Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0;1] ta có ∛x ≥ 0 nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ∛x, trục Ox, x = 0 và x = 1 là S = ∫₀¹|∛x|dx = ∫₀¹∛x dx. Khẳng định ĐÚNG.

b) Diện tích giới hạn bởi y = x³, trục Ox, x = 0, x = 1 là S = ∫₀¹x³ dx = x⁴/4|₀¹ = 1/4 (dvdt), không phải 3/4. Khẳng định SAI.

c) Trên [0;1] ta có ∛x ≥ x³ (ví dụ x = 1/4: ∛x ≈ 0,63 > x³ ≈ 0,0156), nên diện tích phải tính bằng S = ∫₀¹(∛x − x³)dx, không phải ∫₀¹(x³ − ∛x)dx (tích phân này âm). Khẳng định SAI.

d) Diện tích phần tô đậm (giữa hai đồ thị trên [0;1]) là S = ∫₀¹(∛x − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2 (dvdt). Viên gạch là hình vuông cạnh 1 có diện tích 1, nên phần không tô đậm có diện tích 1 − 1/2 = 1/2 (dvdt). Khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], ∛x ≥ 0 nên S = ∫₀¹|∛x|dx là công thức đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹x³ dx = 1/4 (dvdt), không phải 3/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có ∛x ≥ x³ nên công thức đúng là S = ∫₀¹(∛x − x³)dx; công thức đã cho cho giá trị âm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm = ∫₀¹(∛x − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2; phần không tô đậm = 1 − 1/2 = 1/2 (dvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $(P):y=x^2-2$, $d:y=x-2$.

a) $(P)$ cắt $Ox$ tại $x=\pm \sqrt{2}$. $S_1={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2-x^2)dx={\left[2x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}\ne \frac{4\sqrt{2}}{3}$. → Sai.

b) $(P)\cap d$: $x^2-2=x-2\iff x=0,1$. Trên $[0,1]$ thì $d\ge (P)$, nên $S_2={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. → Đúng.

c) Với $0<a<\sqrt{2}$, trên $[0,a]$ có $x^2-2<0$ nên $S_3={\int }_0^a(2-x^2)dx=-{\int }_0^a(x^2-2)dx$, không thể bằng ${\int }_0^a(x^2-2)dx$ (giá trị âm). → Sai.

d) Hình $(H_4)$ giới hạn bởi $(P)$, $d$ và $Ox$: với $x\in [1,\sqrt{2}]$ lấy giữa $(P)$ và $d$: $(x^2-2)-(x-2)=x^2-x$; với $x\in [\sqrt{2},2]$ lấy giữa $Ox$ và $d$: $2-x$. $S_4={\int }_1^{\sqrt{2}}(x^2-x)dx+{\int }_{\sqrt{2}}^2(2-x)dx=\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{5}{6}\right)+(3-2\sqrt{2})=\frac{13-8\sqrt{2}}{6}\approx 0,28\ne \frac{4\sqrt{2}-5}{3}\approx 0,22$. → Sai.

