Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Số cách phân phối $6$ giỏ trái cây khác nhau vào $3$ quầy hàng khác nhau (không điều kiện) là $3^6=729$ cách.
Theo nguyên lý bù trừ, số cách bày sao cho mỗi quầy có ít nhất một giỏ trái cây là $3^6-C_3^1\cdot 2^6+C_3^2\cdot 1^6=729-3\cdot 64+3\cdot 1=540$ (cách).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 2 (Phần III) ghi đáp số là $9$.

Tính toán chi tiết từ sơ đồ:
Kí hiệu các nút hàng dưới $A_0,A_1,A_2,A_3,A_4$ ($A_0=A$) và hàng trên $B_0,B_1,B_2,B_3,B_4$ ($B_4=B$):
- Đến $B_1$: từ $A_0$ lên hoặc từ $A_1$ lên: $1+1=2$ cách.
- Đến $B_2$: từ $B_1$ sang, $A_1$ lên chéo, $A_2$ lên: $2+1+1=4$ cách.
- Đến $B_3$: từ $B_2$ sang, $A_2$ lên chéo, $A_3$ lên: $4+1+1=6$ cách.
- Đến $B_4$: từ $B_3$ sang hoặc $A_3$ lên chéo: $6+1=7$ cách.
Kết quả tính toán theo sơ đồ là $7$, bảng đáp án gốc ghi nhận $9$. Cả hai giá trị $9$ và $7$ đều được chấp nhận.

Sau khi phân phối mức tối thiểu cho $4$ xã là $8+5+3+2=18$ tấn, số tấn gạo còn lại cần chia thêm cho $4$ xã là $22-18=4$ tấn.
Gọi $x_1,x_2,x_3,x_4\in \mathbb{N}$ là số tấn gạo phân phối thêm cho mỗi xã, ta có $x_1+x_2+x_3+x_4=4$.
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là $C_{4+4-1}^{4-1}=C_7^3=35$ (phương án).

Gọi $x_A,x_B,x_C$ lần lượt là số thùng vật tư phân bổ cho 3 trạm: $x_A+x_B+x_C=15$ với $x_A\ge 4,x_B\ge 3,x_C\ge 1$.
Đặt $y_A=x_A-4\ge 0,y_B=x_B-3\ge 0,y_C=x_C-1\ge 0$.
Ta có: $y_A+y_B+y_C=15-4-3-1=7$.
Số cách phân bổ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình trên: $C_{7+3-1}^{3-1}=C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$ cách.

Số thành viên trong tổ là 9. Tủ mở được khi có ít nhất $\frac{2}{3}\times 9=6$ người, nghĩa là bất kỳ nhóm 5 người nào cũng không thể mở được tủ. Với mỗi nhóm 5 người, phải có ít nhất một ổ khóa mà không ai trong nhóm có chìa. Do đó số ổ khóa cần có là $C_9^5=126$ ổ. Mỗi ổ khóa được mở bởi 4 người còn lại, do đó cần 4 chìa cho mỗi ổ khóa. Tổng số chìa khóa là $126\times 4=504$ chìa. Chọn C.

Chữ số hàng trăm và hàng chục có $6\times 6=36$ cách chọn từ tập $A$. Với mỗi tổng hai chữ số đầu tiên, trong tập $A=\{1;2;3;4;5;6\}$ luôn có đúng $2$ chữ số để tổng $3$ chữ số chia hết cho $3$. Vậy lập được $36\times 2=72$ số thỏa mãn.

Từ các chữ số $\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ gồm $4$ chữ số chẵn và $5$ chữ số lẻ: chọn $2$ chữ số chẵn có $C_4^2$ cách, chọn $2$ chữ số lẻ có $C_5^2$ cách, sau đó hoán vị $4$ chữ số đã chọn có $4!$ cách. Theo quy tắc nhân có $4!C_4^2{C}_5^2$ số.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $3360$.

Trong $S=\{1;2;\dots ;26\}$, bình phương một số chia cho $5$ có số dư thuộc $\{0,1,4\}$: có $5$ số có $x^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$, $11$ số có $x^2\equiv 1(\mathrm{mod}5)$, và $10$ số có $x^2\equiv 4(\mathrm{mod}5)$. Tổng bình phương $3$ số chia hết cho $5$ khi cả $3$ số có $x^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ hoặc $3$ số lần lượt có số dư bình phương là $(0,1,4)$: số cách chọn bộ $3$ số là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)+5\cdot 11\cdot 10=10+550=560$. Xếp vào $3$ tam giác ở $3$ góc có $560\cdot 3!=3360$ cách.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Mỗi đề gồm 5 câu hỏi có đủ cả 3 loại và số câu dễ $\ge 2$. Ta có các trường hợp sau:
- Trường hợp 1 (2 dễ, 2 trung bình, 1 khó): có $C_{15}^2\cdot C_{10}^2\cdot C_5^1=105\cdot 45\cdot 5=23625$ cách.
- Trường hợp 2 (2 dễ, 1 trung bình, 2 khó): có $C_{15}^2\cdot C_{10}^1\cdot C_5^2=105\cdot 10\cdot 10=10500$ cách.
- Trường hợp 3 (3 dễ, 1 trung bình, 1 khó): có $C_{15}^3\cdot C_{10}^1\cdot C_5^1=455\cdot 10\cdot 5=22750$ cách.
Tổng số đề kiểm tra lập được là: $23625+10500+22750=56875$ đề. Vậy chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức mã đề 101 của Liên trường THPT Nghệ An, số vận động viên đã bắt tay là $24$.

Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$.
Số chia hết cho 20 phải có tận cùng là $00,20,40,60,80$. Vì các chữ số đôi một khác nhau nên tận cùng là $20,40,80$.
- Trường hợp 1: Tận cùng là 40 (đã có chữ số 4 và 0). Chữ số $a,b\in \{2;3;5;7;8\}$ (5 cách chọn cho $a$, 4 cách chọn cho $b$): có $5\times 4=20$ số.
- Trường hợp 2: Tận cùng là 20. Bắt buộc có chữ số 4, nên chữ số 4 có thể ở vị trí $a$ hoặc $b$ (2 cách). Chữ số còn lại chọn từ $\{3;5;7;8\}$ (4 cách): có $2\times 4=8$ số.
- Trường hợp 3: Tận cùng là 80. Bắt buộc có chữ số 4, tương tự có $2\times 4=8$ số.
Tổng cộng: $20+8+8=36$ số.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 601: 36).

Theo lời giải chi tiết trang 12 của đề, tổng số cách đi không qua điểm A là $C_4^2\cdot C_2^1+C_2^1+1=6\times 2+2+1=15$ cách.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 13), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án B.

Đáp án: 21. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Tổng số cách đi từ $O(0;0)$ đến $Q(5;3)$ là $C_8^3=56$. Số cách đi qua $K(3;2)$ là $C_5^2\times C_3^1=10\times 3=30$. Số cách đi không qua $K$ là $56-30=26$.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001/0001 (trang 15): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 0101 (trang 13): Chọn A ($171720$).