Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ có đường tròn nội tiếp bán kính $r=\frac{R}{2}$ (tâm đường tròn nội tiếp trùng tâm đường tròn ngoại tiếp, khoảng cách từ tâm đến cạnh bằng nửa bán kính). Vậy sau mỗi bước bán kính giảm một nửa: $R_n=\frac{60}{2^{n-1}}$.

Tam giác đều $A_n{B}_n{C}_n$ nội tiếp đường tròn bán kính $R_n$ có cạnh $a_n=R_n\sqrt{3}$, diện tích $S_n=\frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}_n^2$.

Với $n=9$: $R_9=\frac{60}{2^8}=\frac{60}{256}$, nên
$$S_9=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot {\left(\frac{60}{256}\right)}^2=\frac{2700\sqrt{3}}{65536}\approx 0,0714\approx 0,07{\text{ m}}^2.$$

Khớp đáp án nguồn $0,07$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $\frac{R}{2}$ (vì $r=R\cos 60^{\circ }=\frac{R}{2}$). Do đó bán kính các đường tròn tạo thành cấp số nhân: $R_n=\frac{60}{2^{n-1}}$, nên $R_9=\frac{60}{2^8}=0,234375$ m. Diện tích tam giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính $R_n$ (tức nội tiếp đường tròn bán kính $R_n$) là $S_n=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}_n^2$. Vậy $S_9=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot (0,234375{)}^2\approx 0,0714\approx 0,07$ m², khớp với đáp án nguồn 0,07.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $500\cdot (1,06{)}^n\ge 750$, tức $(1,06{)}^n\ge 1,5$. Lấy logarit: $n\ge \frac{\ln 1,5}{\ln 1,06}\approx \frac{0,405465}{0,058269}\approx 6,96$. Vì $n$ nguyên năm nên số năm tối thiểu là $n=7$. Kiểm tra: $500\cdot 1,06^7\approx 751,82>750$ (đúng), còn $n=6$ cho $500\cdot 1,06^6\approx 709,26<750$.

(AI giải đề cho tôi)
Số lượng vi khuẩn sau $t$ giờ: $N(t)=500\cdot 2^{t/3}$. Yêu cầu $500\cdot 2^{t/3}\ge 40000\iff 2^{t/3}\ge 80\iff \frac{t}{3}\ge {\log }_{2}80\iff t\ge 3{\log }_{2}80\approx 3\cdot 6,3219\approx 18,97$ giờ. Vậy sau ít nhất 19 giờ (làm tròn số nguyên giờ) số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 40 000 con. Kiểm tra: tại $t=18$: $500\cdot 2^6=32000<40000$; tại $t=21$: $500\cdot 2^7=64000\ge 40000$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu sau $n$ năm là $u_n=5\cdot (1,12{)}^n$ (tỷ đồng). Cần $5\cdot (1,12{)}^n>15\iff (1,12{)}^n>3\iff n>\frac{\ln 3}{\ln 1,12}\approx \frac{1,0986}{0,1133}\approx 9,69$. Vậy $n=10$ năm (kiểm tra: $5\cdot 1,12^{10}\approx 15,53>15$; $5\cdot 1,12^9\approx 13,86<15$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S_n$ là số tiền sau $n$ năm. Năm đầu chỉ có 200 triệu: sau 18 năm phần này thành $200\cdot 1,07^{18}$. Từ năm thứ 2 đến năm thứ 18, mỗi năm gửi thêm 20 triệu; khoản gửi đầu năm thứ $k$ ($k=\mathrm{2..18}$) sinh lãi trong $19-k$ năm, nên tổng các khoản gửi thêm là $20(1,07^{17}+1,07^{16}+\cdots +1,07)=20\cdot \frac{1,07(1,07^{17}-1)}{0,07}=20\cdot \frac{1,07^{18}-1,07}{0,07}$.

