Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Câu 1. Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm $9$ giờ $30$ phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị $\text{km}$. Mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, $O$ trùng với vị trí trung tâm điều khiển.

Cho số phức $z=x+yi$ thỏa $|z-2-4i|=|z-2i|$ và $|z|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x+3y$?

Câu 3. Tại một sân bay, hai vệ tinh $A$ và $B$ được đặt cố định để giám sát một số khu vực cố định. Một thiết bị tự động $X$ di chuyển trên mặt đất và được điều khiển bởi đài Radar trung tâm để đảm bảo tín hiệu liên lạc được truyền thẳng tới cả hai vệ tinh $A$ và $B$, đồng thời các đường thẳng phát tín hiệu từ thiết bị $X$ đến hai vệ tinh $A$ và $B$ luôn tạo với mặt đất các góc phụ nhau. Xét trong không gian $Oxyz$, xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, Radar được đặt tại gốc tọa độ $O$, hai vệ tinh $A$ và $B$ được đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(2;10;4)$ và $B(6;30;6)$. Khoảng cách lớn nhất mà Radar có thể liên lạc đến thiết bị tự động $X$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z^2|=2|z-\bar{z}|+4$ và $|z-2+i|=|z-1|$?

Tập hợp các số phức $w=(1+i)z+1$ với $z$ là số phức thỏa mãn $|z-1|\le 1$ là một hình tròn. Tính diện tích của hình tròn đó.

Câu 4. Một chiếc máy bay thương mại Vietnam Airlines đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ $D$ đến $E$ có hình chiếu trên mặt đất là đoạn $CB$. Tại vị trí $D$ thì máy bay bay cách mặt đất $9000\text{ m}$, tại vị trí $E$ thì máy bay cách mặt đất $12000\text{ m}$. Một ra đa được đặt trên mặt đất tại vị trí $O$ cách $C$ khoảng $20000\text{ m}$, cách $B$ khoảng $16000\text{ m}$ và góc $\widehat{BOC}=90^{\circ }$; phạm vi theo dõi của ra đa là $20\text{ km}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1000\text{ m}$) với $O$ là vị trí đặt ra đa, $B$ thuộc tia $Oy$, $C$ thuộc tia $Ox$.

Xét hai số phức z , w thoả mãn z + 2 w = 2 và 2 z − 3w − 7i = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − 2i + w + i là 2 3 4 3

Cho số phức z có phần thực không âm và z = 1 , gọi số phức w sao cho ( z + 1)( w − z ) là số thuần ảo. Khi w = 2 và w − z đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị của w − 1 . 2 3

Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2{|}^2-|z-i{|}^2$. Tính môđun của số phức $w=M+mi$.

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-i|=2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z+2-3i{|}^2-|z-3+i{|}^2$ bằng

Cho số phức $z$ thỏa $|z+1-4i|=|z-5|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=|z+3-2i|$.

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z+i|=|z-1+2i|$ và $|w|=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-5+3i|-|z-w|$ bằng

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm $9\text{h }30^{\prime }$. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị $\text{km}$.

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80\text{ m}$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500\text{ km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho tia $Ox$ hướng về phía tây, tia $Oy$ hướng về phía nam, tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 1) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất $10\text{ km}$, cách $300\text{ km}$ về phía đông và $200\text{ km}$ về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí $I(3;4;2)$. Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính $R=10\text{ m}$. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí $K(x-7;7;1)$. Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí $H(x+11;7;1)$. Tìm giá trị nguyên của $x$ sao cho cả hai vị trí $K$ và $H$ đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.

Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty $S$ để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao $50\text{ km}$ và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh $S$ có tọa độ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị km) như sau: Vệ tinh $A$ tại vị trí $A(103;204;62)$, vệ tinh $B$ tại vị trí $B(106;208;74)$, vệ tinh $C$ tại vị trí $C(105;212;134)$. Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí $M$ của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: $MA=13\text{ km}$, $MB=26\text{ km}$, $MC=85\text{ km}$. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ $O$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).

Câu 6. Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch vụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau: Toà nhà $A(0;0;0)$; toà nhà $B(6;0;0)$; toà nhà $C(3;\sqrt{3};2\sqrt{6})$. Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến $3$ toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TPHCM theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia $Ox;Oy;Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800$ km/h. Mười phút sau máy bay B đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $O{x}^{\prime };O{y}^{\prime };Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900$ km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30'.

Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn $1\text{m}$ so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha \in (0^{\circ };180^{\circ })$ sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng $(P)$ chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng $(P)$ so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống $1\text{m}$ theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, thân tháp là trục $Oz$ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm $A(6;8;0)$ và vị trí cần đặt vật liệu là điểm $B(4;-3;15)$. Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là $100\text{ m}$. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ $(200;70;118)$. Sau $50$ giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm $400\text{ m}$. Hỏi sau $25$ giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ $(80;105;113)$?