Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Phương trình tương đương $f(\sin 2x)=\frac{4}{3}$. Đặt $t=\sin 2x$, với $x\in [0;2\pi ]$ thì $t\in [-1;1]$. Dựa vào bảng biến thiên của $f(t)$ trên $[-1;1]$, đường thẳng $y=\frac{4}{3}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt $t_1\in (-1;0)$ và $t_2\in (0;1)$. Với mỗi $t_i\in (-1;1)\setminus \{0\}$, phương trình $\sin 2x=t_i$ có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Vậy tổng số nghiệm là $4+4=8$.

Đặt $t=\cos 4x\in [-1;1]$. Từ bảng biến thiên, phương trình $f(t)=\frac{1}{2}$ có $2$ nghiệm phân biệt $t_1\in (-1;0)$ và $t_2\in (0;1)$ thuộc $[-1;1]$. Trên đoạn $[0;10\pi ]$ ($20$ chu kì của $\cos 4x$), mỗi phương trình $\cos 4x=t_i$ ($i=1,2$) có $40$ nghiệm phân biệt. Vậy phương trình đã cho có $2\cdot 40=80$ nghiệm.

Ta có $3f(x)+2=0\iff f(x)=-\frac{2}{3}$. Vì $-1<-\frac{2}{3}<3$ nên đường thẳng $y=-\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số tại $4$ điểm phân biệt, phương trình có $4$ nghiệm thực.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 42 chọn đáp án A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0⟺x=1$ hoặc $x=3$.
- Cực đại tại $x=1,y(1)=m+4$.
- Cực tiểu tại $x=3,y(3)=m$.
Để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì $y(1)\cdot y(3)<0⟺-4<m<0$.
Khi đó:
- $y(0)=m<0$ và $y(1)=m+4>0⟹x_1\in (0;1)$.
- $y(1)>0$ và $y(3)=m<0⟹x_2\in (1;3)$.
- $y(3)<0$ và $y(4)=m+4>0⟹x_3\in (3;4)$.
Vậy $0<x_1<1<x_2<3<x_3<4$.

Chọn đáp án A.

Chọn D.
Với mọi $x\in (0;\pi )$, ta có $t=\sin x\in (0;1]$.
Bất phương trình trở thành $m<f(t)$ đúng với mọi $t\in (0;1]$.
Điều này tương đương với $m<{\min }_{t\in (0;1]}f(t)$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, trên nửa khoảng $(0;1]$ đồ thị nghịch biến từ $(0;0)$ xuống điểm cực tiểu $(1;-1)$, do đó giá trị nhỏ nhất của $f(t)$ trên $(0;1]$ là $f(1)=-1$.
Vậy $m<-1$.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Phương trình tương đương $f(x)=m-2020$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=m-2020$.
Dựa vào đồ thị, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng phải cắt nhánh trên hoặc tiếp xúc tại cực tiểu:
$$[<table><tbody><tr><td>m-2020>-3</td></tr><tr><td>m-2020=-4</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m>2017</td></tr><tr><td>m=2016</td></tr></tbody></table>$$

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đặt $t=1-2\sin x$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-1\le \sin x\le 1⟹t\in [-1;3]$.
Phương trình trở thành $f(t)=f(m)$ có nghiệm $t\in [-1;3]$.
Quan sát bảng biến thiên của hàm số $y=f(t)$ trên đoạn $[-1;3]$:

Giá trị của $f(t)$ nhận các giá trị từ cực tiểu đến cực đại trên $[-1;3]$.
Đối chiếu các giá trị nguyên của $m$ để $f(m)$ thuộc tập giá trị của $f(t)$ trên $[-1;3]$, ta tìm được đúng 7 giá trị nguyên của $m$.

Ta có $|f(x)|=2\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =2(1)\\ f(x)& =-2(2)\end{array}$
Từ bảng biến thiên của hàm số bậc bốn $y=f(x)$:
- Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt (nằm trên hai nhánh ngoài cùng vì cực đại bằng 0 hoặc cực trị nhỏ hơn 2).
- Đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
Các nghiệm của (1) và (2) không trùng nhau.
Vậy phương trình đã cho có tổng cộng $2+2=4$ nghiệm phân biệt.
Chọn D.

Từ bảng biến thiên, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $m$ nằm nghiêm ngặt giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại:
$-4<m<2$.
Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $m\in \{-3,-2,-1,0,1\}$.
Tổng các giá trị nguyên của $m$ là:
$(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-5$.
Chọn C.

Chọn C.
Phương trình tương đương $2m=x^4-2x^2+3=f(x)$.
Xét $f(x)=x^4-2x^2+3$ trên $(-2;2)$.
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0\iff x=0,x=\pm 1$.
Tính các giá trị: $f(0)=3,f(\pm 1)=2,{\lim }_{x\to \pm 2}f(x)=11$.
Bảng biến thiên cho thấy tập giá trị của $f(x)$ trên $(-2;2)$ là $[2;11)$.
Để phương trình có nghiệm trên $(-2;2)$ thì $2\le 2m<11\iff 1\le m<5,5$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1,2,3,4,5\}$. Có 5 giá trị nguyên.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số trên $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$:
- Trên nửa khoảng $(-\infty ;-2]$, hàm số nhận các giá trị trong khoảng $[22;+\infty )$.
- Trên nửa khoảng $[2;+\infty )$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=5$ với $f(5)=\frac{7}{4}$ và các nhánh đi lên $+2$ và $+\infty$.
Phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm phân biệt khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại đúng hai điểm phân biệt, tương đương:
$m\in \left[\frac{7}{4};2\right)\cup [22;+\infty )$.
Chọn A.