Kết luận: chỉ phát biểu b) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S_1={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2-x^2)dx=\frac{8\sqrt{2}}{3}\ne \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P)$ và $d$ cắt tại $x=0,1$; $S_2={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0,a]$ với $a<\sqrt{2}$, $x^2-2<0$ nên $S_3={\int }_0^a(2-x^2)dx$, không phải ${\int }_0^a(x^2-2)dx$ (giá trị âm).
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_4={\int }_1^{\sqrt{2}}(x^2-x)dx+{\int }_{\sqrt{2}}^2(2-x)dx=\frac{13-8\sqrt{2}}{6}\approx 0,28\ne \frac{4\sqrt{2}-5}{3}\approx 0,22$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm viên gạch là gốc tọa độ $O$, cạnh hình vuông $a=60cm$ nên các đỉnh của hình vuông là $(\pm 30,\pm 30)$. Xét một cánh hoa hướng về đỉnh $(30;30)$: nó được giới hạn bởi hai parabol có đỉnh chung $O$ và đối xứng nhau qua đường phân giác $y=x$, đó là $y=\frac{x^2}{30}$ và $y^2=30x$ (tức $y=\sqrt{30x}$ với $x\ge 0$). Hai parabol này cắt nhau tại $(0;0)$ và $(30;30)$. Diện tích một cánh hoa: $$S_1={\int }_0^{30}\left(\sqrt{30x}-\frac{x^2}{30}\right)dx=\sqrt{30}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^{30}-\frac{x^3}{90}{|}_0^{30}=600-300=300(c{m}^2).$$ Do tính đối xứng, bốn cánh hoa bằng nhau nên tổng diện tích phần tô màu là $4\cdot 300=1200c{m}^2$. Hình viên gạch (hình hoa bốn cánh dạng chữ X) có trên trang 12, khớp với mô tả.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: đỉnh parabol tại $(0;4)$, parabol cắt mặt đất tại $x=\pm 2$ (độ rộng cổng $4m$, chiều cao $4m$), nên $y=4-x^2$. Vì $CD=2m$ nên $A,B$ có hoành độ $\pm 1$, cao độ $y=4-1=3m$. Diện tích hình chữ nhật $ABCD$: $2\times 3=6m^2$. Diện tích dưới parabol: ${\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}{m}^2$. Diện tích trang trí hoa văn (phần parabol bên ngoài hình chữ nhật): $\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}{m}^2$. Số tiền: $\frac{14}{3}\times 240000=1120000$ đồng $=1,12$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc tại tâm O. Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn có cạnh 4 nên bán kính R = 4/√2 = 2√2, các đỉnh là A(-2;2), B(2;2), C(-2;-2), D(2;-2). Hai parabol đối xứng qua O: parabol đỏ đi qua A, B có dạng y = 2 - x²/2; parabol xanh đi qua C, D có dạng y = x²/2 - 2.

Diện tích giữa hai parabol (tức S3 + S4, hai vùng bên trái và phải, chạm nhau tại O):
S3 + S4 = ∫_{-2}^{2} [(2 - x²/2) - (x²/2 - 2)] dx = ∫_{-2}^{2} (4 - x²) dx = [4x - x³/3]_{-2}^{2} = 32/3 ≈ 10,67 m².

Diện tích đường tròn: S = πR² = 8π ≈ 25,13 m².
Suy ra S1 + S2 = 8π - 32/3 ≈ 14,47 m².

Chi phí: trồng hoa: 150000 × 14,47 = 2.170.500 đồng; trồng cỏ: 100000 × 10,67 = 1.067.000 đồng.
Tổng: 3.237.500 đồng, làm tròn đến hàng chục nghìn: 3.240.000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $h(x)=f(x)-g(x)=a{x}^3+(b-d)x^2+(c-e)x+1$. Vì hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ $-1,\frac{1}{2},2$ nên $h(x)=a(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)$. Tại $x=0$: $h(0)=1=a\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-2)=a\Rightarrow a=1$. Vậy $h(x)=(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+1$. Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{2}-\frac{3x^2}{4}+x$. Tính: $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{17}{64}$, $F(-1)=-1$, $F(2)=-1$. Trên $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ có $h(x)>0$ (ví dụ $h(0)=1>0$) và trên $\left(\frac{1}{2},2\right)$ có $h(x)<0$ (ví dụ $h(1)=-\frac{3}{2}<0$), phù hợp hình vẽ. Diện tích $S={\int }_{-1}^{1/2}h(x)dx-{\int }_{1/2}^{2}h(x)dx=\left(\frac{17}{64}+1\right)+\left(-1-\frac{17}{64}\right)\cdot (-1)=\frac{81}{64}+\frac{81}{64}=\frac{81}{32}$.

Đáp án: 65,4.

Đặt parabol phía trên là $(P_1)$: $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ $(a_1\ne 0)$.

