Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

a) Tổng nguyên liệu được dùng là $2x+4y(\text{kg})$ nên ta có $2x+4y\le 200$; tổng thời gian sản xuất là $30x+15y(\text{giờ})$ nên ta có $30x+15y\le 1200$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

b) Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+4y\le 200\\ 30x+15y\le 1200\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của tứ giác $OABC$ (kể cả các cạnh của tứ giác đó) với $O(0;0),A(0;50),B(20;40),C(40;0)$.

Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm là: $F(x;y)=40x+30y(\text{nghıˋn đoˆˋng})$.
Tại $O(0;0)$, ta có $F(0;0)=0$;
Tại $A(0;50)$, ta có $F(0;50)=1500$;
Tại $B(20;40)$, ta có $F(20;40)=2000$;
Tại $C(40;0)$, ta có $F(40;0)=1600$.
Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2000 nghìn đồng, khi đó $x=20,y=40$ (tức là xưởng cần sản xuất ra 20 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II). (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

Gọi $x,y$ (chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất. Trong đó $0\le x,0\le y$ với $x,y\in \mathbb{N}$. (0,5)
Khối lượng bột mì cần dùng là: $0,12x+0,16y(kg)$.
Khối lượng đường cần dùng là: $0,06x+0,04y(kg)$.
Ta có: $0,12x+0,16y\le 600$ hay $3x+4y\le 15000$;
$0,06x+0,04y\le 240$ hay $3x+2y\le 12000$.
Số tiền lãi thu được là: $T=8x+6y$ (nghìn đồng).
Bài toán đưa về, tìm $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}3x+4y\le 15000\\ 3x+2y\le 1200\\ y\le 3x\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}(V)\text{ để }T=8x+6y\text{ đạt giaˊ trị lớn nhaˆˊt.}$$

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (V).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0),A(4000;0),B(3000;1500),C(1000;3000)$ (0,25)

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]

Tính giá trị của $T$ tại các cặp số $(x;y)$ là tọa độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 33000 (nghìn đồng) hay 33 triệu đồng tại $x=3000;y=1500$.

Vậy để đạt được tiền lãi cao nhất, xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và 1.500 chiếc bánh dẻo.

Điểm: 0,25

Gọi x, y là số tấn sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất tương ứng là x, y (sản phẩm)

$(x,y\in \mathbb{N})$ [0,25 điểm]

Tiền lãi thu được là $F(x,y)=2x+1,6y$ (triệu đồng)

Theo đề bài ta có hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+y\le 6\\ x+y\le 4\end{array}$$ [0,25 điểm]

[0,25 điểm]

Miền nghiệm của bất phương trình là tứ giác
Ta có:

$F(0;0)=0$

$F(0;4)=6,4$

$F(1;3)=6,8\Rightarrow F(x;y{)}_{\max }$

$F(2;0)=4$ [0,25 điểm]

Vậy mỗi ngày tiền lãi lớn nhất xưởng thu được là 6,8 triệu đồng

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm (S) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $x-y=1$: thay $x=y+1$ vào $7(y+1)+2y+11=0\Rightarrow 9y=-18\Rightarrow y=-2,x=-1$, tức $A(-1;-2)$.
- Giao của $x-y=1$ và $4x+5y=13$: $4(y+1)+5y=13\Rightarrow 9y=9\Rightarrow y=1,x=2$, tức $B(2;1)$.
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $4x+5y=13$: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 2: $35x+10y=-55$, $8x+10y=26\Rightarrow 27x=-81\Rightarrow x=-3$, khi đó $y=\frac{-11-7(-3)}{2}=5$, tức $C(-3;5)$ (khớp với hình vẽ).

Vì $T=3x+5y+17$ là hàm tuyến tính nên GTLN trên miền tam giác đạt tại một đỉnh:
- $T(A)=3(-1)+5(-2)+17=0$
- $T(B)=6+5+17=28$
- $T(C)=-9+25+17=33$

Vậy $\max T=33$, đạt tại $C(-3;5)$, trùng với đáp án nguồn (đề 113, câu 1 = 33).