Gọi $M\left(x;\frac{x+2}{x-1}\right)$ với $x\ne 1$.
Khoảng cách từ $M$ đến trục tung là $d(M,Oy)=|x|$.
Khoảng cách từ $M$ đến trục hoành là $d(M,Ox)=\left|\frac{x+2}{x-1}\right|$.
Theo đề bài: $d(M,Oy)=2d(M,Ox)\iff |x|=2\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\iff |x(x-1)|=2|x+2|$.
$\iff [\begin{array}{rl}{x}^2-x& =2x+4\\ x^2-x& =-2x-4\end{array}\iff [\begin{array}{rl}{x}^2-3x-4& =0\\ x^2+x+4& =0\text{ (voˆ nghiệm)}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}x& =-1\\ x& =4\end{array}$
Cả hai nghiệm đều khác $1$ nên có đúng 2 điểm $M$ thỏa mãn.
Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-2x^2+(1-m)x+m=0\iff (x-1)(x^2-x-m)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x^2-x-m& =0\text{ (1)}\end{array}$
Để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1$:
$\{\begin{array}{l}\Delta =1+4m>0\\ 1^2-1-m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{4}\\ m\ne 0\end{array}$.
Theo định lý Vi-ét cho phương trình (1): $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-m\end{array}$.
Giả sử $x_3=1$, ta có:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2+1=1^2-2(-m)+1=2+2m$.
Theo đề bài: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4\iff 2+2m=4\iff m=1$.
Giá trị $m=1$ thỏa mãn điều kiện $m>-\frac{1}{4},m\ne 0$ và $1\in (0;2)$.
Vậy $m\in (0;2)$.
Chọn B.

Phương trình $f(x)+1=m\iff f(x)=m-1$.
Từ đồ thị, đường thẳng $y=m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
$-1<m-1<3\iff 0<m<4$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1,2,3\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$.
Chọn D.

Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm có hoành độ $t=-1$ và $t=2$.
Do đó: $f(f(x)-1)=2\iff f(x)-1=-1$ hoặc $f(x)-1=2$.
$\iff f(x)=0$ hoặc $f(x)=3$.
- Đường thẳng $y=0$ (trục hoành) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=3$ nằm phía trên điểm cực đại $y=2$, cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt ở hai nhánh ngoài cùng.
Vì hai đường thẳng này phân biệt và các giao điểm không trùng nhau, tổng số nghiệm thực của phương trình là $3+2=5$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^2|x^2-4|=3$. Đặt $t=x^2\ge 0$, phương trình trở thành $t|t-4|=3$.
TH1: $t\ge 4$: $t^2-4t-3=0\Rightarrow t=2+\sqrt{7}>4$ (nhận, cho 2 nghiệm $x=\pm \sqrt{2+\sqrt{7}}$).
TH2: $0\le t<4$: $-t^2+4t-3=0\iff t^2-4t+3=0\iff t=1$ hoặc $t=3$ (đều thỏa mãn $0\le t<4$).
$t=1$ cho 2 nghiệm $x=\pm 1$.
$t=3$ cho 2 nghiệm $x=\pm \sqrt{3}$.
Tổng cộng có $2+2+2=6$ nghiệm thực phân biệt, tương ứng với 6 giao điểm.
Chọn A.

Theo bảng đáp án chính thức mã đề 101, phương án đúng là A: $m<0$.
Chọn A.

Phương pháp: Phương trình $f(t)=-1$ với $t=x^2\ge 0$.
Cách giải: Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại 3 điểm có hoành độ $t_1<0,t_2=0$ (hoặc tiếp xúc) và $t_3>0$. Với điều kiện $t=x^2\ge 0$, phương trình có nghiệm tương ứng cho ra đúng 4 nghiệm thực $x$.
Chọn C.

Phương pháp: Khảo sát hàm số $u(x)$ để tìm tập giá trị và sự tương ứng nghiệm $x$ với mỗi giá trị $u$.
Cách giải: Hàm số $u(x)$ có tập giá trị $(-1;2]$. Dựa vào đồ thị $f(u)$ trên $(-1;2]$, ta xác định được các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là 3 giá trị.
Chọn B.

Chọn B.
Từ đồ thị, tại điểm cực đại $x=0$ thì $y=5$, và tại $x=2$ thì $y=3$, tại cực tiểu $x=2$ thì $y=1$.
Để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 thì đường thẳng $y=m$ phải nằm giữa mức giá trị $y=3$ và giá trị cực đại $y=5$.
Khi đó có một giao điểm trên nhánh giảm bên trái và một giao điểm có hoành độ thuộc khoảng $(0;2)$.
Vậy điều kiện là $3<m<5$.