Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(4;3;-1)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=2+t\\ z=5-t\end{array}$. Gọi điểm $M^{\prime }(a;b;c)$ là tọa độ hình chiếu song song của $M$ trên $(Oxy)$ theo phương $d$, giá trị của $T=ab+c$ là

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z{|}^2=2|z+\bar{z}|+4$ và $|z-1-i|=|z-3+3i|$?

Biết rằng có hai số phức $z$ thỏa mãn $z\cdot \bar{z}=5$ và $|z-3|=|z+3i|$, ta ký hiệu hai số phức này là $z_1$ và $z_2$. Tính $P=|z_1-z_2|$.

Biết rằng trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|\le 1$ và $\left|z+\frac{1}{2}i\right|\le \left|z+\frac{1}{2}\right|$ là một hình phẳng $(H)$. Diện tích của $(H)$ bằng

Có hai chiếc Flycam bay lên từ cùng một thời điểm. Chiếc Flycam thứ nhất bay lên từ vị trí $A$, chiếc Flycam thứ hai bay lên từ vị trí $B$. Để theo dõi đường đi của hai chiếc Flycam này, người ta đã thiết lập các trạm có thể quan sát và xác định được tọa độ của chúng khi đặt trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$. Với cách chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước, đơn vị độ dài trên trục tọa độ là $1\text{ m}$, tọa độ các điểm $A(5;0;1),B(0;-30;1)$. Trong thời gian khoảng $20$ phút, họ quan sát thấy rằng mỗi chiếc Flycam chuyển động thẳng đều. Biết rằng sau $2$ phút chiếc thứ nhất ở vị trí $M(-5;-10;6)$, còn chiếc thứ hai ở vị trí $N(-12;-10;10)$.

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $100\text{ km}$. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh, trong đó bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;2;1)$, $B(2;6;4)$, $C(4;5;7)$ và $D(6;4;5)$. Giả sử lúc đầu vật $M$ ở $O$, sau đó $2$ phút cả bốn vệ tinh bắn tín hiệu về vật $M$ và đo được $MA=1,MB=5,MC=7$ và $MD=6$. Nếu coi như vật $M$ chuyển động thẳng đều thì tốc độ của vật $M$ bằng bao nhiêu (đơn vị: $\text{m/s}$)?

Giả sử $z$ và $w$ là hai số phức thỏa mãn $|z|=|w|=\frac{5}{2}$ và $|z-w|=4$. Trên mặt phẳng $Oxy$, gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z+w$ và $3z+w$. Diện tích tam giác $OMN$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, có một nguồn sáng phát ra từ điểm $S(1;1;5)$ theo mọi hướng và một tấm bìa chắn sáng hình tròn $(C)$ có tâm $I(3;3;7)$ bán kính bằng $2$ nằm trên mặt phẳng có phương trình $(\alpha ):x+y+z-13=0$. Dưới nguồn sáng, bóng của $(C)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là một hình phẳng có diện tích bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
[IMAGE_1]

Trên tập hợp số phức, cho phương trình $z^2+az+b=0$ (với $a,b$ là số thực). Biết rằng hai số phức $w+1+i$ và $2w-1+5i$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính tổng $a+b$.

Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất
thì phần ảo bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $10\text{ km}$), hai khinh khí cầu $A$ và $B$ bay với vectơ vận tốc lần lượt là ${\vec{v}}_a=(1;2;0)$ và ${\vec{v}}_b=(-2;3;0)$ (đơn vị là $\text{km/giờ}$). Tại thời điểm $t=0$, vị trí của khinh khí cầu $A$ là $M(5;4;2)$ và vị trí của khinh khí cầu $B$ là $N(6;5;3)$. Hai khinh khí cầu sẽ bay trong 10 giờ tiếp theo và dừng lại.

