Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất trúng vòng 10, 9, 8 lần lượt là $P(10)=0,25$; $P(9)=0,3$; $P(8)=0,4$; hai lần bắn độc lập.
a) Đạt 18 điểm khi cả hai lần trúng vòng 9 hoặc một lần vòng 10 và một lần vòng 8: $P=0,3^2+2\cdot 0,25\cdot 0,4=0,09+0,2=0,29$ → đúng.
b) Đạt 19 điểm khi một lần vòng 10 và một lần vòng 9: $P=2\cdot 0,25\cdot 0,3=0,15\ne 0,075$ → sai.
c) Điểm lớn hơn 17 gồm 18, 19, 20 điểm: $P=0,29+0,15+0,25^2=0,29+0,15+0,0625=0,5025$ → đúng.
d) Hai lần độc lập nên $P=0,3\cdot 0,3=0,09\ne 0,6$ → sai.
Kết quả khớp với dòng đáp án nguồn tương ứng (D, S, D, S).
a) Đạt 18 điểm khi cả hai lần đều trúng vòng 9 hoặc một lần trúng vòng 10 và một lần trúng vòng 8: $P=0,3^2+2\cdot 0,25\cdot 0,4=0,09+0,2=0,29$. Khẳng định đúng.
b) Đạt 19 điểm khi một lần trúng vòng 10 và một lần trúng vòng 9: $P=2\cdot 0,25\cdot 0,3=0,15\ne 0,075$. Khẳng định sai.
c) Số điểm lớn hơn 17 gồm 18, 19, 20 điểm: $P=0,29+0,15+0,25^2=0,29+0,15+0,0625=0,5025$. Khẳng định đúng.
d) Hai lần bắn độc lập nên $P=0,3\cdot 0,3=0,09\ne 0,6$. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất bắn trúng vòng 10, 9, 8 lần lượt là P(10)=0,25; P(9)=0,3; P(8)=0,4 (còn lại 0,05). Hai lần bắn độc lập.
a) Số điểm lớn hơn 17 nghĩa là tổng ≥ 18: các trường hợp (10,10): 0,25²=0,0625; (10,9) và (9,10): 2·0,25·0,3=0,15; (10,8) và (8,10): 2·0,25·0,4=0,2; (9,9): 0,3²=0,09. Tổng = 0,0625+0,15+0,2+0,09 = 0,5025. Đúng.
b) Đạt 19 điểm: (10,9) hoặc (9,10): 2·0,25·0,3 = 0,15 ≠ 0,075. Sai.
c) Đạt 18 điểm: (10,8), (8,10), (9,9): 2·0,25·0,4 + 0,09 = 0,2+0,09 = 0,29. Đúng.
d) Cả hai lần trúng vòng 9: 0,3·0,3 = 0,09 ≠ 0,6. Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng điểm > 17 gồm (10,10), (10,9), (9,10), (10,8), (8,10), (9,9): 0,0625+0,15+0,2+0,09=0,5025.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạt 19 điểm: (10,9) hoặc (9,10), xác suất 2·0,25·0,3=0,15 ≠ 0,075.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạt 18 điểm: (10,8), (8,10), (9,9): 0,2+0,09=0,29.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai lần trúng vòng 9: 0,3²=0,09 ≠ 0,6.

