Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 111, trang 5), Câu 7 (Phần I) chọn đáp án D.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{2022}^3$.
Số cách chọn $3$ số từ $X$ sao cho không có hai số nào liên tiếp là $C_{2022-3+1}^3=C_{2020}^3$.
Vậy xác suất cần tìm là $P=1-\frac{C_{2020}^3}{C_{2022}^3}=1-\frac{2019\cdot 2018}{2022\cdot 2021}\approx 0,00297$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 111, trang 5), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án C.

Số tam giác tạo thành từ $21$ đỉnh của đa giác đều là $n(\Omega )=C_{21}^3=1330$.
Mỗi đỉnh của đa giác đều là đỉnh cân của $10$ tam giác cân, trong đó có $1$ tam giác đều và $9$ tam giác cân không đều.
Suy ra số tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là $21\cdot 9=189$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{189}{1330}=\frac{27}{190}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 111, trang 5), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $0,12$.

Tập $S$ có $2019$ số nguyên, gồm $1010$ số chẵn ($x^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$) và $1009$ số lẻ ($x^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$).
Tổng $a^2+b^2+c^2+d^2$ chia hết cho $4$ khi và chỉ khi cả $4$ số đều chẵn hoặc cả $4$ số đều lẻ.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{C_{1010}^4+C_{1009}^4}{C_{2019}^4}\approx 0,1249\approx 0,12$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án B.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=8^5=32768$.
Phân tích $2520=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$. Các bộ $5$ chữ số thuộc $A$ có tích bằng $2520$ gồm:
- Trường hợp 1: bộ $(5,7,8,3,3)$ có $\frac{5!}{2!}=60$ số.
- Trường hợp 2: bộ $(5,7,4,6,3)$ có $5!=120$ số.
- Trường hợp 3: bộ $(5,7,2,6,6)$ có $\frac{5!}{2!}=60$ số.
Suy ra $n(B)=60+120+60=240$ số.
Xác suất cần tìm là $P(B)=\frac{240}{32768}=\frac{15}{2048}$. Suy ra $a=15,b=2048\Rightarrow a+b=2063$.

a) Đúng: Số nam là $500$, tổng số là $900\Rightarrow P(\text{nam})=\frac{500}{900}=\frac{5}{9}$.
b) Đúng: Tổng số người có việc làm là $600\Rightarrow P(\text{coˊ việc laˋm})=\frac{600}{900}=\frac{2}{3}$.
c) Sai: Khảo sát cho thấy tỉ lệ không gấp 7 lần.
d) Đúng: Trong 600 người có việc làm, có $140$ nữ $\Rightarrow P(\text{nữ}|\text{coˊ việc laˋm})=\frac{140}{600}=\frac{7}{30}$.

Bàn cờ vua $8\times 8$ có 9 đường ngang và 9 đường dọc.
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bởi 2 đường thẳng ngang và 2 đường thẳng dọc, do đó tổng số hình chữ nhật là:
$n(\Omega )=C_9^2\cdot C_9^2=36\cdot 36=1296$
Số hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị (kích thước $5\times 5,6\times 6,7\times 7,8\times 8$):
- Kích thước $5\times 5$: $(8-5+1{)}^2=4^2=16$ hình vuông.
- Kích thước $6\times 6$: $(8-6+1{)}^2=3^2=9$ hình vuông.
- Kích thước $7\times 7$: $(8-7+1{)}^2=2^2=4$ hình vuông.
- Kích thước $8\times 8$: $(8-8+1{)}^2=1^2=1$ hình vuông.
Tổng số hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là:
$n(A)=16+9+4+1=30$
Xác suất để chọn được hình vuông có cạnh lớn hơn 4 là:
$P(A)=\frac{30}{1296}=\frac{5}{216}$
Suy ra $a=5$ và $b=216$ (phân số tối giản).
Khi đó $T=3a+b=3\cdot 5+216=15+216=231$.
Đáp số: 231.