Ta thấy $(P_1)$ có đỉnh $(0;3)$ và đi qua điểm $(6;0)$. Ta có hệ phương trình:

$$\{<table><tbody><tr><td>-\frac{b_1}{2a_1}=0</td></tr><tr><td>a_1.0^2+b_1.0+c_1=3</td></tr><tr><td>a_1.6^2+b_1.6+c_1=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>b_1=0</td></tr><tr><td>c_1=3</td></tr><tr><td>a_1=-\frac{1}{12}</td></tr></tbody></table>\Rightarrow (P_1):y=-\frac{1}{12}{x}^2+3.$$

Đặt parabol phía dưới là $(P_2)$: $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$ $(a_2\ne 0)$.

Ta thấy $(P_2)$ có đỉnh $(0;-5)$ và đi qua điểm $(6;0)$. Ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}-\frac{b_2}{2a_2}=0\\ a_2.0^2+b_2.0+c_2=-5\\ a_2.6^2+b_2.6+c_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{b}_2=0\\ c_2=-5\\ a_1=\frac{5}{36}\end{array}\Rightarrow (P_2):y=\frac{5}{36}{x}^2-5.$$ (Lưu ý: trong ảnh, dòng cuối hệ thứ hai ghi $a_1=\frac{5}{36}$, có thể là lỗi in của đề gốc, giữ nguyên.)

Diện tích logo là:
$$S=\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left|\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)-\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)\right|\mathrm{d}x$$
$$=\underset{-7}{\overset{-6}{\int }}\left[\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)-\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)\right]\mathrm{d}x+\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left[\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)-\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)\right]\mathrm{d}x$$
$$=\underset{-7}{\overset{-6}{\int }}\left(\frac{2}{9}{x}^2-8\right)\mathrm{d}x+\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left(-\frac{2}{9}{x}^2+8\right)\mathrm{d}x$$
$$=\frac{38}{27}+64=\frac{1766}{27}\approx 65,4\left({\mathrm{cm}}^2\right)$$

(Lưu ý: trong lời giải gốc trang 16, tích phân thứ hai được in với cận trên là $-7$ đến $6$, trong khi giá trị $64$ tương ứng với cận $-6$ đến $6$ (hai parabol cắt nhau tại $x=\pm 6$); đây có thể là lỗi in của tài liệu gốc, giữ nguyên và kết quả cuối $\frac{1766}{27}\approx 65,4$ vẫn đúng.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: ${\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(-2)=3$. Trên đoạn $[1;3]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành với diện tích phần gạch chéo $S=\frac{5}{3}$, nên ${\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx=-\frac{5}{3}$. Do đó $f(3)-f(-2)={\int }_{-2}^3{f}^{\prime }(x)dx={\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)dx+{\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol (P): y=4x^2−14 cắt Ox tại x=±√14/2.
a) Trên [0;1] parabol nằm dưới Ox: S=∫₀¹(14−4x²)dx=[14x−(4/3)x³]₀¹=14−4/3=38/3. Đúng.
b) Trên [0;1] và [−1;0], đường y=2025 đều nằm trên parabol, và 4x²−14 là hàm chẵn nên ∫₀¹(2025−(4x²−14))dx=∫₋₁⁰(2025−(4x²−14))dx. Hai diện tích bằng nhau. Đúng.
c) S=2∫₀^{√14/2}(14−4x²)dx=2(7√14−(7√14)/3)=(28√14)/3≈34,92, không xấp xỉ 38. Sai.
d) Diện tích giới hạn bởi (P), Ox và x=0, x=√14/2 là (14√14)/3≈17,46; diện tích toàn phần (28√14)/3≈34,92 gấp đúng 2 lần chứ không phải 3 lần. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
S=∫₀¹(14−4x²)dx=14−4/3=38/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do 4x²−14 là hàm chẵn và y=2025 nằm trên parabol trên cả hai đoạn, hai tích phân bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
S=(28√14)/3≈34,92≠38.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số bằng 2, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
a) Nguyên hàm: ∫(x²−x−6)dx = x³/3 − x²/2 − 6x + C. Đúng.
b) ∫₀¹ f(x)dx = (1/3 − 1/2 − 6) − 0 = −37/6. Đúng.
c) f(x)=0 tại x=−2, x=3; f<0 trên (−2,3) nên S = −∫₋₂³ f(x)dx = −[F(3)−F(−2)] với F(x)=x³/3−x²/2−6x. F(3)=−27/2, F(−2)=28/3, nên S = −(−27/2 − 28/3) = 137/6 ≠ 125/6. Sai.
d) V = (√3/4)∫₋₂³ f²(x)dx. f²(x) = x⁴ − 2x³ − 11x² + 12x + 36; nguyên hàm G(x)=x⁵/5 − x⁴/2 − 11x³/3 + 6x² + 36x. G(3)=711/10, G(−2)=−496/15, ∫ = 711/10 + 496/15 = 625/6. V = (√3/4)(625/6) = 625√3/24 ≈ 45.11 ≠ 624√3/25 ≈ 43.19. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫(x²−x−6)dx = x³/3 − x²/2 − 6x + C, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₀¹(x²−x−6)dx = 1/3 − 1/2 − 6 = −37/6, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm f(x)=0 là x=−2, x=3; f(x)≤0 trên [−2,3] nên S = −∫₋₂³(x²−x−6)dx = 137/6 ≠ 125/6, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
V = (√3/4)∫₋₂³(x²−x−6)²dx = (√3/4)(625/6) = 625√3/24 ≈ 45.11, khác 624√3/25 ≈ 43.19, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt nhau: $x^2-2x-1=-x^2+3\iff 2x^2-2x-4=0\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Trên $[-1;2]$ ta có $-x^2+3\ge x^2-2x-1$ (vì $-2x^2+2x+4\ge 0$).