a) Đúng. Xác suất để Phương trả lời sai câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên là $1-0,7=0,3$.
b) Đúng. Xác suất để Phương trả lời đúng cả ba câu hỏi là $0,7\cdot 0,4\cdot 0,3=0,084$.
c) Sai. Xác suất để Phương trả lời đúng ít nhất một trong ba câu hỏi là $1-0,3\cdot 0,6\cdot 0,7=0,874$.
d) Đúng (theo lời giải chính thức trang 8). Trường hợp 1: Phương trả lời đúng câu Tự nhiên, số điểm là 230 điểm, Phương thành quán quân cho dù trả lời sai hai câu kia; xác suất 0,7. Trường hợp 2: Phương trả lời sai câu tự nhiên, số điểm là 170 điểm, muốn trở thành quán quân thì phải trả lời đúng hai câu còn lại; xác suất $0,3\cdot 0,4\cdot 0,3=0,036$. Do đó xác suất để Phương trở thành quán quân là $0,7+0,036=0,736$.
a) Đúng. Xác suất để Phương trả lời sai câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên là $1-0,7=0,3$.
b) Đúng. Xác suất để Phương trả lời đúng cả ba câu hỏi là $0,7\cdot 0,4\cdot 0,3=0,084$.
c) Sai. Xác suất để Phương trả lời đúng ít nhất một trong ba câu hỏi là $1-0,3\cdot 0,6\cdot 0,7=0,874$.
d) Đúng (theo lời giải chính thức trang 8). Nếu Phương chọn "Ngôi sao hy vọng" ở câu hỏi thuộc lĩnh vực Tự nhiên: Trường hợp 1: Phương trả lời đúng câu Tự nhiên. Khi đó số điểm sẽ là 230 điểm, vì vậy Phương sẽ thành quán quân cho dù trả lời sai hai câu kia. Xác suất của trường hợp này là 0,7. Trường hợp 2: Phương trả lời sai câu tự nhiên. Khi đó số điểm sẽ là 170 điểm, vì vậy muốn trở thành quán quân thì Phương phải trả lời đúng hai câu còn lại. Xác suất của trường hợp này là $0,3\cdot 0,4\cdot 0,3=0,036$. Do đó xác suất để Phương trở thành quán quân của cuộc thi này là $0,7+0,036=0,736$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất làm bàn của ba cầu thủ lần lượt là $x$, $y$, $0,6$ (các lần đá độc lập, $x>y$).

Xác suất cả ba đều ghi bàn: $0,6xy=0,336\Rightarrow xy=0,56$.

Xác suất ít nhất một người ghi bàn: $1-(1-x)(1-y)(1-0,6)=0,976\Rightarrow (1-x)(1-y)\cdot 0,4=0,024\Rightarrow (1-x)(1-y)=0,06$.

Suy ra $1-(x+y)+xy=0,06\Rightarrow x+y=1+0,56-0,06=1,5$.

Vậy $x,y$ là nghiệm của $t^2-1,5t+0,56=0$, có $\Delta =2,25-2,24=0,01$, nên $t=\frac{1,5\pm 0,1}{2}$, tức $t=0,8$ hoặc $t=0,7$. Vì $x>y$ nên $x=0,8$, $y=0,7$.

Xác suất có ít nhất hai cầu thủ ghi bàn = xác suất đúng hai người ghi bàn + xác suất cả ba ghi bàn:
- Đúng hai người ghi bàn: $xy(0,4)+x(1-y)(0,6)+y(1-x)(0,6)=0,8\cdot 0,7\cdot 0,4+0,8\cdot 0,3\cdot 0,6+0,7\cdot 0,2\cdot 0,6=0,224+0,144+0,084=0,452$.
- Cả ba ghi bàn: $0,336$.

Vậy $P(C)=0,452+0,336=0,788$. Kết quả trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 12 nam và 13 nữ, tổng 25 bạn. a) Xác suất chọn được nam là $\frac{12}{25}=0,48$ → đúng. b) Xác suất chọn được nữ là $\frac{13}{25}=0,52\ne 0,5$ → sai. c) Xác suất nam và chơi Đảo hải tặc: $0,48\times (1-0,6)=0,48\times 0,4=0,192\ne 0,195$ → sai. d) Xác suất nữ và chơi Sóng thần: $0,52\times 0,3=0,156$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{nam})=\frac{12}{25}=0,48$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{nữ})=\frac{13}{25}=0,52\ne 0,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{nam vaˋ Đảo hải tặc})=0,48\times 0,4=0,192\ne 0,195$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{nữ vaˋ Soˊng thaˆˋn})=0,52\times 0,3=0,156$.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất trúng tỉ lệ nghịch với khoảng cách: $p=\frac{k}{d}$. Với $d=20$, $p_1=0,5$ nên $k=10$. Suy ra $p_2=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$, $p_3=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$. Xác suất bắn trúng sau nhiều nhất ba lần: $$P=p_1+(1-p_1)p_2+(1-p_1)(1-p_2)p_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{2}{45}=\frac{59}{90}\approx 0,6556.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là biến cố người được chọn nghiện thuốc lá, $V$ là biến cố bị viêm họng. Ta có $P(N)=0,3$, $P(\bar{N})=0,7$, $P(V|N)=a\%$, $P(V|\bar{N})=40\%=0,4$.

