Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số xe loại $A$ và $B$ cần thuê ($x,y$ nguyên, $0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$). Ràng buộc: chở người $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$; chở hàng $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$. Chi phí $P=4x+3y$ (triệu đồng).

Xét miền nghiệm của hệ:
- Với $x=0$: cần $y\ge 14$ (vô nghiệm vì $y\le 9$), nên $x\ge 2,5$.
- Với $y=0$: cần $x\ge 15$ (vô nghiệm vì $x\le 10$), nên $y\ge 2$.

Các đỉnh của miền phương án:
- Giao hai đường thẳng $2x+y=14$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=16\Rightarrow y=4$, $x=5$. Điểm $(5;4)$, $P=4\cdot 5+3\cdot 4=32$.
- $(10;2)$: thỏa $2\cdot 10+2=22\ge 14$, $20+10=30\ge 30$, $P=40+6=46$.
- $(10;0)$: $P=40$.
- $(2,5;9)$: $P=10+27=37$.

Vậy $P$ nhỏ nhất tại $(5;4)$ với $P=32$ triệu đồng. Điểm này nguyên nên thỏa mãn điều kiện nguyên.

Kết luận: Cần thuê $5$ xe loại $A$ và $4$ xe loại $B$; khi đó chở được $5\cdot 20+4\cdot 10=140$ người và $5\cdot 0,6+4\cdot 1,5=9$ tấn hàng, chi phí thấp nhất là $32$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng ngô, $y$ (ha) là diện tích trồng đậu xanh ($x,y\ge 0$). Điều kiện: $x+y\le 8$ (diện tích đất) và $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$ (ngày công). Số tiền thu được: $P=40x+50y$ (triệu đồng), cần max $P$.

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $(0;0)$, $(8;0)$, giao điểm của $x+y=8$ và $2x+3y=18$, và $(0;6)$.

Tìm giao điểm: từ $x+y=8\Rightarrow x=8-y$, thay vào $2(8-y)+3y=18\Rightarrow 16+y=18\Rightarrow y=2$, $x=6$. Đỉnh $(6;2)$.

Tính $P$ tại các đỉnh:
- $P(0;0)=0$
- $P(8;0)=40\cdot 8=320$ triệu đồng
- $P(6;2)=40\cdot 6+50\cdot 2=240+100=340$ triệu đồng
- $P(0;6)=50\cdot 6=300$ triệu đồng

Vậy $P_{\max }=340$ triệu đồng tại $x=6$, $y=2$. Kiểm tra: $6+2=8\le 8$ ha; $20\cdot 6+30\cdot 2=180\le 180$ ngày công. Đều thỏa mãn.

Kết luận: Bác Năm nên trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh để thu được nhiều tiền nhất là 340 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Biểu diễn miền nghiệm**

Xét từng bất phương trình:
- $x\le 0$: nửa mặt phẳng bờ $x=0$ (kể cả bờ), phía bên trái trục $Oy$.
- $y\ge -1$: nửa mặt phẳng bờ $y=-1$ (kể cả bờ), phía trên đường thẳng $y=-1$.
- $4x-3y\ge -12$: nửa mặt phẳng bờ đường thẳng $4x-3y=-12$ đi qua $(0;4)$ và $(-3;0)$ (kể cả bờ), phía chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ vì $4\cdot 0-3\cdot 0=0\ge -12$.
- $x+y\le 1$: nửa mặt phẳng bờ đường thẳng $x+y=1$ đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$ (kể cả bờ), phía chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm là phần chung của bốn nửa mặt phẳng trên — một tứ giác lồi (kể cả biên) với các đỉnh:

- Giao $x=0$ và $y=-1$: $A(0;-1)$.
- Giao $y=-1$ và $4x-3y=-12$: $4x+3=-12\Rightarrow x=-\frac{15}{4}$, tức $B\left(-\frac{15}{4};-1\right)$.
- Giao $4x-3y=-12$ và $x+y=1$: thay $y=1-x$ vào: $4x-3(1-x)=-12\Rightarrow 7x=-9\Rightarrow x=-\frac{9}{7},y=\frac{16}{7}$, tức $C\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$ (thỏa $x\le 0$, $y\ge -1$).
- Giao $x=0$ và $x+y=1$: $D(0;1)$.

(Lưu ý: giao của $x=0$ và $4x-3y=-12$ là $(0;4)$ nhưng không thỏa $x+y\le 1$ nên không phải đỉnh của miền.)