a) Đúng: hình $(H)$ giới hạn bởi $y=x^2-2x-1$, $y=-x^2+3$ và hai đường $x=-1$, $x=2$ (đúng như hình vẽ).

b) Đúng: công thức diện tích giữa hai đồ thị $S={\int }_{-1}^2\left|(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$.

c) Sai: trên $[-1;2]$, $x^2-x-2\le 0$ nên $S=-2{\int }_{-1}^2(x^2-x-2)dx$; mệnh đề thiếu dấu trừ (tích phân này âm) nên sai.

d) Sai: $S={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=9$. Khi đó $\ln 9=2\ln 3$ nên $a=2$, $b=3$, suy ra $a^2+b^2=4+9=13\ne 29$; mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình $(H)$ giới hạn bởi $y=x^2-2x-1$, $y=-x^2+3$ và $x=-1$, $x=2$; hai giao điểm của hai đồ thị chính là $x=-1$ và $x=2$, đúng như hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích giữa hai đồ thị đúng là $S={\int }_{-1}^2\left|(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$, $x^2-x-2\le 0$ nên $S=-2{\int }_{-1}^2(x^2-x-2)dx$; mệnh đề thiếu dấu trừ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=9$. Khi đó $\ln 9=2\ln 3$ nên $a=2$, $b=3$, suy ra $a^2+b^2=13\ne 29$; mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(-1;2)$, $B(4;2)$, đoạn $BC$ cắt trục hoành tại $x=5$ và đi đến $C(6;-2)$. Theo tính chất nguyên hàm: $F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$. Trên $[-1;4]$, $f(x)=2$ nên ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx=5\cdot 2=10$ (hình chữ nhật đáy 5, cao 2). Trên $[4;5]$, $f(x)\ge 0$, tam giác có diện tích $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$, nên ${\int }_{-1}^{5}f(x)dx=10+1=11$, suy ra $F(5)=F(-1)+11=-1+11=10$. Trên $[5;6]$, $f(x)<0$, tam giác có diện tích 1 nên ${\int }_5^{6}f(x)dx=-1$, suy ra $F(6)=F(5)-1=9$. Vậy $F(5)+F(6)=10+9=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2-3x+4=2x-2\iff x^3-2x^2-5x+6=0\iff (x+2)(x-1)(x-3)=0$, nên giao điểm tại $x=-2;1;3$, cho $A(-2;-6),B(1;0),C(3;4)$ → a đúng.