Theo công thức nhân xác suất: $P(N\cap V)=P(N)\cdot P(V|N)=0,3\cdot \frac{a}{100}=0,21$, suy ra $\frac{a}{100}=0,7$, tức $a=70$.

Xác suất người đó không nghiện thuốc và bị viêm họng: $P(\bar{N}\cap V)=P(\bar{N})\cdot P(V|\bar{N})=0,7\cdot 0,4=0,28$, nên $b=28$.

Vậy $a+b=70+28=98$.

(AI giải đề cho tôi)
$P(E)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Nếu bán con gà trống, chuồng $II$ còn $3$ mái $+6$ trống $+7$ trống $=10$ con nên $P(F|E)=\frac{3}{10}$. Nếu bán con gà mái, chuồng $II$ có $4$ mái $+6$ trống $=10$ con nên $P(F|\bar{E})=\frac{4}{10}$. Do đó $P(F)=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{10}+\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{10}=\frac{3}{40}+\frac{12}{40}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$. Vì $P(F|E)=\frac{3}{10}\ne P(F)=\frac{3}{8}$ (tương đương $P(E)P(F)=\frac{3}{32}\ne P(E\cap F)=\frac{3}{40}$), hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập với nhau. Đáp án $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các biến cố A1, A2, A3 lần lượt là người thứ nhất, thứ hai, thứ ba câu được cá với P(A1)=0,5; P(A2)=0,4; P(A3)=0,3, độc lập nhau.
a) Xác suất đúng 1 người câu được cá: P = 0,5·0,6·0,7 + 0,5·0,4·0,7 + 0,5·0,6·0,3 = 0,21 + 0,14 + 0,09 = 0,44 ≠ 0,34 → sai.
b) Xác suất đúng 2 người câu được cá: P = 0,5·0,4·0,7 + 0,5·0,6·0,3 + 0,5·0,4·0,3 = 0,14 + 0,09 + 0,06 = 0,29 → đúng.
c) Xác suất người thứ 3 câu được cá chính là P(A3) = 0,3 → đúng.
d) Xác suất có ít nhất 1 người câu được cá: P = 1 − P(không ai câu được) = 1 − 0,5·0,6·0,7 = 1 − 0,21 = 0,79 ≠ 0,21 → sai (0,21 là xác suất không ai câu được cá).
a) (AI giải đề cho tôi)
P(đúng 1 người) = 0,5·0,6·0,7 + 0,5·0,4·0,7 + 0,5·0,6·0,3 = 0,44 ≠ 0,34.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(đúng 2 người) = 0,5·0,4·0,7 + 0,5·0,6·0,3 + 0,5·0,4·0,3 = 0,29.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất người thứ 3 câu được cá là P(A3) = 0,3.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(ít nhất 1 người) = 1 − 0,5·0,6·0,7 = 0,79 ≠ 0,21 (0,21 là xác suất không ai câu được cá).

Gọi $A_1,A_2,A_2,A_4$ lần lượt là các biến cố người cho máu có nhóm máu $A,B,O,AB$.

$B_1,B_2,B_2,B_4$ lần lượt là các biến cố người nhận máu có nhóm máu $A,B,O,AB$.

Ta có:
$P(A_1)=P(B_1)=0,2;P(A_2)=P(B_2)=0,3;P(A_3)=P(B_3)=0,45;P(A_4)=P(B_4)=0,05$.