**b) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $f(x;y)=4x-3y$**

Vì miền nghiệm là đa giác lồi, $f$ đạt GTLN, GTNN tại các đỉnh:

- Tại $A(0;-1)$: $f=0+3=3$.
- Tại $B\left(-\frac{15}{4};-1\right)$: $f=4\cdot \left(-\frac{15}{4}\right)+3=-15+3=-12$.
- Tại $C\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$: $f=-\frac{36}{7}-\frac{48}{7}=-12$.
- Tại $D(0;1)$: $f=-3$.

Kết luận: $\max f=3$ tại $(0;-1)$; $\min f=-12$ (đạt tại mọi điểm trên đoạn $BC$, ví dụ $\left(-\frac{15}{4};-1\right)$ và $\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại I và II sản xuất trong tháng ($x,y\in \mathbb{Z}$, $x\ge 0$, $y\ge 0$). Lợi nhuận: $P=500x+400y$ (nghìn đồng).

Ràng buộc về thời gian:
- Chiến: $3x+2y\le 180$
- Bình: $x+6y\le 220$

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(60;0)$, $B\left(0;\frac{110}{3}\right)$ và giao điểm $D$ của hai đường thẳng $3x+2y=180$ và $x+6y=220$. Giải hệ: nhân phương trình thứ hai với 3 được $3x+18y=660$; trừ đi $3x+2y=180$ ta được $16y=480\Rightarrow y=30$, suy ra $x=40$. Vậy $D(40;30)$, là điểm nguyên.

Giá trị $P$ tại các đỉnh:
- $P(O)=0$
- $P(A)=500\cdot 60=30000$
- $P(B)=400\cdot \frac{110}{3}\approx 14666,7$
- $P(D)=500\cdot 40+400\cdot 30=20000+12000=32000$

Kiểm tra $D(40;30)$: $3\cdot 40+2\cdot 30=180\le 180$ và $40+6\cdot 30=220\le 220$, thỏa mãn. Vì $D$ là điểm nguyên thuộc miền nghiệm và hàm tuyến tính đạt lớn nhất tại đỉnh $D$, lợi nhuận lớn nhất là $32000$ nghìn đồng $=32$ triệu đồng, đạt khi sản xuất 40 sản phẩm loại I và 30 sản phẩm loại II.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số bàn và số ghế anh An đóng trong một tuần ($x,y\in \mathbb{N}$).

**Ràng buộc:**
- Thời gian: $6x+3y\le 60\iff 2x+y\le 20$.
- Số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất 2 lần: $y\ge 2x$.
- $x\ge 0,y\ge 0$.

**Hàm mục tiêu:** Lãi $P=150x+100y$ (nghìn đồng).

**Giải:** Miền nghiệm giới hạn bởi $2x+y\le 20$, $y\ge 2x$, $x\ge 0$. Từ $y\ge 2x$ suy ra $2x+2x\le 2x+y\le 20\Rightarrow x\le 5$.

Với mỗi $x$, lãi lớn nhất khi $y$ lớn nhất, tức $y=20-2x$ (thỏa $y\ge 2x$ vì $x\le 5$). Khi đó:
$$P=150x+100(20-2x)=2000-50x.$$
Hàm số giảm theo $x$, nên $P$ lớn nhất khi $x=0$, khi đó $y=20$, $P=2000$ nghìn đồng $=2$ triệu đồng.

Kiểm tra: $x=0,y=20$ thỏa $6\cdot 0+3\cdot 20=60\le 60$ và $20\ge 2\cdot 0$.

So sánh: tại $x=5,y=10$ thì $P=1750$ nghìn; tại $x=0,y=20$ thì $P=2000$ nghìn — lớn nhất.

**Kết luận:** Anh An nên đóng $0$ cái bàn và $20$ cái ghế mỗi tuần để lãi lớn nhất, đạt $2000000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng lúa, $y$ (ha) là diện tích trồng khoai ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 6$ (đất); $20x+10y\le 100\iff 2x+y\le 10$ (phân bón); $10x+30y\le 120\iff x+3y\le 12$ (ngày công). Lợi nhuận $P=30x+60y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(5;0)$, giao của $2x+y=10$ và $x+3y=12$: giải hệ được $x=3,6;y=2,8$; giao của $x+3y=12$ và $x+y=6$: $(3;3)$; giao của $x+y=6$ và $2x+y=10$: $(4;2)$; $(0;4)$. Kiểm tra các đỉnh thoả mọi ràng buộc: $(5;0)$: $P=150$; $(4;2)$: phân $=100$, công $=100$, $P=240$; $(3;3)$: phân $=90$, công $=120$, $P=270$; $(3,6;2,8)$: phân $=100$, công $=120$, $P=30\cdot 3,6+60\cdot 2,8=108+168=276$; $(0;4)$: $P=240$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là 276 triệu đồng khi trồng $3,6$ ha lúa và $2,8$ ha khoai.

