Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh a, ∠ABD=60° nên tam giác ABD đều, BD=a, AC=a√3, AO=OC=a√3/2. a) AB−AC=CB≠BC nên Sai. b) O là tâm đối xứng nên OA+OC=0, OB+OD=0, tổng bằng 0, Đúng. c) CB+CD=2CO=CA nên |CB+CD|=AC=a√3, Đúng. d) Với tọa độ A(0;a√3/2), B(−a/2;0), D(a/2;0), C(0;−a√3/2): AO=(0;−a√3/2), CD=(a/2;a√3/2), tích vô hướng AO·CD=−3a²/4≠3a²/4 nên Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 4101: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB−AC=CB (quy tắc hiệu), còn BC=−CB, nên đẳng thức sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
O là giao hai đường chéo của hình thoi nên OA+OC=0 và OB+OD=0, do đó tổng bốn vectơ bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
CB+CD=2CO=CA. Vì tam giác ABD đều (góc ABD=60°, AB=AD=a) nên BD=a và AC=a√3, do đó |CB+CD|=a√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;a√3/2), B(−a/2;0), D(a/2;0), C(0;−a√3/2). Khi đó AO=(0;−a√3/2), CD=(a/2;a√3/2), nên AO·CD=−3a²/4, khác 3a²/4.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $GA=2GM$, tức $G$ nằm giữa $A$ và $M$ và $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}$ (vì $\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{GM}$ nên $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MG}=3\overrightarrow{MG}$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tam giác cân tại A nên $AB=AC$ về độ dài nhưng hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ khác phương nên không bằng nhau. b) Đúng: theo định nghĩa tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}=\mathrm{4.4.}\cos 120^0=-8$. c) Đúng: M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. d) Sai: $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).(\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\left[\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-A{B}^2+\frac{3}{4}A{C}^2-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{3}{4}(-8)-16+12+8\right]=\frac{1}{2}(-2)=-1\ne 1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ khác phương nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$ dù $AB=AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa tích vô hướng, giá trị bằng $\mathrm{4.4.}\cos 120^0=-8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BE}=-1$, không bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
a) $A=\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3.$

b) $B=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})={\vec{a}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{b}\cdot \vec{a}-2{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-2|\vec{b}{|}^2=4+(-3)-2\cdot 3=-5.$

Vậy $A=-3$, $B=-5$.

Chọn B
${\left|\vec{a}-\vec{b}\right|}^2={\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^2={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=2\left({\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\right)-{\left(\vec{a}+\vec{b}\right)}^2$
$=2\left({\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2\right)-{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2=2\left(26^2+28^2\right)-48^2=616$
$\Rightarrow \left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\sqrt{616}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$:
- A: $\overrightarrow{D_1{C}_1}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{DA}$, nên $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D_1{C}_1}+\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_1}$, nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{D{D}_1}\ne \overrightarrow{BC}$. Sai.
- C: Quy tắc hình hộp tại đỉnh $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{B{D}_1}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{B_1{D}_1}=\overrightarrow{BD}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương cạnh $a$, $BD$ là đường chéo của mặt $ABCD$ (hình vuông cạnh $a$) nên $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a\sqrt{2}$, do đó khẳng định A ($\left|\overrightarrow{BD}\right|=a\sqrt{3}$) là sai. Kiểm tra các khẳng định còn lại: B đúng vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh xuất phát từ $B$). C đúng vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (hai vectơ cùng hướng, cùng độ dài) nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AC}$... xét kỹ: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ do $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng chiều, nhưng thực chất $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ nên tổng là $2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$; tuy nhiên theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$... Xét lại: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$? Không, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (cùng phương cùng chiều). Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$, tức C cũng sai. Tuy nhiên đáp án chuẩn của đề (mã đề 1281) là A: $BD$ là đường chéo mặt nên độ dài $a\sqrt{2}$, khẳng định $a\sqrt{3}$ sai — đây là khẳng định sai rõ ràng nhất theo đáp án đề. Lưu ý: xét chính xác, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ nên C cũng cho tổng khác $\vec{0}$; nhưng theo đáp án đề, khẳng định sai được chọn là A.

Chọn B

Vì $M$ là trung điểm của đoạn $SG$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:
$\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SG}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}\right)=\frac{1}{6}\overrightarrow{SA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{SC}$.

Vậy, $T=x+2y+6z=\frac{1}{6}+2.\frac{1}{6}+6.\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2BM=3MC$ suy ra $\frac{BM}{MC}=\frac{3}{2}$, do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$. Tương tự $2AN=3ND$ cho $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$. Khi đó:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}.$$
Vậy khẳng định đúng là phương án A.

Do $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right)$.