Các biến cố $A_1,A_2,A_2,A_4$, $B_1,B_2,B_2,B_4$ độc lập.

Biến cố: Việc truyền máu thực hiện được là:
$$A=\left(A_1\cap B_4\right)\cup \left(A_2\cap B_4\right)\cup \left(A_3\cap B_4\right)\cup \left(A_4\cap B_4\right)\cup \left(A_1\cap B_1\right)\cup \left(A_2\cap B_2\right)\cup \left(A_3\cap B_3\right)\cup \left(A_3\cap B_1\right)\cup \left(A_3\cap B_2\right)$$

Các biến cố $\left(A_1\cap B_4\right),\left(A_2\cap B_4\right),\left(A_3\cap B_4\right),\left(A_4\cap B_4\right),\left(A_1\cap B_1\right),\left(A_2\cap B_2\right),\left(A_3\cap B_3\right),\left(A_3\cap B_1\right),\left(A_3\cap B_2\right)$ xung khắc.

Do đó $P(A)=$
$$P(A)=P\left(A_1\cap B_4\right)+P\left(A_2\cap B_4\right)+P\left(A_3\cap B_4\right)+P\left(A_4\cap B_4\right)+P\left(A_1\cap B_1\right)$$
$$+P\left(A_2\cap B_2\right)+P\left(A_3\cap B_3\right)+P\left(A_3\cap B_1\right)+P\left(A_3\cap B_2\right)$$
$$=P\left(A_1\right).P\left(B_4\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_4\right)+P\left(A_3\right).P\left(B_4\right)+P\left(A_4\right).P\left(B_4\right)+P\left(A_1\right).P\left(B_1\right)$$
$$+P\left(A_2\right)P\left(B_2\right)+P\left(A_3\right)P\left(B_3\right)+P\left(A_3\right)P\left(B_1\right)+P\left(A_3\right)P\left(B_2\right)$$
$$=\left(P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)+P\left(A_4\right)\right)P\left(B_4\right)+\left(P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)+P\left(B_3\right)\right)P\left(A_3\right)$$
$$+P\left(A_1\right).P\left(B_1\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_2\right)$$
$$=0,05+(0,2+0,3+0,45).0,45+0,3^2+0,2^2=0,6075.$$

(Thang điểm: 0.5 | 0.1 | 0.4)

Lưu ý: nguồn gốc in 'A_1, A_2, A_2, A_4' và 'B_1, B_2, B_2, B_4' (lặp chỉ số 2 thay vì 3); giữ nguyên theo ảnh gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi kết quả một lần bắn là số điểm k. Ta chỉ cần các xác suất p10=0,3; p9=0,2; p8=0,25 (các vòng còn lại cho tối đa 7 điểm nên không thể góp phần đạt ≥28 điểm, do đó dữ kiện 0,8 không ảnh hưởng kết quả). Ba lần bắn độc lập, tổng điểm ≥ 28 chỉ xảy ra với các tổ hợp: (10,10,10), (10,10,9), (10,10,8), (10,9,9).
- P(10,10,10) = 0,3^3 = 0,027.
- Hai lần 10, một lần 9: 3·(0,3)^2·0,2 = 0,054.
- Hai lần 10, một lần 8: 3·(0,3)^2·0,25 = 0,0675.
- Một lần 10, hai lần 9: 3·0,3·(0,2)^2 = 0,036.
Tổng: P = 0,027 + 0,054 + 0,0675 + 0,036 = 0,1845 ≈ 0,18.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất bắn trúng: vòng 10 là $p_{10}=0,25$; vòng 9 là $p_9=0,3$; vòng 8 là $p_8=0,35$; các vòng còn lại có tổng xác suất $1-0,25-0,3-0,35=0,1$ (mỗi lần bắn nhiều nhất 10 điểm, các vòng còn lại cho dưới 8 điểm nên không góp vào tổng $\ge 28$). Gọi $X_1,X_2,X_3$ là điểm ba lần bắn độc lập. Cần $X_1+X_2+X_3\ge 28$. Vì mỗi lần tối đa 10 điểm, các bộ điểm thoả mãn là: $\{10,10,10\}$: $0,25^3=0,015625$; $\{10,10,9\}$: $3\cdot 0,25^2\cdot 0,3=0,05625$; $\{10,10,8\}$: $3\cdot 0,25^2\cdot 0,35=0,065625$; $\{10,9,9\}$: $3\cdot 0,25\cdot 0,3^2=0,0675$. (Các bộ khác như $\{9,9,9\}=27$, $\{10,9,8\}=27$ không đủ.) Tổng: $P=0,015625+0,05625+0,065625+0,0675=0,205\approx 0,21$. Vậy xác suất xạ thủ đạt loại giỏi là $0,21$.

