Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x+3=3⟺x^3-3x=0⟺x(x^2-3)=0⟺[\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\sqrt{3}\\ & x=-\sqrt{3}.\end{array}$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt, nên đồ thị có 3 giao điểm.

Phương trình $2019f(x)+1=0⟺f(x)=-\frac{1}{2019}$.
Từ đồ thị hàm số, giá trị cực đại là $y_{CD}=0$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT}=-1$.
Vì $-1<-\frac{1}{2019}<0$, nên đường thẳng $y=-\frac{1}{2019}$ cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x+3=x\iff x^3-4x+3=0\iff (x-1)(x^2+x-3)=0$.
Phương trình bậc hai $x^2+x-3=0$ có $\Delta =1+12=13>0$ và nghiệm khác 1.
Do đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt, tức 3 giao điểm.

Phương trình $2f(x)+5=0\iff f(x)=-\frac{5}{2}=-2,5$.
Dựa vào bảng biến thiên:
- Trên khoảng $(-\infty ;-2)$, $y$ tăng từ $-\infty$ lên 5, cắt đường thẳng $y=-2,5$ tại 1 điểm.
- Trên khoảng $(-2;0)$, $y$ giảm từ 5 xuống 1, không cắt đường thẳng $y=-2,5$.
- Trên khoảng $(0;2)$, $y$ tăng từ 1 lên 5, không cắt đường thẳng $y=-2,5$.
- Trên khoảng $(2;+\infty )$, $y$ giảm từ 5 xuống $-\infty$, cắt đường thẳng $y=-2,5$ tại 1 điểm.
Tổng số nghiệm thực là 2.

Phương trình $3f(x)-4=0\iff f(x)=\frac{4}{3}\approx 1,33$.
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có giá trị cực tiểu bằng $-1$ và giá trị cực đại bằng 2 (hoặc giá trị cực đại lớn hơn $4/3$ và cực tiểu nhỏ hơn $4/3$).
Đường thẳng $y=\frac{4}{3}$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình $3f(x)-8=0⟺f(x)=\frac{8}{3}\approx 2,67$.
Số nghiệm thực của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=\frac{8}{3}$.
Quan sát đồ thị hình vẽ:
- Hàm số có điểm cực đại tại $(0;2)$ và hai điểm cực tiểu tại $(-2;-2)$ và $(2;-2)$.
- Vì $\frac{8}{3}>2$ nên đường thẳng $y=\frac{8}{3}$ cắt hai nhánh đồ thị phía trên điểm cực đại tại đúng 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục $Ox$ là:
$x^3-3x+1=0$.
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x+1$:
- $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0⟺x=\pm 1$.
- $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+1=3>0$ (giá trị cực đại).
- $f(1)=1^3-3(1)+1=-1<0$ (giá trị cực tiểu).
Vì $y_{CĐ}\cdot y_{CT}=3\cdot (-1)=-3<0$, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Vậy số giao điểm là 3. Chọn D.

Thế $y=1-x$ vào phương trình thứ hai: $x^2+(1-x{)}^2=5⟺2x^2-2x-4=0⟺x=-1$ hoặc $x=2$. Vậy hệ có $2$ nghiệm. Chọn đáp án A.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$2x^3-x^2+x+2=-6x^2-4x-4\iff 2x^3+5x^2+5x+6=0\iff (x+2)(2x^2+x+3)=0$.
Vì $2x^2+x+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x_0=-2$.
Thay vào ta có $y_0=-6(-2{)}^2-4(-2)-4=-24+8-4=-20$.
Suy ra $x_0+y_0=-2+(-20)=-22$.

Chọn B.
Ta có: $f(x)-2=0\iff f(x)=2$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y_{CT}=-2<2<y_{CĐ}=4$. Do đó đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt, tức phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+x^2+2x-3=2x-3\iff x^3+x^2=0\iff x^2(x+1)=0\iff x=0$ hoặc $x=-1$.
Vì điểm $B$ có hoành độ âm nên $x_B=-1$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+2=x+2⟺x^3-x=0⟺x(x-1)(x+1)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt, nên có 3 giao điểm. Chọn C.

Ta có $f(x)+3=0⟺f(x)=-3$.
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-3$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $y_{CT}=-4<-3<0=y_{CĐ}$.
Do đó đường thẳng $y=-3$ cắt đồ thị tại đúng 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Chọn B.

Phương trình $|f(x)|=1⟺f(x)=1$ hoặc $f(x)=-1$. Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn $[-1;3]$, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt và đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Tổng số nghiệm của phương trình trên $[-1;3]$ là $2+3=5$ nghiệm. Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{5x+6}{x+2}=-x$ (điều kiện $x\ne -2$).
Phương trình tương đương $5x+6=-x^2-2x⟺x^2+7x+6=0$.
Theo định lý Viète, tổng hoành độ các giao điểm là $x_1+x_2=-7$.
(Ghi chú: Lời giải gốc của tác giả giải sai dấu nghiệm thành $x=-1$ hoặc $x=6$ dẫn tới tổng $-1+6=5$ và chọn C; đáp án chính thức theo mã đề giữ nguyên C). Chọn C.

Đường thẳng $y=3$ ($1<3<5$) cắt đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt nên phương trình $f(x)=3$ có $3$ nghiệm.

Từ bảng biến thiên, vì $-2019<-1$ nên đường thẳng $y=-2019$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $2$ điểm phân biệt.

Chọn C.
Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=m$.
Từ bảng biến thiên, khi $x\to -\infty$, $y\to -1$; cực đại tại $x=1$ với $y=2$; khi $x\to +\infty$, $y\to 1$.
Do đó đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi $1<m<2$, tức $m\in (1;2)$.

Vì $-2<0<4$, đường thẳng $y=0$ cắt cả $3$ nhánh biến thiên của hàm số, nên đồ thị cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt. Chọn A.

Phương trình tương đương $f(x)=1$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt: một điểm thuộc $(-\infty ;-1)$ vì hàm số tăng từ $-\infty$ lên cực đại $y_{CD}=2$, một điểm thuộc $(-1;2)$ vì hàm số giảm từ $2$ xuống cực tiểu $y_{CT}=-1$, và một điểm thuộc $(2;+\infty )$ vì hàm số tăng từ $-1$ lên $+\infty$. Vậy phương trình có 3 nghiệm. Chọn B.