b) $f(x)=x^3-2x^2-3x+4=(x-1)(x^2-x-4)$, trên $[-1;2]$: $f\ge 0$ trên $[-1;1]$, $f\le 0$ trên $[1;2]$. ${\int }_{-1}^{1}fdx=\frac{20}{3}$; ${\int }_1^{2}fdx=-\frac{17}{12}$. Diện tích $=\frac{20}{3}+\frac{17}{12}=\frac{97}{12}\ne \frac{21}{4}$ → b sai.

c) Đặt $g(x)=f(x)-(2x-2)=x^3-2x^2-5x+6$. Trên $[-2;1]$: $g\ge 0$, ${\int }_{-2}^{1}gdx=\frac{63}{4}$; trên $[1;3]$: $g\le 0$, $-{\int }_1^{3}gdx=\frac{16}{3}$. Tổng $S=\frac{63}{4}+\frac{16}{3}=\frac{253}{12}$ → c đúng.

d) $S_1=\frac{63}{4}$, $S_2=\frac{16}{3}$, tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{63}{4}\cdot \frac{3}{16}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^3-2x^2-5x+6=0$ được $x=-2;1;3$, thay vào $y=2x-2$ được đúng các điểm $A(-2;-6),B(1;0),C(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế là $\frac{20}{3}+\frac{17}{12}=\frac{97}{12}\ne \frac{21}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_{-2}^{1}gdx-{\int }_1^{3}gdx=\frac{63}{4}+\frac{16}{3}=\frac{253}{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{63/4}{16/3}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt nước tại chiều cao $x$ là $S(x)={\left(\sqrt{2+\frac{x^2}{4}}\right)}^2=2+\frac{x^2}{4}$. Dung tích bình là thể tích nước khi đầy (từ $x=0$ đến $x=4$): $$V={\int }_0^4\left(2+\frac{x^2}{4}\right)dx={\left[2x+\frac{x^3}{12}\right]}_0^4=8+\frac{64}{12}=8+\frac{16}{3}=\frac{40}{3}{\text{dm}}^3.$$ Vậy dung tích bình bằng $\frac{40}{3}\approx 13,33{\text{dm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$.

a) Sai. Phương trình $f(x)=0$ cho $x=0$, $x=1$, $x=2$. Đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm với hoành độ $x=0,1,2$, không chỉ $x=1$ và $x=2$.

b) Đúng. Nguyên hàm: $\int (x^3-3x^2+2x)dx=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2+C$.

c) Sai. Trên $[0,1]$ thì $f(x)\ge 0$, trên $[1,2]$ thì $f(x)\le 0$, nên diện tích phải tính
$$S={\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_1^{2}f(x)dx,$$
không thể chỉ lấy trị tuyệt đối của tích phân từ $1$ đến $2$ (thiếu phần trên $[0,1]$).

d) Đúng. Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$: $F(0)=0$, $F(1)=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4}$, $F(2)=4-8+4=0$.
$$S=|F(1)-F(0)|+|F(2)-F(1)|=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

a) $f(x)=x(x-1)(x-2)=0$ cho $x=0,1,2$; thiếu $x=0$.

b) Nguyên hàm của $x^3-3x^2+2x$ là $\frac{x^4}{4}-x^3+x^2+C$.

c) $f$ đổi dấu tại $x=1$ và miền giới hạn là $[0,2]$, nên $S={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx$, không phải $\left|{\int }_1^{2}fdx\right|$.