Lời giải (Đáp án CODE 102-104):

+ Ta có số cách chọn một viên bi trong hộp là: 8+6=14.
+ $P$ (Sơn lấy được bi màu xanh) $=\frac{8}{14}$
+ $P$(Sơn lấy được bi màu đỏ) $=\frac{6}{14}$
+ $P$ (Tùng lấy được bi màu xanh, Sơn lấy được bi màu xanh) $=\frac{7}{13}$
+ $P$ (Tùng lấy được bi màu xanh, Sơn lấy được bi màu đỏ) $=\frac{8}{13}$

(0,75 điểm)

Xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh là
$$P=\frac{8}{14}\cdot \frac{7}{13}+\frac{6}{14}\cdot \frac{8}{13}=\frac{28}{91}$$

(0,25 điểm)

+ TH1: Trận đấu có 3 séc
Khi đó, Bắc thắng cả 3 séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là $(0,4{)}^3$.
+ TH2: Trận đấu có 4 séc
Khi đó, Bắc thua đúng 1 trong 3 séc đầu và thắng séc thứ 4.
Số cách chọn 1 séc để Bắc thua là $C_3^1$, suy ra xác suất là $C_3^1.0,6.(0,4{)}^3$. (0,25 điểm)

+ TH3: Trận đấu có 5 séc
Khi đó, Bắc thua đúng 2 trong 4 séc đầu và thắng ở séc thứ 5
Số cách chọn 2 trong 4 séc đầu để Bắc thua là $C_4^2$, suy ra xác suất là $C_4^2.(0,6{)}^2.(0,4{)}^3$.
Vậy xác suất để Bắc thắng chung cuộc là:
$P=(0,4{)}^3+C_3^1.0,6.(0,4{)}^3+C_4^2.(0,6{)}^2.(0,4{)}^3\approx 0,32$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hai lần bắn độc lập, $P(A)=P(B)=0,2$ nên $P(AB)=P(A)P(B)=0,04$.
a) Sai: $P(AB)=0,04$ còn $P(A)+P(B)=0,4$; với hai biến cố độc lập, $P(AB)=P(A)P(B)$, không phải $P(A)+P(B)$.
b) Sai: $P\left(\overline{AB}\right)=1-P(AB)=1-0,04=0,96$, không phải $0,16$.
c) Sai: Xác suất có ít nhất một lần trúng vòng 10 là $P(A\cup B)=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-0,8\cdot 0,8=0,36$, không phải $0,4$.
d) Sai: Đạt ít nhất 19 điểm xảy ra khi tổng điểm của hai lần bắn ít nhất 19, tức (10,10), (10,9), (9,10). Xác suất: $P(10,10)=0,2\cdot 0,2=0,04$; $P(10,9)=0,2\cdot 0,25=0,05$; $P(9,10)=0,25\cdot 0,2=0,05$. Tổng bằng $0,14$, không phải $0,09$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì A, B độc lập nên $P(AB)=P(A)P(B)=0,2\cdot 0,2=0,04$, khác $P(A)+P(B)=0,4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P\left(\overline{AB}\right)=1-P(AB)=1-0,04=0,96$, khác $0,16$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất có ít nhất một lần trúng vòng 10 là $1-0,8\cdot 0,8=0,36$, khác $0,4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các trường hợp đạt ít nhất 19 điểm: (10,10): $0,2\cdot 0,2=0,04$; (10,9): $0,2\cdot 0,25=0,05$; (9,10): $0,25\cdot 0,2=0,05$. Tổng bằng $0,14$, khác $0,09$.