Gọi x, y lần lượt là số bàn và số ghế sản xuất trong một ngày (x, y là các số nguyên không âm). Điều kiện: $1,5x+y\le 24$; $x+2y\le 32$; $y\le 3,5x$. Lập được hệ Bpt: $$\{\begin{array}{l}1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3,5x-y\ge 0\\ x\ge 0,y\ge 0\\ x;y\in \mathbb{Z}\end{array}$$ Lợi nhuận (nghìn đồng) là $P=600x+450y$. Cần tìm P lớn nhất trong miền nghiệm của hệ bất phương trình. Biểu diễn đúng miền nghiệm của hệ Bpt. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác OABC với $O(0;0)$, $A(4;14)$, $B(8;12)$, $C(16;0)$. Thay tọa độ các điểm vào P ta được giá trị lớn nhất bằng 10 200 khi $x=8$ và $y=12$. Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được tiền lãi lớn nhất là 10 200 000 đồng.

Miền nghiệm của hệ (I) là tam giác với các đỉnh là giao điểm của từng cặp đường thẳng:

$x+y=4$ và $2x-y=2$ cho $(2;2)$; $x+y=4$ và $y=3$ cho $(1;3)$; $2x-y=2$ và $y=3$ cho $\left(\frac{5}{2};3\right)$.

Xét $F=2x-5y$, giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền tam giác đạt tại một trong các đỉnh:

$F(2;2)=-6$; $F(1;3)=-13$; $F\left(\frac{5}{2};3\right)=-10$. Suy ra $\min F=-13$.

Bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ đúng với mọi $(x;y)$ thỏa mãn (I) khi và chỉ khi

$-13+m\ge 0\iff m\ge 13$.

Kết hợp $m\in [10;20]$, $m$ nguyên dương ta được $m\in \{13;14;\dots ;20\}$. Vậy có 8 giá trị.

a) Điều kiện $x\ge 0$, $y\ge 0$. Lượng bột cần dùng là $0,3x+0,4y\le 18$, lượng đường cần dùng là $0,3x+0,2y\le 15$. Hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+4y\le 180\\ 3x+2y\le 150\end{array}.$$

b) Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OMNP$ (kể cả biên) với $O(0;0)$, $M(0;45)$, $N(40;15)$, $P(50;0)$, trong đó $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $3x+4y=180$ và $3x+2y=150$.

Doanh thu $F=100x+80y$ (triệu đồng). Ta có $F(0;0)=0$, $F(0;45)=3600$, $F(40;15)=4000+1200=5200$, $F(50;0)=5000$.

Vậy doanh thu tối đa là 5200 triệu đồng, đạt được khi sản xuất 40 tấn thực phẩm X và 15 tấn thực phẩm Y.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số học sinh mua combo, $y$ là số học sinh chỉ mua nước ngọt, $z$ là số học sinh chỉ mua bông ngô. Vì 35 học sinh mua nước ngọt nên $x+y=35$; vì 50 học sinh mỗi người mua ít nhất một món nên $x+y+z=50$, suy ra $z=15$. Tổng tiền (nghìn đồng): $95x+28y+74z=3095$. Thay $y=35-x$, $z=15$: $95x+28(35-x)+74\cdot 15=3095\Rightarrow 67x+980+1110=3095\Rightarrow 67x=1005\Rightarrow x=15$. Vậy $y=20$, $z=15$. Số học sinh mua bông ngô là $x+z=15+15=30$. Kiểm tra: $15\cdot 95+20\cdot 28+15\cdot 74=1425+560+1110=3095$ (nghìn đồng) đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện: vốn $15x+30y\le 1200$ (triệu đồng), tổng số xe $x+y\le 50$, và $x\ge 0$, $y\ge 0$. Vậy hệ bất phương trình là $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ 15x+30y\le 1200\end{array}$$ b) Lợi nhuận $P=3x+5y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $O(0;0)$, $A(50;0)$, $B(0;40)$ (vì $30y\le 1200\Rightarrow y\le 40$), và $C$ là giao của $x+y=50$ với $15x+30y=1200$: thay $y=50-x$ ta được $15x+30(50-x)=1200\Rightarrow 1500-15x=1200\Rightarrow x=20$, $y=30$, tức $C(20;30)$. Tính $P$ tại các đỉnh: $P(O)=0$; $P(A)=3\cdot 50=150$; $P(B)=5\cdot 40=200$; $P(C)=3\cdot 20+5\cdot 30=60+150=210$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $210$ triệu đồng, đạt được khi nhập $20$ xe loại $A$ và $30$ xe loại $B$ (kiểm tra: vốn $15\cdot 20+30\cdot 30=1200$ triệu $\le 1200$, tổng xe $50\le 50$, thỏa mãn).

a) Hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Đúng.

b) Với $(x;y)=(3;4)$: $4.3+5.4=32>10$ nên không thỏa mãn bất phương trình thứ ba. Sai.

c) Đường thẳng $x=0$ cắt $4x+5y=10$ tại $A(0;2)$, cắt $5x-4y=10$ tại $C\left(0;-\frac{5}{2}\right)$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x-4y=10\\ 4x+5y=10\end{array}$ được $B\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Điểm $O(0;0)$ thỏa mãn hai bất phương trình sau nên miền nghiệm là miền tam giác $ABC$ (phần không bị gạch) như hình vẽ. Đúng.

d) $F(x;y)=x-2y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tam giác $ABC$. Ta có $F(0;2)=-4$, $F\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)=\frac{70}{41}$, $F\left(0;-\frac{5}{2}\right)=5$. Vậy $F$ nhỏ nhất bằng $-4$ tại $(x_0;y_0)=(0;2)$, suy ra $y_0-x_0=2$. Sai.
a) Hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Đúng.
b) Với $(x;y)=(3;4)$: $4.3+5.4=32>10$ nên không thỏa mãn bất phương trình thứ ba. Sai.
c) Đường thẳng $x=0$ cắt $4x+5y=10$ tại $A(0;2)$, cắt $5x-4y=10$ tại $C\left(0;-\frac{5}{2}\right)$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x-4y=10\\ 4x+5y=10\end{array}$ được $B\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Điểm $O(0;0)$ thỏa mãn hai bất phương trình sau nên miền nghiệm là miền tam giác $ABC$ (phần không bị gạch) như hình vẽ. Đúng.
d) $F(x;y)=x-2y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tam giác $ABC$. Ta có $F(0;2)=-4$, $F\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)=\frac{70}{41}$, $F\left(0;-\frac{5}{2}\right)=5$. Vậy $F$ nhỏ nhất bằng $-4$ tại $(x_0;y_0)=(0;2)$, suy ra $y_0-x_0=2$. Sai.

Gọi $x$, $y$ (ha) lần lượt là diện tích trồng cà phê và ca cao, với $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Tổng diện tích không quá 10 ha: $x+y\le 10$.

Số công chăm sóc cà phê không vượt quá 80: $20x\le 80\iff x\le 4$.

Cà phê do gia đình tự chăm sóc, nên lợi nhuận mỗi ha là 10 triệu đồng.

Ca cao phải thuê 30 công mỗi ha, chi phí $30\cdot 100.000=\mathrm{3.000.000}$ đồng, nên lợi nhuận mỗi ha là $12-3=9$ triệu đồng.

Lợi nhuận thu được là $F=10x+9y$ (triệu đồng).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F$ với $$\{\begin{array}{l}x\ge 0,y\ge 0\\ x+y\le 10\\ x\le 4\end{array}$$

Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OMNQ$ với $O(0;0)$, $M(4;0)$, $N(4;6)$, $Q(0;10)$.

$F(0;0)=0$, $F(4;0)=40$, $F(4;6)=10\cdot 4+9\cdot 6=94$, $F(0;10)=90$.

Giá trị lớn nhất của $F$ là 94, đạt được khi $x=4$, $y=6$.

