Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Một cái cổng có kích thước như hình dưới. Vòm cổng có dạng một Parabol. Tính diện tích hai cánh cửa cổng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]

Tháp giải nhiệt tại nhà máy Nhiệt điện Phả Lại (Tỉnh Hải Dương, Việt Nam) có mặt cắt qua trục theo phương thẳng đứng là một hình hypebol $(H)$. Tháp có chiều cao là $120\text{ m}$, bán kính đáy dưới bằng $40\text{ m}$. Một nhóm kỹ sư đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận $Ox,Oy$ làm các trục đối xứng; lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết rằng đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30\text{ m}$ và gốc $O$ ở vị trí có độ cao $80\text{ m}$ so với mặt đất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (quy ước đơn vị đo trên các trục là kilômét) một vệ tinh viễn thông $M$ di chuyển trên quỹ đạo là một đường Elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Quỹ đạo này nhận hai trạm phát tín hiệu tại mặt đất làm tiêu điểm là $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$. Trong suốt quá trình vận hành, vệ tinh luôn duy trì tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát $A$ và $B$ cố định bằng $10\text{ km}$. Một máy thu dữ liệu được đặt tại đỉnh của một tháp điều khiển có tọa độ $C(0;0;4)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ máy thu $C$ đến vệ tinh $M$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Người ta bơm nước vào một cái thùng nhựa đựng nước như hình 1 với hai đáy là hai đường tròn có bán kính $30\text{ cm},15\text{ cm}$, chiều cao thùng là $30\text{ cm}$. Mặt phẳng cắt đi qua trục của chậu nước chứa đường kính bất kỳ hai đáy có thiết diện như hình 2 với phần đường cong là một parabol. Biết vận tốc bơm nước vào thùng là $20\text{ lıˊt/phuˊt}$. Tính vận tốc nước dâng ở bề mặt cong của thùng nhựa khi độ cao mực nước là $10\text{ cm}$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 1: Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên dưới) có dạng hình tròn đường kính $AB$ bằng $12\text{ m}$. Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường parabol đối xứng nhau qua $AB$, nằm trong hình tròn, đi qua các điểm $A,B$ và có đỉnh cách mép hình tròn $1\text{ m}$. Phần giới hạn bởi $2$ parabol được trồng hoa với chi phí $300$ nghìn đồng mỗi mét vuông, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí $900$ nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn $|z+2|=\left|\frac{z+\bar{z}}{2}+4\right|$, gọi số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S=a+b^2$.

Cho mặt trụ $(T)$ có bán kính bằng $R=10$. Mặt phẳng $(P)$ tạo với trục của $(T)$ một góc $45^{\circ }$. Biết thiết diện tạo bởi $(P)$ và $(T)$ là một elíp $(E)$ có độ dài trục bé bằng hai lần bán kính của mặt trụ $(T)$. Diện tích của hình elíp giới hạn bởi $(E)$ là

Câu 11. Quỹ đạo của sao hỏa là elip có bán trục lớn $227,9$ triệu $\text{km}$, bán trục nhỏ bằng $226,9$ triệu $\text{km}$ và quay quanh mặt trời một vòng hết $687$ ngày. Khoảng cách xa nhất giữa sao hỏa và mặt trời gần số nào sau đây nhất?

Câu 4. Một mặt bàn bằng kính có hình dạng như hình 1. Để tạo ra mặt bàn đó, người ta dùng một tấm kính hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $14\text{ (dm)}$ và tại mỗi góc trong tam giác cắt tấm kính theo các đường parabol như nhau. Xét tại đỉnh $A$, parabol có đỉnh $M$ thuộc đường trung tuyến $AH$, tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $N,P$ sao cho $AM=\sqrt{3}\text{ dm},AN=AP=4\text{ dm}$ (Hình 2).



Diện tích mặt bàn thu được là một số có dạng $a\sqrt{b}{\text{ (dm}}^2\text{)}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ không có ước chính phương khác $1$). Tính tổng $a+b$.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40\text{ cm}$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Một hoa văn trang trí được thiết kế gồm hai đường tròn đồng tâm và bốn phần của bốn đường parabol chung đỉnh (đỉnh là tâm của hai đường tròn). Biết rằng hai đường tròn đó có bán kính lần lượt là $20\text{ cm}$ và $16\text{ cm}$; bốn đường parabol đó đôi một cắt nhau tại bốn điểm (khác đỉnh của parabol) là bốn đỉnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ (như hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^2$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 12. Biết $A,B$ là hai điểm di động trên Parabol $(P):f(x)=-x^2+2x+2$ và đường thẳng $\Delta :y=2x+6$ (tham khảo hình bên). Độ dài $AB$ nhỏ nhất bằng

