Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

TH1: An thắng ngay lượt 1: $P_1=\frac{1}{6}$.
TH2: An thắng ở lượt 2: $P_2=\frac{\mathrm{5.3.1}}{6^3}=\frac{5}{12}{P}_1$
TH3: An thắng ở lượt 3: $P_3=\frac{\mathrm{5.3.5.3.1}}{6^5}=\frac{5}{12}{P}_2$
… $\Rightarrow (P_n)$ lập thành cấp số nhân với công bội $q=\frac{5}{12}$
Vậy xác suất để An thắng chung cuộc là $P=\frac{P_1}{1-q}=\frac{2}{7}\approx 0,29$

(AI giải đề cho tôi)
Có 90 số tự nhiên có hai chữ số (từ 10 đến 99). Số chia hết cho 5 có dạng $10k$, $k=\mathrm{1..18}$, tức 18 số. Xác suất $=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm có dạng $n=10k+1$ với $1000\le k\le 9999$ (để $n$ có 5 chữ số). Điều kiện chia hết cho 7: $10k+1\equiv 3k+1\equiv 0(\mathrm{mod}7)\Rightarrow k\equiv 2(\mathrm{mod}7)$. Vì $1001\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ nên $k$ nhỏ nhất là $1003$ và lớn nhất là $9998$ (vì $9996\equiv 0(\mathrm{mod}7)$). Số giá trị $k$: $\frac{9998-1003}{7}+1=1286$. Tổng số phần tử của $A$ là $90000$, nên $P=\frac{1286}{90000}$, suy ra $1000P=\frac{1286000}{90000}\approx 14,2888\approx 14,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Các quả ghi số chia hết cho 4 là 4 và 8, tức có 2 quả 'thuận' và 7 quả 'không thuận'. Lấy ngẫu nhiên $n$ quả, xác suất không có quả nào chia hết cho 4 là $P=\frac{C_7^n}{C_9^n}$. Cần $P<\frac{1}{6}$ (để xác suất có ít nhất một quả chia hết cho 4 lớn hơn $\frac{5}{6}$). Với $n=5$: $\frac{C_7^5}{C_9^5}=\frac{21}{126}=\frac{1}{6}$, không thỏa (bằng). Với $n=6$: $\frac{C_7^6}{C_9^6}=\frac{7}{84}=\frac{1}{12}<\frac{1}{6}$, thỏa. Vậy cần lấy ít nhất 6 quả.

Đặt $t=\left|x^3-3x+2\right|$;

$t^{\prime }=\frac{\left(x^3-3x+2\right)\left(3x^2-3\right)}{\left|x^3-3x+2\right|}$;

$t^{\prime }=0\iff x=-1$ và $t^{\prime }$ không xác định tại $x=-2;x=1$;

Bảng biến thiên:



Hàm số có dạng $f(t)=\frac{t+2026}{t+2025};t\ge 0$; $f^{\prime }(t)=\frac{-1}{(t+2025{)}^2}<0,\forall t\ge 0$.

Để hàm $f(x)$ đồng biến thì $t$ phải nghịch biến $\Rightarrow x\in (-\infty ;-2)$ hoặc $(-1;1)$.

Gọi $A$ là biến cố "Chọn ngẫu nhiên hai số $a,b\in S$ với $a<b$ để hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$"

TH1. Chọn $a,b$ thỏa mãn $-29\le a<b\le -2$ có $C_{28}^2$ cách

TH2. Chọn $a,b$ thỏa mãn $-1\le a<b\le 1$ có $C_3^2$ cách

$\Rightarrow n(A)=C_{28}^2+C_3^2$, $n(\Omega )=C_{59}^2$.

Vậy $P(A)=\frac{C_{28}^2+C_3^2}{C_{59}^2}=\frac{381}{1711}$.

a) $n(X)=6.A_6^4=2160$ (không phải 2106). Vậy a) sai.

b) $P(M)=\frac{624}{2160}=\frac{13}{45}$. Vậy b) đúng.

c) $P(N)=\frac{7}{2160}$. Vậy c) đúng.

d) $P(B)=\frac{1224}{2160}=\frac{17}{30}$. Vậy d) đúng.