Trong không gian $Oxyz$ (mỗi đơn vị trên trục tương ứng $1\text{ km}$), tại thời điểm $8$ giờ sáng, hai máy bay A và B có vị trí và lộ trình chuyển động như sau:
- Máy bay A: Đang ở vị trí $M(0;0;9)$, bay thẳng đều theo hướng đến điểm $N(1200;0;9)$ với tốc độ hành trình $v_1=800\text{ km/h}$.
- Máy bay B: Đang ở vị trí $P(103;-97;12)$, bay thẳng đều theo hướng đến điểm $Q(703;103;12)$ với tốc độ hành trình $v_2=200\sqrt{10}\text{ km/h}$.

Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay A và máy bay B trong quá trình bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị: km).

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TPHCM theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia $Ox;Oy;Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800\text{ km/h}$. Mười phút sau máy bay B đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $O{x}^{\prime };O{y}^{\prime };Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900\text{ km/h}$ (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30'.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(4;5;12)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét?

Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo trên các trục là kilomet, một ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong $30$ phút. Nếu đến $N$ máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau $10$ phút tiếp theo là $Q(1400;800;16)$. Biết một khẩu pháo ở tọa độ vị trí điểm $E(100;150;9,5)$ được bắn ra với vận tốc không đổi gấp $5$ lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí $N$. Sau bao nhiêu phút kể từ khi máy bay bay từ $M$ thì người điều khiển pháo phải bắn?

Dự án Hyperloop là các sáng kiến phát triển một hệ thống vận tải siêu tốc, hoạt động bằng cách sử dụng các cabin di chuyển trong các ống chân không, giúp giảm ma sát và đạt được tốc độ cao hơn nhiều so với các phương tiện giao thông truyền thống. Dự án này đang được phát triển bởi các công ty công nghệ và các tổ chức nghiên cứu và thử nghiệm nhằm đưa công nghệ Hyperloop vào thực tế trong tương lai gần. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một cabin chuyển động với tốc độ không đổi $100\text{ m/s}$ từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;0)$. Biết rằng cabin chuyển động cùng hướng với vectơ $\vec{u}$ và cabin đi qua điểm $B$ có hoành độ bằng $9010$. Hỏi sau bao nhiêu phút từ vị trí điểm $A$ thì cabin này đến vị trí điểm $B$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*?

Câu 5. Mỗi căn nhà trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, với hệ trục toạ độ $Oxyz$ thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), có $A^{\prime }(240;450;0)$ và $B^{\prime }(120;450;300)$. Biết chi phí lát gạch nền nhà là $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm hai mái nhà là $700.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm mặt trước và mặt sau nhà là $600.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí làm mỗi căn nhà là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước, Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(800;500;6)$ đến điểm $B(940;550;8)$ trong $10$ phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau $2$ phút tiếp theo là $D(x;y;z)$. Tính giá trị $x+y+z$?

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là $8\text{m}$, chiều rộng là $6\text{m}$ và chiều cao là $3\text{m}$. Một bóng đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học và cách trần nhà $0,2\text{m}$ (giả sử rằng xem bóng đèn là một điểm cách trần nhà $0,2\text{m}$). Trong tiết Thực hành trải nghiệm, thầy giáo yêu cầu học sinh đo khoảng cách từ góc phòng (ví dụ điểm $A$ như hình vẽ) đến bóng đèn (điểm $G$ trên hình vẽ) với yêu cầu là để đảm bảo an toàn nên học sinh không được leo trèo mà chỉ thực hiện các phép đo trên sàn nhà. Hỏi khoảng cách từ bóng đèn ($G$) đến góc dưới nhà ($A$) là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Ba chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2\text{km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{km}$ về phía Bắc và $1\text{km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{km}$. Chiếc thứ ba thẳng hàng với chiếc thứ nhất và thứ hai đồng thời cách mặt đất $0,4\text{km}$ và nằm cách điểm xuất phát $5\text{km}$ về phía Đông. Tính khoảng cách giữa khinh khí cầu thứ nhất và thứ ba là bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)