Năm 2025 đánh dấu 80 năm Ngày Quốc khánh 2/9/1945 – 2/9/2025, ngày Bác Hồ đọc Tuyên ngôn Độc lập, khai sinh ra nước Việt Nam Dân chủ Cộng hòa. Trên lá cờ đỏ thiêng liêng tung bay hôm ấy, là ngôi sao vàng năm cánh – biểu tượng của tinh thần đoàn kết và sức mạnh dân tộc. Nhân dịp đặc biệt này, một nhóm học sinh đã lên ý tưởng thiết kế logo cho sự kiện kỷ niệm Ngày Quốc khánh là một ngôi sao vàng cách điệu, nội tiếp đường tròn. Biết năm cánh của ngôi sao được tạo bởi các đường Parabol, các đỉnh của ngôi sao tạo thành hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn $(C)$ bán kính $5\text{ cm}$, mỗi đỉnh Parabol cách tâm đường tròn $(C)$ một khoảng bằng $2\text{ cm}$. Để hoàn thiện bản thiết kế, các bạn ấy muốn tính diện tích phần ngôi sao, nhằm cân đối bố cục và tính lượng sơn cần dùng. Diện tích phần ngôi sao xấp xỉ bao nhiêu ${\text{cm}}^2$? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một cổng của một tòa nhà có dạng parabol gồm hai phần: phần hai cánh cửa hình chữ nhật $CDEF$, còn lại là phần xiên hoa trang trí (hình bên). Biết rằng $GH=16\text{ m}$, $AB=8\text{ m}$ và $AC=BD=1,7\text{ m}$. Diện tích phần cổng làm xiên hoa trang trí bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB=8$ m. Người ra treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M,N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí hoa, biết $MN=4$ m, $MQ=6$ m. Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 13. Một đám đất trong công viên hình vuông có cạnh $4\text{ m}$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm đám đất để tạo ra hình bông hoa gồm bốn cánh (được tô màu như hình vẽ bên) với mục đích để trồng cỏ trang trí cho công viên. Hỏi diện tích phần đất có dạng hình bông hoa là bao nhiêu mét vuông?

Câu 4. Một công viên hình tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB=40\text{ m}$, $AC=20\text{ m}$ và cạnh $BC$ tiếp giáp với đường nội đô. Trong công viên, người ta xây dựng một vườn hoa được giới hạn bởi đường parabol và hai cạnh $AB,AC$ của công viên, biết parabol có đỉnh là trung điểm của $AB$ và đi qua trung điểm của $AC$ (như hình vẽ).



Người ta muốn mở một con đường nhỏ rẽ từ đường nội đô đến vườn hoa, phục vụ cho việc chăm sóc hoa. Để tiết kiệm chi phí, người ta muốn mở con đường nói trên có chiều dài ngắn nhất. Hãy tính chiều dài con đường ngắn nhất đó (đơn vị mét, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một công ty quảng cáo $X$ muốn làm bức tranh trang trí hình $MNEIF$ ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $BC=6\text{ m}$, chiều dài $CD=12\text{ m}$ (hình vẽ bên dưới). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN=4\text{ m}$, cung $EIF$ có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ và đi qua $2$ điểm $C,D$. Kinh phí làm bức tranh là $600000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.

Hỏi công ty $X$ cần bao nhiêu triệu đồng để làm bức tranh đó? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 7. Chậu nước có chiều cao $2\text{ m}$; thiết diện qua trục cho ta hình ảnh hai parabol đối xứng nhau qua trục chậu nước, hai đỉnh parabol này cách nhau $1\text{ m}$. Hai đường tròn đáy và miệng chậu nước đều có bán kính $1\text{ m}$. Mực nước ban đầu trong chậu cao $0,2\text{ m}$. Dựng một hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm của đường tròn đáy, tia $Ox$ đi qua tâm của miệng chậu nước. Gọi parabol $(P)$ là một đường sinh của chậu nước.

Ông An muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao $GH=4\text{ m}$, chiều rộng $AB=4\text{ m}$, $AC=BD=0,9\text{ m}$. Ông An làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm có giá là $1200000$ đồng/m${}^2$, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $900000$ đồng/m${}^2$. Hỏi để làm hai phần nói trên ông An phải trả bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười)?