(Ghi chú: bảng đáp án nguồn ghi nhãn cột cuối là "CÂU 26", được hiểu là Câu 6 Phần II.)
a) Có $6.A_6^4=2160$ số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ $A$, $\Rightarrow n(X)=2160$. Vậy a) sai.
b) Chọn một số từ $X$, số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=2160$. $M$ là biến cố chọn được số chia hết cho 3. Bộ 5 chữ số lấy từ A có tổng chia hết cho 3 là: $\{0;1;2;3;6\},\{0;3;4;5;6\},\{0;2;3;4;6\},\{0;1;2;4;5\},\{1;2;3;4;5\},\{1;2;4;5;6\}$. Suy ra: $n(M)=\mathrm{4.4.4}!+2.5!=624\Rightarrow P(M)=\frac{624}{2160}=\frac{13}{45}$. Vậy b) đúng.
c) N là biến cố có chọn được một số thuộc tập $X$ sao cho số đó lớn hơn 65412. Số thuộc N có dạng $\overline{654cd}$. Nếu chọn c=1 thì d=3. Nếu chọn $c\in \{2,3\}$: có 2 cách chọn, Chọn d có 3 cách. Suy ra $n(N)=1+2.3=7\Rightarrow P(N)=\frac{7}{2160}$. Vậy c) đúng.
d) Gọi $B$ là biến cố "chọn được số có đúng 3 chữ số chẵn". Xét $\overline{abcde}$ là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẵn. TH1: Xét bộ có 5 số trong đó có 3 chữ số chẵn có mặt số 0 và 2 số lẻ. Có tất cả $C_3^2.C_3^2$ bộ. Ứng với mỗi bộ có $4.4!$ số. Suy ra có: $C_3^2.C_3^2.4.4!=864$ số. TH2: Xét bộ có 5 số trong đó có 3 chữ số chẵn không có số 0 và 2 chữ số lẻ. Có tất cả $C_3^2$ bộ. Ứng với mỗi bộ trên có $5!$ số. Suy ra có: $C_3^2.5!=360$ số. Vậy số phần tử của biến cố $B$ là $n(B)=1224$. Xác suất $P(A)=\frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{17}{30}$. Vậy d) đúng.

Đáp án: 989.

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 số $a;b;c$ trong tập hợp $S=\{1;2;3;...;25;26\}$ là: $C_{26}^3=2600$ cách.

Đặt: $S_1=\{5;10;15;20;25\}$ ;

$S_2=\{1;4;6;9;11;14;16;19;21;24;26\}$ ;

$S_3=\{2;3;7;8;12;13;17;18;22;23\}$ .

Nhận xét:

- Nếu $x\in S_1$ thì $x^2$ chia hết cho 5.

- Nếu $x\in S_2$ thì $x^2$ chia 5 dư 1.

- Nếu $x\in S_3$ thì $x^2$ chia 5 dư 4.

Để $a,b,c\in S$ và $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 ta có hai trường hợp sau:

TH1: Cả ba số $a;b;c$ đều thuộc $S_1$. Khi đó số cách chọn $a;b;c$ là: $C_5^3=10$ cách.

TH2: Trong 3 số $a;b;c$ có một số thuộc $S_1$, một số thuộc $S_2$, một số thuộc $S_3$. Khi đó số cách chọn $a;b;c$ là: $\mathrm{5.11.10}=550$ cách.

Tổng số cách chọn $a,b,c\in S$ và $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 là: $10+550=560$ cách.

Xác suất để chọn được 3 số $a,b,c\in S$ và $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 là: $\frac{560}{2600}=\frac{14}{65}$.

Vậy $m=14;n=65$ và ta có $T=mn+m+n=14.65+14+65=989$.

Chọn C. Xếp 10 học sinh thành hàng có: 10! (cách) $\Rightarrow n(\Omega )=10!$. Gọi A "Giữa hai học sinh nữ liên tiếp có đúng hai học sinh nam và Dũng luôn đứng cạnh Lan". TH1: Xếp Lan đứng đầu hàng (hoặc cuối hàng). + Xếp ba bạn nữ còn lại có: 3! (cách), (bốn bạn nữ tạo ra các vách ngăn). + Xếp Dũng đứng cạnh Lan có: 1 (cách). + Xếp 5 bạn nam còn lại vào 5 vị trí xen kẽ giữa 2 bạn nữ sao cho giữa hai nữ có hai nam có: 5! (cách). $\Rightarrow$ Có: 2.3!.5! = 1440 (cách). TH2: Xếp Lan không đứng đầu hàng (hoặc cuối hàng). + Xếp bốn bạn nữ thành hàng sao cho Lan đứng thứ 2 (hoặc thứ 3) có: 2.3! (cách). + Xếp Dũng đứng cạnh Lan có: 2 (cách). + Xếp 5 bạn nam còn lại vào 5 vị trí xen kẽ giữa 2 bạn nữ sao cho giữa hai nữ có hai nam có: 5! (cách). $\Rightarrow$ Có: 2.3!.2.5! = 2880 (cách). $\Rightarrow n(A)=1440+2880=4320\Rightarrow P(A)=\frac{4320}{10!}=\frac{1}{840}$.