Tính: $1,07^{18}\approx 3,379912$.
- Phần gốc ban đầu: $200\cdot 3,379912\approx 675,982$ triệu đồng.
- Phần gửi thêm: $20\cdot \frac{3,379912-1,07}{0,07}=20\cdot 32,99874\approx 659,975$ triệu đồng.

Tổng: $675,982+659,975\approx 1335,957$ triệu đồng $\approx 1335967000$ VND (sai số làm tròn). Vậy đáp án B.

Câu 2 (0,5đ):
Tiền thu được sau n kỳ (cả gốc)
$A=P(1+r{)}^n=81(1+6,5\%{)}^n\ge 150$ 0,25đ
$⟺(1,065{)}^n\ge \frac{150}{81}⟺n\ge {\log }_{1,065}\frac{150}{81}\approx 9,78$
$\Rightarrow n=10$ (năm) 0,25đ

Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau 3 năm:
$$T_1=30\cdot {\left(1+\frac{8}{100}\right)}^3\approx 38\text{ (triệu người)}.$$
Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau $n(n>3,n\in \mathbb{N})$ năm tiếp theo
$$T_n=38\cdot {\left(1+\frac{5}{100}\right)}^n\text{ (triệu người)}.$$
Để người dùng vượt quá 50 triệu người thì
$$38\cdot {\left(1+\frac{5}{100}\right)}^n>55\Rightarrow n>{\log }_{\frac{105}{100}}\frac{55}{38}.$$
Vì $n\in \mathbb{N}$ nên $n=8$.
Vậy bắt đầu từ năm $2025+3+8=2036$ thì số lượng người dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 55 triệu người.
(Ghi chú: bản gốc lời giải ghi 'vượt quá 50 triệu người' trong một bước, mâu thuẫn với đề bài là 55 triệu — giữ nguyên theo nguồn.)

Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau 3 năm:
$$T_1=30\cdot {\left(1+\frac{8}{100}\right)}^3\approx 38\text{ (triệu người)}.$$
Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau $n(n>3,n\in \mathbb{N})$ năm tiếp theo
$$T_n=38\cdot {\left(1+\frac{5}{100}\right)}^n\text{ (triệu người)}.$$
Để người dùng vượt quá 50 triệu người thì
$$38\cdot {\left(1+\frac{5}{100}\right)}^n>55\Rightarrow n>{\log }_{\frac{105}{100}}\frac{55}{38}.$$
Vì $n\in \mathbb{N}$ nên $n=8$.
Vậy bắt đầu từ năm $2025+3+8=2036$ thì số lượng người dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 55 triệu người.
(Ghi chú: bản gốc lời giải ghi 'vượt quá 50 triệu người' trong một bước, mâu thuẫn với đề bài là 55 triệu — giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau $n$ năm: $120\cdot (1,078{)}^n$. Cần $120\cdot (1,078{)}^n\ge 200\iff (1,078{)}^n\ge \frac{5}{3}$. Lấy logarit: $n\ge \frac{\ln (5/3)}{\ln (1,078)}\approx \frac{0,5108}{0,0751}\approx 6,80$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=7$. Kiểm tra: $120\cdot 1,078^7\approx 120\cdot 1,690\approx 202,8>200$ (đúng), còn $120\cdot 1,078^6\approx 188<200$. Kết quả khớp đáp án nguồn: 7.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau $n$ năm: $150\cdot (1,075{)}^n$. Cần $150\cdot (1,075{)}^n\ge 270\iff (1,075{)}^n\ge 1,8$. Lấy logarit: $n\ge \frac{\ln 1,8}{\ln 1,075}\approx \frac{0,5878}{0,0723}\approx 8,13$. Vậy số năm nguyên nhỏ nhất là $n=9$. Kiểm tra: $150\cdot (1,075{)}^9\approx 150\cdot 1,9172\approx 287,6>270$; còn với $n=8$: $150\cdot (1,075{)}^8\approx 150\cdot 1,7834\approx 267,5<270$. Đáp số: $9$ (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Sau $n$ quý, số tiền là $100\cdot (1,03{)}^n$ (triệu đồng). Yêu cầu $100\cdot (1,03{)}^n>130\iff (1,03{)}^n>1,3\iff n>\frac{\ln 1,3}{\ln 1,03}\approx \frac{0,262364}{0,029559}\approx 8,88$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=9$. Kiểm tra: $100\cdot 1,03^9\approx 130,48>130$; còn $100\cdot 1,03^8\approx 126,68<130$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 9.