Vậy gia đình bác An cần trồng 4 ha cà phê và 6 ha ca cao. Khi đó lợi nhuận lớn nhất là 94.000.000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ điều kiện: $x\ge 0,y\ge 0,2x+4y\le 20$ (nguyên liệu), $3x+y\le 12$ (thời gian).
a) Với $(2;5)$: nguyên liệu $2\cdot 2+4\cdot 5=24>20$ → vi phạm, Sai.
b) Miền nghiệm có 4 đỉnh $(0;0),(4;0),(2,8;3,6),(0;5)$ là tứ giác, không phải tam giác, Sai.
c) Tổng nguyên liệu $2x+4y\le 20$, Đúng.
d) $F=4x+3y$; tại giao điểm $2x+4y=20$, $3x+y=12$ ta được $(x;y)=(2,8;3,6)$, $F=4\cdot 2,8+3\cdot 3,6=22$ triệu đồng (lớn hơn các đỉnh khác: $(4;0)\to 16$, $(0;5)\to 15$). Đúng. Khớp đáp án nguồn SSĐĐ.
a) Với $(x;y)=(2;5)$, nguyên liệu cần là $2\cdot 2+4\cdot 5=24>20$ nên vi phạm điều kiện về nguyên liệu. Sai.
b) Miền nghiệm của hệ $x\ge 0,y\ge 0,2x+4y\le 20,3x+y\le 12$ là một tứ giác (có 4 đỉnh), không phải tam giác. Sai.
c) Mỗi tấn sản phẩm $A$ cần 2 tấn nguyên liệu, mỗi tấn sản phẩm $B$ cần 4 tấn, tổng nguyên liệu tối đa 20 tấn nên $2x+4y\le 20$. Đúng.
d) Hàm lợi nhuận $F=4x+3y$ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm tại giao điểm của $2x+4y=20$ và $3x+y=12$, tức $(2,8;3,6)$, khi đó $F=4\cdot 2,8+3\cdot 3,6=22$ triệu đồng. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số lô rổ nhựa và số lô thau nhựa sản xuất trong một ngày ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc thời gian: máy $M_1$: $2x+3y\le 12$; máy $M_2$: $2x+y\le 8$. Hàm lợi nhuận: $P=1,8x+1,5y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(4;0)$, $(0;4)$ và giao điểm của $2x+3y=12$ với $2x+y=8$: trừ phương trình ta được $2y=4\Rightarrow y=2$, $x=3$, tức $(3;2)$. Tính $P$: tại $(4;0)$: $P=7,2$; tại $(0;4)$: $P=6,0$; tại $(3;2)$: $P=1,8\cdot 3+1,5\cdot 2=5,4+3=8,4$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $8,4$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $3$ lô rổ nhựa và $2$ lô thau nhựa mỗi ngày (kiểm tra: $M_1$: $2\cdot 3+3\cdot 2=12$ giờ ✓; $M_2$: $2\cdot 3+1\cdot 2=8$ giờ ✓).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số tạ bánh quy và bánh xốp sản xuất trong một ngày ($x,y\ge 0$). Ràng buộc thời gian: máy $M_1$: $x+2y\le 8$; máy $M_2$: $3x+2y\le 12$. Hàm lợi nhuận: $F=1,6x+2,2y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(4;0)$, $(0;4)$ và giao điểm của $x+2y=8$ và $3x+2y=12$: trừ hai phương trình ta được $2x=4\Rightarrow x=2$, $y=3$, tức $(2;3)$. Tính $F$: tại $(4;0)$: $F=6,4$; tại $(0;4)$: $F=8,8$; tại $(2;3)$: $F=1,6\cdot 2+2,2\cdot 3=3,2+6,6=9,8$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $9,8$ triệu đồng, đạt khi sản xuất 2 tạ bánh quy và 3 tạ bánh xốp mỗi ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng súp lơ, $y$ (ha) là diện tích trồng hành tây. Điều kiện: $x\ge 0,y\ge 0,x+y=10,10x+30y\le 150$ (tức $x+3y\le 15$). Lợi nhuận $P=3x+5y$. Thay $x=10-y$: $P=30+2y$. Ràng buộc $10-y+3y\le 15\Rightarrow y\le 2.5$. Vì $P$ tăng theo $y$ nên $y=2.5,x=7.5$, khi đó $P=30+2(2.5)=35$ triệu đồng. Vậy số tiền thu được nhiều nhất là 35 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số xe loại A và loại B được thuê ($0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$, $x,y\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$).

Ràng buộc:
- Chở người: $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$.
- Chở hàng: $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$.

Hàm mục tiêu: $f=4x+3y$ (triệu đồng), cần tìm giá trị nhỏ nhất.

