hai đỉnh $B,C$ nằm trên cùng một nửa đường tròn xác định bởi đường kính đi qua $A$ (hoặc xét theo trục đối xứng).
Xét một đỉnh $A$ bất kỳ: có $100$ cách chọn đỉnh góc tù $A$.
Qua $A$ và tâm $O$, vẽ đường thẳng chia đường tròn thành hai nửa, mỗi nửa chứa $49$ đỉnh (không kể đỉnh đối diện $A$).
Số cách chọn 2 đỉnh $B,C$ thuộc cùng một nửa đường tròn là $2\cdot C_{49}^2=2\cdot 1176=2352$.
Mỗi tam giác tù chỉ có duy nhất một góc tù, nhưng nếu tính cho 100 đỉnh thì mỗi tam giác xuất hiện đúng 1 lần (với đỉnh góc tù tương ứng chia nửa):
Số tam giác tù là: $100\cdot C_{49}^2=100\cdot 1176=117600$.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $a,b,c,d\in \{0;1;2;\dots ;9\}$, $a\ne 0$, $a,b,c,d$ đôi một khác nhau và $d$ chẵn.
- Trường hợp 1: $d=0$. Có 1 cách chọn $d$. Chọn $a,b,c$ từ 9 chữ số còn lại là chỉnh hợp $A_9^3=504$ cách. Vậy có $1\times 504=504$ số.
- Trường hợp 2: $d\in \{2;4;6;8\}$. Có 4 cách chọn $d$. Chữ số $a\in \{\mathrm{1..9}\}\setminus \{d\}$ có 8 cách chọn. Chữ số $b$ có 8 cách chọn, chữ số $c$ có 7 cách chọn. Vậy có $4\times 8\times 8\times 7=1792$ số.
Tổng số các số chẵn thỏa mãn là $504+1792=2296$ số.

Chọn đáp án C.

Số có 4 chữ số khác nhau $\overline{abcd}$ từ tập $\{0;1;2;3;5\}$:
- Tổng số các số có 4 chữ số khác nhau: $a\in \{1;2;3;5\}$ có 4 cách, chọn $b,c,d$ từ 4 chữ số còn lại có $A_4^3=24$ cách. Tổng cộng $4\times 24=96$ số.
- Số các số chia hết cho 5:
+ Nếu $d=0$: $a,b,c$ chọn từ $\{1;2;3;5\}$ có $A_4^3=24$ số.
+ Nếu $d=5$: $a\in \{1;2;3\}$ có 3 cách, $b,c$ chọn từ 3 chữ số còn lại có $A_3^2=6$ cách, tức $3\times 6=18$ số.
Tổng số chia hết cho 5 là $24+18=42$ số.
Số các số không chia hết cho 5 là $96-42=54$ số.

Chọn đáp án C.

Vì chỉ có nhà toán học nữ (3 người), đoàn muốn có nữ thì bắt buộc phải có nhà toán học nữ.
- Trường hợp 1: Có đúng 1 nhà toán học nữ (3 cách chọn). Để có cả nhà toán học và nhà vật lý thì 2 nam còn lại phải gồm 1 nhà toán học nam và 1 nhà vật lý nam: $C_5^1\times C_4^1=5\times 4=20$ cách. Tổng cộng $3\times 20=60$ cách.
- Trường hợp 2: Có 2 nhà toán học nữ ($C_3^2=3$ cách). Để có nhà vật lý nam thì người nam duy nhất phải là nhà vật lý nam ($C_4^1=4$ cách). Tổng cộng $3\times 4=12$ cách.
Wait, kiểm tra lại: số cách = $60+12$ hay còn trường hợp nào? Xét 1 nữ toán + 2 nam vật lý: $C_3^1\times C_4^2=3\times 6=18$ cách (có cả nữ toán, nam vật lý!).
Tổng cộng: $60+12+18=90$ cách.

Chọn đáp án B.

Số có 8 chữ số gồm 3 chữ số 0 và 5 chữ số khác nhau thuộc tập $\{1;2;\dots ;9\}$.
- Chọn 5 chữ số khác nhau có thứ tự từ 9 chữ số: $A_9^5=15120$ cách xếp 5 chữ số này thành một hàng ngang.
- 5 chữ số này tạo ra 6 khoảng trống (1 ở trước, 4 ở giữa, 1 ở sau). Tuy nhiên chữ số 0 không được đứng đầu tiên nên chỉ có 5 vị trí trống để đặt 3 chữ số 0 (4 vị trí giữa và 1 vị trí cuối cùng).
- Chọn 3 vị trí trong 5 vị trí trống để đặt 3 chữ số 0 giống nhau: $C_5^3=10$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số các số tự nhiên thỏa mãn là $A_9^5\times C_5^3=15120\times 10=151200$ số.

Chọn đáp án D.