Gọi x, y là số kg sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất tương ứng là x, y (kg) ( $x,y\ge 0$ )

Lợi nhuận thu được là $F(x,y)=40x+30y$ (nghìn đồng)

Theo đề bài ta có hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+4y\le 200\\ 30x+15y\le 1200\end{array}$$



Miền nghiệm của bất phương trình là tứ giác
Ta có:

$F(0;0)=0$

$F(0;50)=1500$

$F(20;40)=2000\Rightarrow F(x;y{)}_{\max }$

$F(40;0)=1600$

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để thu được lợi nhuận cao nhất.

(Điểm: 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25)

Gọi $x,y$ lần lượt là số bánh trung thu thập cẩm và bánh trung thu sầu riêng mà câu lạc bộ bán được $(x\ge 0;y\ge 0;x,y\in \mathbb{Z})$.

Do tổng nhu cầu hàng tháng không vượt quá 140 cái bánh nên $x+y\le 140$.

Do số vốn ban đầu không vượt quá 7,2 triệu đồng nên $$50x+60y\le 7200\iff 5x+6y\le 720$$

Do đó, ta có hệ: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 140\\ 5x+6y\le 720\end{array}$ (I)

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ bánh trung thu thập cẩm và $y$ bánh trung thu sầu riêng là $F(x;y)=6x+7y$ (nghìn đồng).

Bài toán đưa về tìm $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$ sao cho $F(x;y)=6x+7y$ có giá trị lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (I)
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(0;120)$, $B(120;20)$, $C(140;0)$ (phần không bị gạch bỏ trong hình vẽ).

Khi đó ta có: $F(0;0)=0$, $F(0;120)=840$, $F(120;20)=860$, $F(140;0)=840$.

Vậy cần bán 120 bánh trung thu thập cẩm và 20 bánh trung thu sầu riêng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Gọi $x,y$ lần lượt là số bánh trung thu thập cẩm và bánh trung thu sầu riêng mà câu lạc bộ bán được $(x\ge 0;y\ge 0;x,y\in \mathbb{Z})$.

Do tổng nhu cầu hàng tháng không vượt quá 160 bánh nên $x+y\le 160$.

Do số vốn ban đầu không vượt quá 10,5 triệu đồng nên $$60x+70y\le 10500\iff 6x+7y\le 1050$$

Do đó, ta có hệ: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 160\\ 6x+7y\le 1050\end{array}$ (I)

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ bánh trung thu thập cẩm và $y$ bánh trung thu sầu riêng là $F(x;y)=7x+8y$ (nghìn đồng).

Bài toán đưa về tìm $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$ sao cho $F(x;y)=7x+8y$ có giá trị lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (I)
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(0;150)$, $B(70;90)$, $C(160;0)$ (phần không bị gạch bỏ trong hình vẽ).

Khi đó ta có: $F(0;0)=0$, $F(0;150)=1200$, $F(70;90)=1210$, $F(160;0)=1120$.

Vậy cần bán 70 bánh trung thu thập cẩm và 90 bánh trung thu sầu riêng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $3x+2y\le 18$, $2x+y\le 10$, $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=200x+100y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(5;0)$, giao điểm của $3x+2y=18$ và $2x+y=10$ là $(2;6)$, và $(0;9)$. Tính $P$: tại $(0;0)$: $0$; tại $(5;0)$: $1000$; tại $(2;6)$: $400+600=1000$; tại $(0;9)$: $900$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $1000$ nghìn đồng, đạt tại $(5;0)$ (cũng đạt tại $(2;6)$ nhưng điểm này không có trong các phương án). Theo các phương án, chọn $x=5,y=0$, khớp với đáp án nguồn A.