Số người dùng sau 3 năm đầu (tức cuối năm 2028):

$$A_3=31.{\left(1+8\%\right)}^3\approx 39,05$$

Từ năm 2029 trở đi, gọi $n$ là số năm tăng trưởng 5\% so với năm trước đó, nên ta có $39,05.{\left(1+5\%\right)}^n>57$

$\iff n>{\log }_{1,05}\left(\frac{57}{39,05}\right)\approx 7,75$. Nên cần ít nhất 8 năm nữa.

Vậy bắt đầu từ năm 2036 thì số lượng người dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 57 triệu người.

Số người dùng sau 3 năm đầu (tức cuối năm 2028):

$$A_3=31.{\left(1+8\%\right)}^3\approx 39,05$$

Từ năm 2029 trở đi, gọi $n$ là số năm tăng trưởng 5\% so với năm trước đó, nên ta có $39,05.{\left(1+5\%\right)}^n>57$

$\iff n>{\log }_{1,05}\left(\frac{57}{39,05}\right)\approx 7,75$. Nên cần ít nhất 8 năm nữa.

Vậy bắt đầu từ năm 2036 thì số lượng người dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 57 triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Với cấp số nhân công bội $q>0$: $u_4=2q^3$, $u_7=2q^6$. Xét $f(q)=2q^3+\frac{1024}{2q^6}=2q^3+\frac{512}{q^6}$. Ta có $f^{\prime }(q)=6q^2-\frac{3072}{q^7}=0\Rightarrow q^9=512=2^9\Rightarrow q=2$. Khi đó $u_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$. Suy ra $S=u_{11}+\dots +u_{20}=2^{11}+2^{12}+\dots +2^{20}=\frac{2^{21}-2^{11}}{2-1}=2097152-2048=2095104$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0005, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=2$, công bội $q>0$: $u_4=2q^3$, $u_7=2q^6$. Xét $f(q)=2q^3+\frac{1024}{2q^6}=2q^3+\frac{512}{q^6}$. Có $f^{\prime }(q)=6q^2-\frac{3072}{q^7}=0\iff q^9=512=2^9\iff q=2$ (vì $q>0$). Khi đó $f$ đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy $S=u_{11}+\dots +u_{20}=2q^{10}\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}=2\cdot 2^{10}\cdot \frac{2^{10}-1}{1}=2048\cdot 1023=2095104$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

Diện tích của hình vuông $C_1$ là 1. Độ dài đường chéo hình vuông $C_1$ là $\sqrt{2}$. Hình vuông $C_2$ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông $C_1$. $\Rightarrow$ Diện tích của hình vuông $C_2$ là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$. Hình vuông $C_3$ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông $C_2$. $\Rightarrow$ Diện tích của hình vuông $C_3$ là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^4$. …………………… Hình vuông $C_n$ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông $C_{n-1}$. $$\Rightarrow \text{Diện tıˊch của hıˋnh vuoˆng }{C}_n\text{ laˋ }{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{2(n-1)}$$ Do đó, dãy diện tích các hình vuông $C_1,C_2,C_3,...,C_n,...$ lập thành cấp số nhân với số hàng đầu $$u_1=1,q={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{10}=u_1.\frac{1-q^{10}}{1-q}=\frac{1023}{512}\Rightarrow 512S_{10}=1023$$ Đáp án: 1023

(AI giải đề cho tôi)
Gọi 3 số là $a,b,c$ với $a<b<c$, lập thành cấp số nhân nên $b^2=ac$, và $a+b+c=65$. Bớt 1 đơn vị ở số thứ nhất và 19 đơn vị ở số thứ ba ta được cấp số cộng: $a-1,b,c-19$ nên $2b=(a-1)+(c-19)=a+c-20$.