Tọa độ đỉnh miền ràng buộc (kết hợp $0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$):
- Giao hai đường thẳng $2x+y=14$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=16\Rightarrow y=4$, $x=5$. Điểm $(5;4)$ thỏa mọi ràng buộc, $f=4\cdot 5+3\cdot 4=32$.
- $(2,5;9)$: $f=10+27=37$.
- $(10;2)$: $f=40+6=46$.
- Các đỉnh khác như $(7;0)$, $(10;0)$, $(0;9)$ vi phạm ràng buộc hàng hoặc người.

Vậy giá trị nhỏ nhất là $f=32$ tại $x=5$, $y=4$ (thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B, chở được $5\cdot 20+4\cdot 10=140$ người và $5\cdot 0,6+4\cdot 1,5=9$ tấn hàng, vừa đủ).

Số tiền thuê xe thấp nhất là $32$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ ràng buộc: $2x+y\le 8$, $x+3y\le 9$, $x\ge 0$, $y\ge 0$. Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;3)$ và giao điểm $D$ của $2x+y=8$ và $x+3y=9$: giải hệ được $x=3$, $y=2$, tức $D(3;2)$. Tính $F=2x+3y$ tại các đỉnh: $F(O)=0$, $F(A)=8$, $F(B)=9$, $F(D)=2\cdot 3+3\cdot 2=12$. Vậy giá trị lớn nhất của lợi nhuận là $F_{\max }=12$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $x=3$ đơn vị sản phẩm X và $y=2$ đơn vị sản phẩm Y.

a) Chi phí thuê $x$ xe loại $A$ là $4x$ (triệu đồng), thuê $y$ xe loại $B$ là $3y$ (triệu đồng). Tổng chi phí là $T=4x+3y$ (triệu đồng). Đúng.
b) Số người chở được là $20x+10y$, số tấn hàng chở được là $0,6x+1,5y$. Theo đề cần chở ít nhất 140 người và ít nhất 9 tấn hàng nên hệ đúng là $$\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\end{array}$$ Hệ (*) dùng dấu "<" nên sai. Sai.
c) Tứ giác $ABCD$ là miền nghiệm của hệ đúng ở ý B, với $A(10;2)$, $B(10;9)$, $C\left(\frac{5}{2};9\right)$, $D(5;4)$. Điểm $B(10;9)$ thuộc tứ giác nhưng $20\cdot 10+10\cdot 9=290$ không nhỏ hơn 140. Do đó tứ giác $ABCD$ không phải miền nghiệm của hệ (*). Sai.
d) $T=4x+3y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác $ABCD$: $$T(10;2)=46;T(10;9)=67;T\left(\frac{5}{2};9\right)=37;T(5;4)=32.$$ Giá trị nhỏ nhất là 32, đạt tại $x=5$, $y=4$ (thỏa mãn $x,y\in \mathbb{N}$). Vậy chi phí vận chuyển thấp nhất là 32 triệu đồng. Đúng.
a) Chi phí thuê $x$ xe loại $A$ là $4x$ (triệu đồng), thuê $y$ xe loại $B$ là $3y$ (triệu đồng). Tổng chi phí là $T=4x+3y$ (triệu đồng). Đúng.
b) Số người chở được là $20x+10y$, số tấn hàng chở được là $0,6x+1,5y$. Theo đề cần chở ít nhất 140 người và ít nhất 9 tấn hàng nên hệ đúng là $$\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\end{array}$$ Hệ (*) dùng dấu "<" nên sai. Sai.
c) Tứ giác $ABCD$ là miền nghiệm của hệ đúng ở ý B, với $A(10;2)$, $B(10;9)$, $C\left(\frac{5}{2};9\right)$, $D(5;4)$.
Điểm $B(10;9)$ thuộc tứ giác nhưng $20\cdot 10+10\cdot 9=290$ không nhỏ hơn 140.
Do đó tứ giác $ABCD$ không phải miền nghiệm của hệ (*). Sai.
d) $T=4x+3y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác $ABCD$:
$$T(10;2)=46;T(10;9)=67;T\left(\frac{5}{2};9\right)=37;T(5;4)=32.$$
Giá trị nhỏ nhất là 32, đạt tại $x=5$, $y=4$ (thỏa mãn $x,y\in \mathbb{N}$).
Vậy chi phí vận chuyển thấp nhất là 32 triệu đồng. Đúng.