Gọi $x$ là số bộ rèm cửa sổ, $y$ là số bộ rèm cửa lớn mà cơ sở có thể may được trong 1 ngày. Đk: $x,y\ge 0$

Tổng tiền lời (nghìn đồng) cơ sở thu được khi may $x$ bộ rèm cửa sổ và $y$ bộ rèm cửa lớn:
$$F(x;y)=40x+50y$$

Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x;y)$ với $(x;y)$ là nghiệm của hệ bất phương trình (I)
$$(I)\{\begin{array}{l}x+y\le 40\\ 3x+5y\le 150\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$



Trong mặt phẳng tọa độ, miền nghiệm của hệ (I) là miền đa giác $ABCO$ (hình vẽ) với $A(0;30);B(25;15);C(40;0);O(0;0)$

Với: $A(0;30)\Rightarrow F(0;30)=1500$ (nghìn đồng)

$B(25;15)\Rightarrow F(0;30)=1750$ (nghìn đồng)

$C(40;0)\Rightarrow F(40;0)=1600$ (nghìn đồng)

$O(0;0)\Rightarrow F(0;0)=0$ (nghìn đồng)

Vậy cơ sở cần may 25 bộ rèm cửa sổ và 15 bộ rèm cửa chính thì tiền lời thu được là lớn nhất.

[Điểm: 0.25 cho mỗi phần trên]

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm $(S)$ là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $x-y=1$: thay $x=y+1$ vào $7(y+1)+2y+11=0\Rightarrow 9y=-18\Rightarrow y=-2,x=-1$. Điểm $A(-1;-2)$, $T=3(-1)-5(-2)=7$.
- Giao của $x-y=1$ và $4x+5y=13$: thay $x=y+1$ vào $4(y+1)+5y=13\Rightarrow 9y=9\Rightarrow y=1,x=2$. Điểm $B(2;1)$, $T=3(2)-5(1)=1$.
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $4x+5y=13$: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 2: $35x+10y=-55$ và $8x+10y=26$, trừ lại $27x=-81\Rightarrow x=-3$; suy ra $4(-3)+5y=13\Rightarrow y=5$. Điểm $C(-3;5)$, $T=3(-3)-5(5)=-9-25=-34$.

Vì $T=3x-5y$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại một đỉnh. So sánh $T(A)=7$, $T(B)=1$, $T(C)=-34$ ta được $\min T=-34$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 3: -34).

Lời giải

a) Gọi $x,y$ lần lượt là số thực đơn 1 và thực đơn 2 câu lạc bộ bán được $\left(x,y\in \mathbb{Z};x,y\ge 0\right)$

Theo đề bài ta có $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+3y\le 165\\ x+2y\le 100\end{array}(I)$$ (0.5đ)

(0.5đ)

Hệ (I) có miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(82,5;0)$, $B(30;35)$, $C(0;50)$.

b) Số tiền câu lạc bộ nhận được là $F(x;y)=35x+55y$ (nghìn đồng)

Ta có $F(0;0)=0$, $F(82,5;0)=2887,5$, $F(30;35)=2975$, $F(0;50)=2750$. (0.25đ)

Vậy số tiền lớn nhất câu lạc bộ nhận được là 2975 nghìn đồng. (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm (S) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $x-y=1$: thay $x=y+1$ vào $7(y+1)+2y=-11\Rightarrow 9y=-18\Rightarrow y=-2,x=-1$. Điểm $A(-1;-2)$, $T=3(-1)-5(-2)=7$.
- Giao của $x-y=1$ và $4x+5y=13$: thay $x=y+1$ vào $4(y+1)+5y=13\Rightarrow 9y=9\Rightarrow y=1,x=2$. Điểm $B(2;1)$, $T=6-5=1$.
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $4x+5y=13$: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 2: $35x+10y=-55$ và $8x+10y=26$, trừ lại $27x=-81\Rightarrow x=-3$; khi đó $4(-3)+5y=13\Rightarrow y=5$. Điểm $C(-3;5)$, $T=3(-3)-5(5)=-9-25=-34$.

Vì $T=3x-5y$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại một đỉnh. So sánh $T(A)=7$, $T(B)=1$, $T(C)=-34$, ta được $\min T=-34$ tại $C(-3;5)$ (điểm này khớp với hình vẽ: giao điểm của hai đường tại $(-3;5)$). Kết quả trùng với đáp án nguồn $-34$.

Lời giải

a) Gọi $x,y$ lần lượt là số thực đơn 1 và thực đơn 2 câu lạc bộ bán được $\left(x,y\in \mathbb{Z};x,y\ge 0\right)$.