Đáp án: 0,66. Xét hai trường hợp. Trường hợp 1: Hoa chọn được số 9. Trong trường hợp này số của Hoa chắc chắn lớn hơn số của Bình. Xác suất Hoa chọn được số 9 là $\frac{C_8^2}{C_9^3}=\frac{1}{3}$. Trường hợp 2: Hoa không chọn được số 9. Xác suất để Hoa không chọn được số 9 là $\frac{C_8^3}{C_9^3}=\frac{2}{3}$. Trong trường hợp này Hoa chọn số cùng tập với Bình nên xác suất Hoa chọn được số lớn hơn cũng bằng xác suất Bình chọn được số lớn hơn. Ta tính xác suất để 2 bạn chọn được cùng số: Số cách chọn của hai bạn là: $C_8^3.C_8^3$. Số cách để Hoa chọn được ba số bất kỳ là $C_8^3$; Ứng với mỗi cách chọn của Hoa thì Bình chỉ có một cách chọn để giống Hoa nên số cách hai người chọn được số giống nhau là $C_8^3$. Vậy, xác suất để 2 bạn chọn được cùng số là $\frac{C_8^3}{C_8^3.C_8^3}=\frac{3!}{\mathrm{8.7.6}}=\frac{1}{56}$ nên xác suất để Hoa chọn được số lớn hơn là: $\frac{1-\frac{1}{56}}{2}=\frac{55}{112}$. Do đó xác suất trong trường hợp này là $\frac{2}{3}.\frac{55}{112}=\frac{55}{168}$. Vậy, xác suất cần tìm là $\frac{1}{3}+\frac{55}{168}=\frac{37}{56}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (4,00 điểm).

**1) Xác suất tam giác vuông trong đa giác đều 8 cạnh.**
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 8 đỉnh: $n(\Omega )=C_8^3=56$.
Vì 8 đỉnh cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp, tam giác vuông khi và chỉ khi có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^{\circ }$).
Đa giác đều 8 cạnh có 4 cặp đỉnh đối xứng qua tâm, tức 4 đường kính; mỗi đường kính kết hợp với 1 trong 6 đỉnh còn lại cho đúng một tam giác vuông.
Số kết quả thuận lợi: $4\times 6=24$.
Vậy $P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$.

**2) Thể tích và khoảng cách.**
Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì $CH\perp AB$, $BH=a$. Chọn hệ trục: $A(-a;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;h;0)$ với $h=CH$; trục $Oz$ trên $C{C}^{\prime }$. Vì lăng trụ đứng, $C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=a$: $C^{\prime }(0;h;a)$, $N(-a;0;\frac{a}{2})$, $M(a;0;\frac{a}{2})$.

*Tìm $h$:* Mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $y=0$; hình chiếu của $C^{\prime }$ lên mặt này là $H^{\prime }(0;0;a)$, với $B{H}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. Góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $\widehat{C^{\prime }B{H}^{\prime }}=60^{\circ }$:
$$\tan 60^{\circ }=\frac{C^{\prime }{H}^{\prime }}{B{H}^{\prime }}=\frac{h}{a\sqrt{2}}\Rightarrow h=a\sqrt{6}.$$
Kiểm tra: $B{C}^{\prime }=\sqrt{h^2+2a^2}=2a\sqrt{2}$, $\sin \theta =\frac{a\sqrt{6}}{2a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng $60^{\circ }$.

*Thể tích:* $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\sqrt{6}=a^2\sqrt{6}$, nên $V=a^2\sqrt{6}\cdot a=a^3\sqrt{6}$.