Trước hết chia cho mỗi bạn 2 phần quà, tổng số quà đã chia là $3\times 2=6$ phần quà. Còn lại $12-6=6$ phần quà như nhau chia cho 3 bạn tùy ý.
Bài toán quy về tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+x_3=6$.
Số cách chia là $C_{6+3-1}^{3-1}=C_8^2=\frac{8\times 7}{2}=28$ cách.

Chọn đáp án A.

Gọi $n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) là số vận động viên nam.
- Số ván các vận động viên nam đấu với nhau: mỗi cặp nam đấu 2 ván, có $2\times C_n^2=n(n-1)$ ván.
- Số ván các vận động viên nam đấu với 2 vận động viên nữ: mỗi nam đấu với 2 nữ, mỗi cặp 2 ván, có $n\times 2\times 2=4n$ ván.
Theo đề bài: $n(n-1)-4n=84\iff n^2-5n-84=0\iff (n-12)(n+7)=0\Rightarrow n=12$.
Tổng số vận động viên là $12+2=14$ người. Tổng số ván cờ tất cả đã chơi là $2\times C_{14}^2=14\times 13=182$ ván.

Chọn đáp án D.

Có 3 loại phần thưởng: Toán - Lý, Toán - Hóa, Lý - Hóa.
Gọi số phần thưởng Toán - Lý là $x$, Toán - Hóa là $y$, Lý - Hóa là $z$ ($x,y,z\in \mathbb{N}$).
Tổng số học sinh được nhận thưởng là 15: $x+y+z=15$.
Số sách toán dùng: $x+y=10$. Số sách lý dùng: $x+z=11$. Số sách hóa dùng: $y+z=9$.
Giải hệ phương trình:
$x+y+z=15$, suy ra $z=15-10=5$, $y=15-11=4$, $x=15-9=6$.
Vậy có 6 phần thưởng Toán - Lý, 4 phần thưởng Toán - Hóa, 5 phần thưởng Lý - Hóa.
Số cách trao giải cho 15 học sinh là: chọn 6 em nhận Toán - Lý có $C_{15}^6$ cách, chọn 4 em trong 9 em còn lại nhận Toán - Hóa có $C_9^4$ cách, 5 em còn lại nhận Lý - Hóa có $C_5^5=1$ cách.
Tổng số cách trao giải là $C_{15}^6{C}_9^4$.

Chọn đáp án B.

a) Đúng: Chia $9$ nhân vật cho $3$ bạn (mỗi bạn $3$ nhân vật) có $C_9^3\cdot C_6^3\cdot C_3^3$ cách.
b) Đúng: Chọn $3$ đội trưởng từ $7$ nhân vật theo thứ tự cho $3$ bạn có $A_7^3=210$ cách.
c) Đúng: Xác suất An nhận đội trưởng J là $\frac{2}{7}$.
d) Đúng: Theo tính đối xứng, xác suất Bình nhận đội trưởng J cũng bằng $\frac{2}{7}$.
Đáp án (Phần II Câu 4, trang 8): Đ, Đ, Đ, Đ.

Chọn D.

Chữ số 2 đứng liền giữa 1 và 3 tạo thành một khối có dạng $(123)$ hoặc $(321)$ (2 cách sắp xếp khối).
Trường hợp 1: Chữ số đầu tiên bằng 0:
- Có 4 vị trí cho khối 3 chữ số.
- Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3$.
Số cách: $4\cdot 2!\cdot A_6^3$.
Trường hợp 2: Sắp xếp bất kỳ (kể cả số 0 đứng đầu):
- Có 5 vị trí cho khối.
- Chọn 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại: $A_7^4$.
Số cách: $5\cdot 2!\cdot A_7^4$.
Vậy số các số thỏa mãn: $5\cdot 2!\cdot A_7^4-4\cdot 2!\cdot A_6^3=7440$.

Chọn A.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ ($a\ne 0$, các chữ số đôi một khác nhau).
Trường hợp 1: Chọn tùy ý cả khi $a=0$:
- Chọn 2 vị trí cho chữ số 2 và 3 có $A_5^2$ cách.
- Chọn 3 chữ số từ 8 chữ số còn lại điền vào 3 vị trí có $A_8^3$ cách.
Số cách: $A_5^2\cdot A_8^3$.
Trường hợp 2: Chữ số $a=0$:
- Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại cho 2 và 3 có $A_4^2$ cách.
- Chọn 2 chữ số từ 7 chữ số còn lại điền vào 2 vị trí có $A_7^2$ cách.
Số cách: $A_4^2\cdot A_7^2$.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu là $A_5^2\cdot A_8^3-A_4^2\cdot A_7^2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 4 (Phần III) có kết quả là: 78.

Đa giác đều $k$ cạnh nội tiếp trong đa giác đều 60 đỉnh có các đỉnh cách đều nhau các cung $\frac{60}{k}$ đỉnh.
Điều kiện cần và đủ là $k$ là ước của 60 và $k\ge 3$.
Các ước của 60 lớn hơn hoặc bằng 3 là: 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (gồm 10 giá trị).
Với mỗi $k$, số đa giác đều $k$ đỉnh tạo thành là $\frac{60}{k}$.
Tổng số đa giác đều là:
${\sum }_{k|60,k\ge 3}\frac{60}{k}=\frac{60}{3}+\frac{60}{4}+\frac{60}{5}+\frac{60}{6}+\frac{60}{10}+\frac{60}{12}+\frac{60}{15}+\frac{60}{20}+\frac{60}{30}+\frac{60}{60}$
$=20+15+12+10+6+5+4+3+2+1=78$.