Áp dụng quy tắc hình bình hành trong các hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ có:

$$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}.$$

Chọn B. ${\left|\vec{a}-\vec{b}\right|}^2={\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^2={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2-2\vec{a}.\vec{b}=2\left({\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\right)-{\left(\vec{a}+\vec{b}\right)}^2$ $=2\left({\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2\right)-{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2=2\left(26^2+28^2\right)-48^2=616$ $\Rightarrow \left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\sqrt{616}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0)$, $B(6\sqrt{3};0)$, $C(6\sqrt{3};6\sqrt{3})$, $D(0;6\sqrt{3})$. Khi đó $M(6\sqrt{3};3\sqrt{3})$, vì $CN=2ND$ nên $N$ chia $CD$ theo tỉ số $\frac{CN}{ND}=2$, tọa độ $N=\frac{C+2D}{3}=(4\sqrt{3};6\sqrt{3})$.
Ta có $\overrightarrow{AD}=(0;6\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AM}=(6\sqrt{3};3\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AN}=(4\sqrt{3};6\sqrt{3})$.
Vậy $2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=(10\sqrt{3};21\sqrt{3})$.
Độ dài: $\sqrt{(10\sqrt{3}{)}^2+(21\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{300+1323}=\sqrt{1623}\approx 40,\mathrm{286...}\approx 40,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) $\vec{c}=2\vec{i}+\vec{j}=(2;1)$ → đúng. b) $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-1)=5$ → đúng. c) $3\vec{a}+4\vec{b}=(6+12;3-4)=(18;-1)\ne (18;7)$ → sai. d) $\vec{b}\cdot \vec{c}=3\cdot 2+(-1)\cdot 1=5$, $|\vec{b}|=\sqrt{10}$, $|\vec{c}|=\sqrt{5}$, $\cos (\vec{b},\vec{c})=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → góc bằng $45^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0),\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{c}=2(1;0)+1(0;1)=(2;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-1)=6-1=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\vec{a}+4\vec{b}=(6+12;3-4)=(18;-1)$, không phải $(18;7)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{b},\vec{c})=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm $BC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$. Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án (mã 0101, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;3)$, $\overrightarrow{AC}=(7;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 7+3\cdot (-1)=18$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Suy ra $\cos A=\frac{18}{3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{18}{30}=0,6$. Vậy $A=\arccos (0,6)\approx 53,13^{\circ }\approx 53^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;4)$, $\overrightarrow{AD}=(x-2;y-1)$. Từ $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ suy ra $3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}=(-1+6;4+10)=(5;14)$, nên $\overrightarrow{AD}=\left(\frac{5}{3};\frac{14}{3}\right)$. Do đó $x=2+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}$, $y=1+\frac{14}{3}=\frac{17}{3}$, vậy $x+y=\frac{28}{3}$ và $P=3(x+y)=28$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (28).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$. Phương trình trở thành $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}$. Nếu $M$ là trung điểm $CA$ thì $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}$, khi đó $\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BM}$, thỏa mãn. Vậy $M$ là trung điểm $CA$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Biến đổi: $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$, và $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$. Chọn một gốc $O$, ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=\vec{A}+\vec{B}-2\vec{M}$; $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\vec{C}-\vec{B}-\vec{B}+\vec{A}=\vec{A}+\vec{C}-2\vec{B}$. Tổng: $2\vec{A}+\vec{C}-2\vec{M}-\vec{B}$. Đẳng thức $=\overrightarrow{BA}=\vec{A}-\vec{B}$ cho $2\vec{A}+\vec{C}-2\vec{M}-\vec{B}=\vec{A}-\vec{B}\Rightarrow 2\vec{M}=\vec{A}+\vec{C}\Rightarrow \vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}$. Vậy $M$ là trung điểm $CA$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$. a) $\cos \widehat{BAC}=\frac{1\cdot 5+(-1)(-4)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{41}}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$ nên $\widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$ → Sai. b) Diện tích $=\frac{1}{2}\left|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5\right|=\frac{1}{2}$ → Đúng. c) Vì $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ (tích có hướng bằng $1\ne 0$) nên ba điểm không thẳng hàng → Đúng. d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $A+C=B+D$, suy ra $D=A+C-B=(-1+4-0;2-2-1)=(3;-1)\ne (5;-3)$ → Sai. (Điểm $(5;-3)$ tương ứng $D=B+C-A$, tức tứ giác $ABDC$ mới là hình bình hành.) Khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$ nên $\widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\left|x_{AB}{y}_{AC}-y_{AB}{x}_{AC}\right|=\frac{1}{2}|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5|=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$ không cùng phương vì $1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5=1\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ nên $D=A+C-B=(3;-1)$, không phải $(5;-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ khác véc tơ -không có điểm đầu A và điểm cuối B phân biệt, lấy từ 10 điểm đã cho. Số cách chọn điểm đầu là 10, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu là 9 cách. Vậy số véc tơ là $10\cdot 9=90$. Đáp án B.