*Khoảng cách từ $M$ đến $(B{C}^{\prime }N)$:*
$\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(-a;a\sqrt{6};a)$, $\overrightarrow{BN}=(-2a;0;\frac{a}{2})$.
$$\vec{n}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\times \overrightarrow{BN}=\left(\frac{a^2\sqrt{6}}{2};-\frac{3a^2}{2};2a^2\sqrt{6}\right).$$
$$|\vec{n}{|}^2=a^4\left(\frac{6}{4}+\frac{9}{4}+24\right)=\frac{111a^4}{4}\Rightarrow |\vec{n}|=\frac{a^2\sqrt{111}}{2}.$$
Với $\overrightarrow{BM}=(0;0;\frac{a}{2})$:
$$d(M,(B{C}^{\prime }N))=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{BM}|}{|\vec{n}|}=\frac{a^3\sqrt{6}}{\frac{a^2\sqrt{111}}{2}}=\frac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{111}}=\frac{2a\sqrt{74}}{37}.$$

**Kết luận:** 1) $P=\frac{3}{7}$; 2) $V=a^3\sqrt{6}$ và $d(M,(B{C}^{\prime }N))=\frac{2a\sqrt{74}}{37}$. Lưu ý: phép tính chuẩn hóa vector pháp tuyến đã được kiểm tra lại: ${\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+(2\sqrt{6}{)}^2=\frac{111}{4}$, do đó khoảng cách đúng là $\frac{2a\sqrt{74}}{37}$.

Ta có $n(\Omega )=A_{30}^9$. (0,25 điểm)

Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Tính $n(A)$:

Vì các số điền vào 9 ô là ước của 120 nên các số phải lấy từ tập $\{1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30\}$.

Theo giả thiết ta có: $$\{\begin{array}{ll}{a}^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2& (1)\\ abc=def=kmn=adk=bem=cfn=120& (2)\end{array}$$

Từ (1) và (2) ta có $a^2+\frac{120}{a}=d^2+\frac{120}{d}\Rightarrow a^2-d^2=\frac{120(a-d)}{ad}\Rightarrow (a+d)ad=120$ (3) (do $a\ne d$). (0,25 điểm)

TH1. Xét $a<d$ thì $120>2a^3\Rightarrow a<4$.

Nếu $a=1$ thì $(1+d)d=120$ không có $d$ thỏa mãn.

Nếu $a=2$ thì $(2+d)d=60$ không có $d$ thỏa mãn.

Nếu $a=3$ thì $(3+d)d=40\Rightarrow d=5$, $k=\frac{120}{ad}=8$, $mn=\frac{120}{k}=15=1.15$.

Xét $m=1$, $n=15\Rightarrow cf=8=2.4\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=2,f=4\Rightarrow b=20,e=6\\ c=4,f=2\Rightarrow b=10,e=12\end{array}$

Xét $m=15$, $n=1\Rightarrow be=8=2.4\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=2,e=4\Rightarrow c=20,f=6\\ b=4,e=2\Rightarrow c=10,f=12\end{array}$

Như vậy trong trường hợp 1 có 4 bảng thỏa mãn. (0,5 điểm)

TH2. Xét $a>d$ thì ta chỉ cần đổi cột thứ nhất và cột thứ hai (tính từ trái sang phải) của bốn bảng trong trường hợp 1, ta sẽ có thêm 4 bảng nữa.

Vậy $n(A)=8$. (0,25 điểm)

Xác suất cần tìm $p(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{8}{A_{30}^9}$. (0,25 điểm)

Lưu ý: Nếu thí sinh giải đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: xếp 8 cuốn sách khác nhau thành hàng ngang có 8! = 40320 cách.
b) Đúng: số cách sắp xếp là 8! = 40320 cách.
a) Xem 4 cuốn Toán kề nhau như một khối: có 5!·4! = 2880 cách, nên xác suất = 2880/40320 = 1/14. Đúng.
c) Xem khối Lý và khối Hóa: có 6!·2!·2! = 2880 cách, xác suất = 2880/40320 = 1/14 ≠ 1/28. Sai.
d) Dùng bù - bao hàm loại trừ với A = 'có hai cuốn Toán kề nhau', B = 'hai cuốn Lý kề nhau', C = 'hai cuốn Hóa kề nhau': |A| = 8! − C(5,4)·4!·4! = 40320 − 2880 = 37440; |B| = |C| = 7!·2! = 10080; |A∩B| = |A∩C| = 10080 − C(4,4)·4!·3!·2! = 10080 − 288 = 9792; |B∩C| = 6!·2!·2! = 2880; |A∩B∩C| = 2880 − C(4,4)·4!·2!·2! = 2880 − 96 = 2784. Số cách không có hai cuốn cùng môn kề nhau = 40320 − (37440+10080+10080) + (9792+9792+2880) − 2784 = 2400, xác suất = 2400/40320 = 5/84 ≠ 1/35. Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Gộp 4 cuốn Toán kề nhau thành một khối: 5!·4! = 2880 cách; xác suất = 2880/8! = 1/14.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 8 cuốn sách khác nhau thành một hàng: 8! = 40320 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Gộp khối Lý và khối Hóa: 6!·2!·2! = 2880 cách; xác suất = 1/14, không phải 1/28.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bao hàm - loại trừ cho số cách không có hai cuốn cùng môn kề nhau là 2400, xác suất = 5/84 ≈ 0,0595, không phải 1/35.