Số kết quả có thể khi phát hành vé 6 chữ số là $n(\Omega )=10^6$.
Gọi $A$ là biến cố dãy 6 chữ số không có chữ số 3, $B$ là biến cố không có chữ số 8.
Ta có:
- $n(A)=9^6$
- $n(B)=9^6$
- $n(A\cap B)=8^6$ (không có cả 3 và 8)
Theo công thức bao hàm - loại trừ, số vé không có ít nhất một trong hai chữ số 3 hoặc 8 là:
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=2\cdot 9^6-8^6=2\cdot 531441-262144=800738$.
Số vé có mặt cả hai chữ số 3 và 8 là:
$10^6-800738=199262$.
Xác suất để ông An mua được vé có cả chữ số 3 và 8 là:
$P=\frac{199262}{10^6}\approx 0,199262\approx 0,2$.

Theo đáp án chính thức mã đề 0101: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.

Theo đáp án chính thức và lời giải chi tiết trang 15 của đề, xác suất là $0,25$.

Số cách xếp $6$ viên bi sao cho $2$ viên bi màu xanh không đứng cạnh nhau là $6!-5!\cdot 2!=480$ (cách).
Khi coi $2$ viên bi màu vàng là một nhóm, ta có $3$ phần tử (nhóm vàng và $2$ bi đỏ) xếp thành hàng ngang có $3!\cdot 2!=12$ cách; giữa và ở hai đầu của $3$ phần tử này có $4$ khoảng trống để xếp $2$ viên bi xanh không đứng cạnh nhau với $A_4^2=12$ cách. Do đó số cách xếp mà $2$ bi vàng đứng cạnh nhau và $2$ bi xanh không đứng cạnh nhau là $12\cdot 12=144$ (cách).
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{144}{480}=\frac{3}{10}=0,3$.

Theo đáp án chính thức mã đề 0101: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai. a) $P(\text{Đỏ})=\frac{50}{80}=62,5\%$ (Đúng). b) Số bi vàng có đánh số là $30\cdot 50\%=15$, xác suất là $\frac{15}{80}=18,75\%\ne 81,25\%$ (Sai). c) Số bi không đánh số là $50\cdot 40\%+30\cdot 50\%=20+15=35$, xác suất là $\frac{35}{80}=43,75\%$ (Đúng). d) Trong $35$ viên bi chưa đánh số có $20$ bi đỏ và $15$ bi vàng nên xác suất là bi đỏ ($\frac{20}{35}$) cao hơn xác suất là bi vàng ($\frac{15}{35}$) (Sai).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 5 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Theo lời giải chi tiết trang 16–17: $n(\Omega )=C_{13}^3=286$ (a đúng); xác suất tạo thành tam giác là $\frac{C_7^2{C}_6^1+C_7^1{C}_6^2}{286}=\frac{21}{26}$ (b sai); số bộ 3 điểm thẳng hàng cách đều là $(5+3+1)+(4+2)=15$ nên xác suất là $\frac{15}{286}$ (c đúng); số tam giác có đáy bằng $1\text{ cm}$ và chiều cao $2\text{ cm}$ là $6\cdot 6+5\cdot 7=71$ nên xác suất là $\frac{71}{286}$ (d đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $0,44$.

Theo lời giải chi tiết trang 23: Gọi $m_1>m_2$ là số quả cầu ở hai thùng ($m_1+m_2=25$) và $t_1>t_2$ là số quả cầu trắng tương ứng. Từ $\frac{t_1{t}_2}{m_1{m}_2}=\frac{12}{25}$ suy ra $m_1=15,m_2=10$ và $t_1=9,t_2=8$. Xác suất lấy được 1 quả đen và 1 quả trắng là $\frac{9}{15}\cdot \frac{2}{10}+\frac{6}{15}\cdot \frac{8}{10}=\frac{66}{150}=0,44$.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 13), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Đáp án: 4. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 10, mã đề 1001: xác suất tối giản $\frac{m}{n}=\frac{1}{3}\Rightarrow m+n=4$.)

Đáp án: 0,63. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: 0,61. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Gọi $n$ là số viên bi đỏ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tổng số bi trong túi là $n+6$.
Biến cố đối của 'có ít nhất một viên bi đỏ' là 'cả hai viên bi lấy ra đều là màu xanh'.
Xác suất để cả hai viên bi lấy ra đều là màu xanh là: $P=\frac{C_6^2}{C_{n+6}^2}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
Ta có $\frac{15}{\frac{(n+6)(n+5)}{2}}=\frac{1}{3}\iff (n+6)(n+5)=90$.
Vì $90=10\cdot 9$ nên $n+6=10\Rightarrow n=4$.