Để ván cờ kết thúc ở nước đi thứ $5$ với An thắng, An đã đi $3$ nước (ở các nước thứ $1,3,5$) tạo thành một bộ $3$ ô thẳng hàng, và Bình đã đi $2$ nước (ở các nước thứ $2,4$) vào $2$ trong $6$ ô còn lại.
- Trên bảng $3\times 3$ có $8$ bộ ba ô thẳng hàng ($3$ hàng ngang, $3$ cột dọc, $2$ đường chéo). Với mỗi bộ ba ô thẳng hàng, An có $3!=6$ thứ tự đánh vào $3$ ô đó.
- Bình có $A_6^2=6\cdot 5=30$ cách chọn và sắp thứ tự $2$ ô trong $6$ ô còn lại.
Vậy số trình tự các nước đi thỏa mãn là $8\cdot 6\cdot 30=1440$.

Số cách chọn 6 số từ tập $\{1,2,\dots ,9\}$ và xếp vào các ô sao cho tổng các số ở mỗi cột bằng nhau là 48.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 3 Phần III có đáp án là 156.

Gọi số vận động viên nam tham gia là $x$ ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\ge 2$).
- Số ván các vận động viên nam thi đấu với nhau (mỗi cặp 2 ván) là: $2\cdot C_x^2=2\cdot \frac{x(x-1)}{2}=x(x-1)$.
- Số ván các vận động viên nam thi đấu với 2 vận động viên nữ là: $2\cdot (x\cdot 2)=4x$.
Theo đề bài:
$x(x-1)-4x=66\iff x^2-5x-66=0\iff (x-11)(x+6)=0\Rightarrow x=11$.
Tổng số vận động viên là $11+2=13$ người.
Tổng số ván mà tất cả các vận động viên đã thi đấu là:
$2\cdot C_{13}^2=2\cdot \frac{13\cdot 12}{2}=156$ (ván).

a) **Đúng**. Số cách chọn $5$ học sinh tùy ý từ nhóm $21$ học sinh là $C_{21}^5=20349$ cách.
b) **Sai**. Vì chọn $5$ học sinh có đủ cả $3$ lớp và số học sinh lớp $10C$ lớn hơn $2$ nên phải có $1$ học sinh lớp $10A$, $1$ học sinh lớp $10B$ và $3$ học sinh lớp $10C$. Số cách chọn là $C_6^1{C}_8^1{C}_7^3=1680\ne 1860$.
c) **Đúng**. Số cách chọn $5$ học sinh từ $6$ học sinh lớp $10A$ là $C_6^5=6$ cách.
d) **Đúng**. Do không có lớp nào có đúng $1$ học sinh được chọn nên số học sinh mỗi lớp thuộc $\{0;2;3;4;5\}$. Có $2$ trường hợp:
- TH1: Chọn $5$ học sinh cùng một lớp: $C_6^5+C_8^5+C_7^5=83$ cách.
- TH2: Chọn ở $2$ lớp, một lớp $3$ học sinh và một lớp $2$ học sinh: $C_6^2{C}_8^3+C_6^3{C}_8^2+C_6^2{C}_7^3+C_6^3{C}_7^2+C_8^2{C}_7^3+C_8^3{C}_7^2=4501$ cách.
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{4501+83}{C_{21}^5}=\frac{4584}{20349}=\frac{1528}{6783}$.

Có $6$ cách chọn màu cho miền $O$. Với $5$ màu còn lại tô cho $A,B,C,D$:
- TH1 ($A$ và $C$ cùng màu): có $5\cdot 4\cdot 4=80$ cách.
- TH2 ($A$ và $C$ khác màu): có $5\cdot 4\cdot 3\cdot 3=180$ cách.
Vậy có tất cả $6\cdot (80+180)=1560$ cách tô màu. Đáp án: 1560.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 2 Phần III có đáp án là 36.

Tập các chữ số có 10 phần tử gồm 5 chữ số chẵn $\{0,2,4,6,8\}$ và 5 chữ số lẻ $\{1,3,5,7,9\}$.
Mật mã 6 chữ số có thể bắt đầu bằng chữ số 0:
- Tổng số mật mã 6 chữ số có thể tạo thành là $10^6=1000000$.
- Số mật mã 6 chữ số không chứa chữ số lẻ nào (chỉ gồm các chữ số chẵn) là $5^6=15625$.
- Số mật mã chứa ít nhất một chữ số lẻ là:
$n=10^6-5^6=1000000-15625=984375$.
Tổng các chữ số của $n$ là: $9+8+4+3+7+5=36$.