(AI giải đề cho tôi)
Đội thiện nguyện có 21 học sinh: khối 10 gồm 3 nữ, 3 nam; khối 11 gồm 3 nữ, 4 nam; khối 12 gồm 3 nữ, 5 nam (tổng 9 nữ, 12 nam). Chọn 4 từ 21 người: $n(\Omega )=C_{21}^4=5985$.

Bước 1: Đếm số cách chọn 4 người sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Vì chọn 4 người từ 3 khối, phân phối phải là $(2,1,1)$:
- Khối 10 đóng góp 2: $C_6^2\cdot C_7^1\cdot C_8^1=15\cdot 56=840$;
- Khối 11 đóng góp 2: $C_6^1\cdot C_7^2\cdot C_8^1=6\cdot 21\cdot 8=1008$;
- Khối 12 đóng góp 2: $C_6^1\cdot C_7^1\cdot C_8^2=6\cdot 7\cdot 28=1176$.
Tổng: $840+1008+1176=3024$. (Kiểm tra bằng bao hàm - loại trừ: $5985-C_{15}^4-C_{14}^4-C_{13}^4+C_8^4+C_7^4+C_6^4=5985-3081+120=3024$.)

Bước 2: Loại các trường hợp chỉ có một giới tính (vẫn thỏa mỗi khối ít nhất 1 người):
- Toàn nữ (mỗi khối 3 nữ, chọn 4 người dạng $(2,1,1)$): $3\cdot C_3^2\cdot C_3^1\cdot C_3^1=3\cdot 27=81$;
- Toàn nam (nam mỗi khối 3, 4, 5): $C_3^2{C}_4^1{C}_5^1+C_3^1{C}_4^2{C}_5^1+C_3^1{C}_4^1{C}_5^2=60+90+120=270$.

Số cách thuận lợi: $3024-81-270=2673$.

Xác suất: $P=\frac{2673}{5985}\approx 0,4466\approx 0,447$.

Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 2 quả từ 8 quả, $n(\Omega )=C_8^2=28$. Chọn được hai quả cùng màu gồm: hai quả xanh $C_5^2=10$ cách, hoặc hai quả đỏ $C_3^2=3$ cách. Vậy số kết quả thuận lợi là $10+3=13$, xác suất $P=\frac{13}{28}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{30}^3=4060$. Biến cố 'cả 3 đều nam hoặc cả 3 đều nữ': $n(A)=C_{16}^3+C_{14}^3=560+364=924$. Vậy $P(A)=\frac{924}{4060}\approx 0,228$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_9^2=36$. Biến cố lấy 2 viên cùng màu: 2 đỏ hoặc 2 xanh, số trường hợp thuận lợi $C_4^2+C_5^2=6+10=16$. Vậy $P=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Rút đồng thời 2 thẻ từ 9 thẻ: $n(\Omega )=C_9^2=36$. Tích hai số là số lẻ khi cả hai thẻ đều ghi số lẻ. Có 5 số lẻ (1,3,5,7,9), nên số cách rút 2 thẻ đều lẻ là $C_5^2=10$. Xác suất tích lẻ: $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$. Vậy xác suất tích chẵn (biến cố đối): $1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp 6 học sinh thành hàng ngang là $6!=720$. Gọi $A$ là biến cố 'các bạn nữ đứng cạnh nhau': coi 3 nữ là một khối, xếp $4!$ cách cho các khối và $3!$ cách trong khối nữ, nên $|A|=4!\cdot 3!=144$. Gọi $B$ là biến cố 'nam nữ đứng xen kẽ': chỉ có 2 dạng NTNTNT và TNTNTN, mỗi dạng có $3!\cdot 3!=36$ cách, nên $|B|=2\cdot 36=72$. Hai biến cố xung khắc nên $|A\cup B|=144+72=216$. Vậy $P(A\cup B)=\frac{216}{720}=\frac{3}{10}$. Đáp án A.