Theo đề bài ta có $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+3y\le 165\\ x+2y\le 100\end{array}(I)\text{(0.5đ)}$$

$\text{(0.5đ)}$

Hệ (I) có miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(82,5;0)$, $B(30;35)$, $C(0;50)$.

b) Số tiền câu lạc bộ nhận được là $F(x;y)=40x+60y$ (nghìn đồng)

Ta có $F(0;0)=0$, $F(82,5;0)=3300$, $F(30;35)=3300$, $F(0;50)=3000$. $\text{(0.25đ)}$

Vậy số tiền lớn nhất câu lạc bộ nhận được là 3300 nghìn đồng. (0.25đ)

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm mục tiêu $F=6x+8y$ là hàm tuyến tính nên đạt giá trị lớn nhất tại một đỉnh của miền ngũ giác $OABCD$. Tính $F$ tại các đỉnh: $F(O)=0$; $F(A)=6\cdot 7+0=42$; $F(B)=6\cdot 6+8\cdot 3=60$; $F(C)=6\cdot 4+8\cdot 5=64$; $F(D)=0+8\cdot 6=48$. Vậy $F$ đạt giá trị lớn nhất $64$ tại $C(4;5)$, tức $a=4$, $b=5$, nên $a+2b=4+2\cdot 5=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Gọi $x$ là số bao lì xì, $y$ là số tờ lịch ($x,y\ge 0$).
Ràng buộc thời gian: $\frac{x}{4}+y\le 30\iff x+4y\le 120$.
Ràng buộc số sản phẩm: $x+y\ge 48$.
Hàm mục tiêu: $F=5x+30y$ (nghìn đồng).
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh:
- Giao $x+4y=120$ và $x+y=48$: trừ hai phương trình được $3y=72\Rightarrow y=24$, $x=24$, tức $(24;24)$. Kiểm tra: $\frac{24}{4}+24=30$ ✓, $24+24=48$ ✓.
- Giao $x+y=48$ với $y=0$: $(48;0)$, thỏa $48\le 120$ ✓.
- Giao $x+4y=120$ với $y=0$: $(120;0)$, thỏa $120\ge 48$ ✓.
Lưu ý: $(0;30)$ không thuộc miền vì $0+30=30<48$; $(0;48)$ không thuộc miền vì $0+4\cdot 48=192>120$.
Giá trị $F$ tại các đỉnh:
- $(24;24)$: $F=5\cdot 24+30\cdot 24=120+720=840$.
- $(48;0)$: $F=240$.
- $(120;0)$: $F=600$.
Vậy $F_{\max }=840$ nghìn đồng, đạt khi nhóm làm 24 bao lì xì và 24 tờ lịch.

Câu b) $A\cap B=(39;41)$. Số học sinh lớp 10A bằng số số nguyên thuộc $A\cap B$, tức các số nguyên trong $(39;41)$ là $\{40\}$... tổng quát, đề hiểu số học sinh lớp là $40$ (số nguyên trong khoảng giao, lấy theo cách hiểu chuẩn của dạng bài: lớp có 40 học sinh).
Gọi $x$ là số em giỏi cả ba môn. Theo công thức bù trừ, số em giỏi ít nhất một môn:
$$N=22+20+23-11-8-9+x=37+x.$$
Vì mỗi học sinh giỏi ít nhất một môn nên $N=40$, suy ra $x=40-37=3$.
Vậy lớp 10A có 3 bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm mục tiêu $F=6x+8y$ là hàm tuyến tính nên đạt giá trị lớn nhất tại một đỉnh của miền ngũ giác $OABCD$. Tính $F$ tại các đỉnh: $F(O)=0$; $F(A)=6\cdot 7+0=42$; $F(B)=6\cdot 6+8\cdot 3=60$; $F(C)=6\cdot 4+8\cdot 5=64$; $F(D)=0+8\cdot 6=48$. Vậy $F$ đạt giá trị lớn nhất $64$ tại $C(4;5)$, tức $a=4$, $b=5$, do đó $2a+b=2\cdot 4+5=13$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Gọi x, y lần lượt là số áo dài tay và áo ngắn tay cần nhập (x, y nguyên không âm). Ràng buộc: 0,9x + 0,6y ≤ 90 (vốn, triệu đồng), x + y ≤ 120 (nhu cầu), x ≥ 0, y ≥ 0. Lãi: P = 0,2x + 0,15y (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh (0;0), (100;0), (60;60), (0;120). Tính P: P(0;0)=0; P(100;0)=20; P(60;60)=12+9=21; P(0;120)=18. Vậy P lớn nhất bằng 21 triệu đồng tại x=100, y=0. Cửa hàng nên nhập 100 áo dài tay và không nhập áo ngắn tay.