Mà $a+c=65-b$, suy ra $2b=65-b-20\Rightarrow 3b=45\Rightarrow b=15$.

Do đó $a+c=50$ và $ac=b^2=225$. Theo định lý Vi-ét, $a,c$ là hai nghiệm của $t^2-50t+225=0$, có $\Delta =2500-900=1600$, nên $t=\frac{50\pm 40}{2}$, tức $t\in \{45,5\}$.

Vì cấp số nhân tăng nên $a=5,c=45$.

Kiểm tra: ba số $5,15,45$ có tổng $65$, cấp số nhân công bội $q=3$; bớt đi ta được $4,15,26$ là cấp số cộng công sai $11$. Thỏa mãn.

Vậy ba số cần tìm là $5,15,45$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ: $u_4-u_2=u_{1}q(q^2-1)=54$, $u_5-u_3=u_1{q}^2(q^2-1)=108$. Chia hai phương trình được $q=2$ (công bội nguyên). Suy ra $u_1\cdot 2\cdot 3=54\Rightarrow u_1=9$.
a) Đúng: $u_1=9$.
b) Đúng: $S_9=9\cdot \frac{2^9-1}{2-1}=9\cdot 511=4599$.
c) Sai: $u_6=9\cdot 2^5=288\ne 576$ (thực tế $576=u_7$).
d) Sai: $v_n=u_{3n}$ là CSN với $v_1=u_3=9\cdot 4=36$, công bội $q^3=8$. Tổng $v_1+...+v_{10}=36\cdot \frac{8^{10}-1}{7}=\frac{36(2^{30}-1)}{7}\ne 12(4^{10}-1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai phương trình được $q=2$; khi đó $u_1\cdot 2\cdot (4-1)=54\Rightarrow u_1=9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_9=9\cdot \frac{2^9-1}{2-1}=4599$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_6=9\cdot 2^5=288\ne 576$; số 576 là $u_7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v_1=u_3=36$, công bội $8$; tổng bằng $36\cdot \frac{8^{10}-1}{7}=\frac{36(2^{30}-1)}{7}\ne 12(4^{10}-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đợt 1 là cấp số cộng công sai d=2 (triệu đồng), tháng thứ 10 góp 21 triệu nên u10=u1+9d=21 ⟹ u1=21−18=3 (triệu đồng). Khẳng định ĐÚNG.
b) Đợt 2 là cấp số nhân với số tiền tháng đầu u1=5 triệu và mỗi tháng gấp đôi tháng trước, tức công bội q=2 (một số vô hướng, không có đơn vị 'triệu'). Khẳng định nói 'công bội là q=2 triệu' là SAI về bản chất (công bội không có đơn vị tiền tệ).
c) Tổng đợt 1: S_n = n/2·(2u1+(n−1)d) = n/2·(6+2(n−1)) = n(n+2). Giải n(n+2)=624 ⟹ n²+2n−624=0 ⟹ n=24 (nhận n>0). Vậy đợt 1 kéo dài 24 tháng, không phải 25 tháng ⟹ SAI.
d) Số tiền còn cần: 1259−624=635 triệu. Đợt 2 sau n tháng: T_n=5(2^n−1). Cần 5(2^n−1)≥635 ⟺ 2^n≥128 ⟺ n≥7. Tổng số tháng ít nhất: 24+7=31 tháng ⟹ ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
u10=u1+9d=21 với d=2 ⟹ u1=3 triệu. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đợt 2 là cấp số nhân với u1=5 triệu và công bội q=2 (số vô hướng, không có đơn vị 'triệu'). Khẳng định sai vì gọi công bội là '2 triệu'.
c) (AI giải đề cho tôi)
S_n=n(n+2)=624 ⟹ n=24 tháng, không phải 25 tháng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Còn 635 triệu; 5(2^n−1)≥635 ⟹ n≥7; tổng 24+7=31 tháng.