d) $F(0)=0$, $F(1)=\frac{1}{4}$, $F(2)=0$ nên $S=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tại điểm $x$ là tam giác đều cạnh $x$: $S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$. Thể tích: $V={\int }_1^4\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}dx=\frac{\sqrt{3}}{12}{\left[x^3\right]}_1^4=\frac{\sqrt{3}}{12}(64-1)=\frac{63\sqrt{3}}{12}=\frac{21\sqrt{3}}{4}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $I={\int }_a^{b}5x^{4}dx=5A$ nên $A=\frac{I}{5}\ne 5I$ → Sai. b) Trên $[2;4]$, $f(x)=x^4(5-3x)<0$, diện tích $={\int }_2^4(3x^5-5x^4)dx={\left[\frac{x^6}{2}-x^5\right]}_2^4=(2048-1024)-(32-32)=1024$ → Đúng. c) ${\int }_a^{b}f(x)dx=I-J\ne I+J$ → Sai. d) $V=\pi {\int }_0^{3/2}{x}^8(5-3x{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{25x^9}{9}-3x^{10}+\frac{9x^{11}}{11}\right]}_0^{3/2}\approx 4,56\pi <5\pi$ → Đúng. Khớp bảng đáp án mã đề 102: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $I={\int }_a^{b}5x^{4}dx=5{\int }_a^b{x}^{4}dx=5A$ nên $A=\frac{I}{5}$, không phải $A=5I$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;4]$, $f(x)=x^4(5-3x)<0$ nên $S={\int }_2^4(3x^5-5x^4)dx={\left[\frac{x^6}{2}-x^5\right]}_2^4=(2048-1024)-0=1024$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b(5x^4-3x^5)dx=I-J\ne I+J$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{3/2}{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^{3/2}{x}^8(5-3x{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{25x^9}{9}-3x^{10}+\frac{9x^{11}}{11}\right]}_0^{3/2}\approx 4,56\pi <5\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục Oxy với gốc tại tâm viên gạch, các cạnh hình vuông song song với trục. Vì cạnh hình vuông bằng 60 cm nên các đỉnh hình vuông là $(\pm 30;\pm 30)$.

Bốn parabol có chung đỉnh tại tâm $O(0;0)$, mỗi parabol đi qua hai đỉnh kề của hình vuông. Trong góc phần tư thứ nhất, cánh hoa giới hạn bởi hai parabol:
$$P_1:y=\frac{x^2}{30},P_2:y=\sqrt{30x}\left(\text{tức }x=\frac{y^2}{30}\right)$$
(hai parabol này cùng đi qua $O(0;0)$ và $(30;30)$, và chỉ cắt nhau tại hai điểm đó).

Diện tích một cánh hoa trong góc phần tư thứ nhất:
$$S_1={\int }_0^{30}\left(\sqrt{30x}-\frac{x^2}{30}\right)dx$$
Tính từng phần:
$${\int }_0^{30}\sqrt{30x}dx=\sqrt{30}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^{30}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{30}\cdot 30\sqrt{30}=600$$
$${\int }_0^{30}\frac{x^2}{30}dx=\frac{x^3}{90}{|}_0^{30}=\frac{27000}{90}=300$$
Suy ra $S_1=600-300=300{\text{cm}}^2$.

Do tính đối xứng, bông hoa gồm bốn cánh hoa như nhau:
$$S=4\times 300=1200{\text{cm}}^2.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 102: 1200).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ với gốc tại tâm viên gạch, các cạnh song song trục, cạnh hình vuông $60cm$ nên các đỉnh hình vuông là $(\pm 30;\pm 30)$. Bốn parabol có đỉnh tại tâm, mỗi cánh hoa nằm dọc theo một đường chéo và bị giới hạn bởi hai parabol đối xứng qua đường chéo đó. Xét cánh hoa trong góc phần tư thứ nhất, nằm giữa parabol $y=\frac{x^2}{30}$ (đỉnh tại tâm, đi qua $(30;30)$) và parabol $y^2=30x$ tức $y=\sqrt{30x}$. Diện tích một cánh hoa: $$S_1={\int }_0^{30}\left(\sqrt{30x}-\frac{x^2}{30}\right)dx=\sqrt{30}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^{30}-\frac{x^3}{90}{|}_0^{30}=\frac{2}{3}\cdot 900-300=600-300=300c{m}^2.$$ Bông hoa có 4 cánh hoa nên $S=4\cdot 300=1200c{m}^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1200).