b) A∩B = (39;41) nên số học sinh thuộc A∩B là các số nguyên trong khoảng này, tức chỉ có 40 → lớp 10A có 40 học sinh (mỗi em giỏi ít nhất một môn). Theo công thức bao hàm - loại trừ: 40 = 22 + 20 + 23 − 11 − 8 − 9 + t = 37 + t, suy ra t = 3. Vậy có 3 bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $(\mathrm{I})$: $y-2x\le 2$, $2y-x\ge 4$, $x+y\le 5$. Ba đường thẳng biên lần lượt là $y=2x+2$, $y=\frac{x+4}{2}$, $x+y=5$. Giao của $y=2x+2$ và $y=\frac{x+4}{2}$: $x=0$, $y=2$. Giao của $y=2x+2$ và $x+y=5$: $x=1$, $y=4$. Giao của $y=\frac{x+4}{2}$ và $x+y=5$: $x=2$, $y=3$. Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(1;4)$, $(2;3)$.
a) $F=y-x$ tại $(0;2)=2$, tại $(1;4)=3$, tại $(2;3)=1$. Vì $F$ tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền đạt tại đỉnh, $\min F=1$. Đúng.
b) Trên miền nghiệm, $2x-y$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: tại $(0;2)=-2$, tại $(1;4)=-2$, tại $(2;3)=1$. $\max (2x-y)=1\le 7$ nên mọi điểm của miền đều thỏa $2x-y\le 7$. Đúng.
c) Thử $(1;3)$: $y-2x=1\le 2$ ✓; $2y-x=5\ge 4$ ✓; $x+y=4\le 5$ ✓. Vậy $(1;3)$ thuộc miền nghiệm. Đúng.
d) Thử $(0;3)$: $y-2x=3>2$, vi phạm bất phương trình thứ nhất. Vậy $(0;3)$ không là nghiệm. Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1101: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F=y-x$ tuyến tính, đạt min tại đỉnh của miền tam giác $(0;2)$, $(1;4)$, $(2;3)$: giá trị lần lượt $2$, $3$, $1$ nên $\min F=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Max của $2x-y$ trên miền nghiệm là $1$ (tại $(2;3)$), nên $2x-y\le 7$ luôn đúng với mọi điểm thuộc miền.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(1;3)$: $1\le 2$, $5\ge 4$, $4\le 5$, thỏa cả ba bất phương trình nên thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(0;3)$: $y-2x=3>2$ vi phạm bất phương trình $y-2x\le 2$, nên không là nghiệm của hệ.

Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II nên sản xuất. Điều kiện x, y nguyên dương. Ta có hệ bất phương trình sau: $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+2y\le 230\\ 2x+3y\le 220\end{array}(1)$$ Tiền lãi $F(x;y)=500x+600y$ (nghìn đồng). Tìm cặp $(x,y)$ thỏa (1) để $F(x;y)$ lớn nhất. Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ được miền nghiệm là miền tứ giác OMNP với $O(0;0)$; $M\left(\frac{230}{3};0\right)$; $N(50;40)$; $P\left(0;\frac{220}{3}\right)$. Xét $F(x;y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm, ta được $F(x;y)$ đạt lớn nhất bằng 49.000 nghìn đồng khi x = 50, y = 40. Vậy xưởng cơ khí nên sản xuất 50 sp loại I và 40 sp loại II thì thu được lợi nhuận lớn nhất.