Trả lời: $-11$. Gọi $A$ là biến cố “lấy được tấm thẻ ghi số lẻ ở túi I”. Gọi $B$ là biến cố “lấy được tấm thẻ ghi số lẻ ở túi II”. Tính $P(A)$: Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;2;3;...;10\}$. Do đó $n(\Omega )=10$. Biến cố $A$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;3;5;7;9\}$. Do đó $n(A)=5$. Suy ra $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Tính $P(B)$: Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;2;3;...;15\}$. Do đó $n(\Omega )=15$. Biến cố $B$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;3;5;7;9;11;13;15\}$. Do đó $n(B)=8$. Suy ra $P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{8}{15}$. Việc rút thẻ ở túi I và túi II là hai phép thử tách biệt và việc rút thẻ ở túi này không ảnh hưởng kết quả ở túi kia nên hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập. Theo công thức nhân xác suất ta có xác suất để hai tấm thẻ lấy ra có tích là một số lẻ là: $$P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}.\frac{8}{15}=\frac{4}{15}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=4\\ b=15\end{array}\Rightarrow a-b=4-15=-11.$$

Gọi $A_i$ là biến cố: “người thứ $i$ thành công” với $i=1,2,3$. Ta có các $A_i$ độc lập với nhau và $P(A_1)=x;P(A_2)=y;P(A_3)=0,6$. Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một cầu thủ thành công”. Gọi B là biến cố: “Cả ba cầu thủ thành công”. Gọi C là biến cố: “Có đúng hai cầu thủ thành công”. Theo giả thiết, ta có $P(B)=P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)=0,6xy=0,336\Rightarrow xy=\frac{14}{25}.(1)$ Ta sẽ tìm $P(A)$ thông qua $P\left(\overline{A}\right)$. Vì các $A_i$ độc lập với nhau nên $\overline{A}=\overline{A_1{A}_2{A}_3}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=P\left(\overline{A_1}\right)P\left(\overline{A_2}\right)P\left(\overline{A_3}\right)=0,4(1-x)(1-y)$. $$\Rightarrow P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-0,4(1-x)(1-y)=0,976.\Rightarrow xy-x-y=-\frac{47}{50}.(2)$$ Từ (1), (2) ta có hệ sau: $$\{\begin{array}{l}xy-x-y=\frac{-47}{50}\\ xy=\frac{14}{25}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0,8\\ y=0,7\end{array}(x>y).$$ Khi đó, $P(C)=(1-x).y.0,6+x(1-y).0,6+x.y.0,4=0,452$.

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ, B là biến cố An làm đúng câu trung bình, C là biến cố An làm đúng câu khó. Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.
a) a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất thành công của $X,Y,Z$ lần lượt là $p_1,p_2,0,5$ (độc lập).

- Cả 3 cùng thành công: $p_1{p}_2\cdot 0,5=0,08\Rightarrow p_1{p}_2=0,16$.
- Ít nhất một thành công: $1-(1-p_1)(1-p_2)(1-0,5)=0,88\Rightarrow (1-p_1)(1-p_2)=0,24$.
Suy ra $1-(p_1+p_2)+0,16=0,24\Rightarrow p_1+p_2=0,92$.

Xác suất đúng 2 kháng thể thành công:
$$P(\text{đuˊng 2})=p_1{p}_2(0,5)+p_1(0,5)(1-p_2)+p_2(0,5)(1-p_1)=0,5(p_1+p_2)-0,5\cdot p_1{p}_2=0,46-0,08=0,38.$$

Xác suất ít nhất 2 kháng thể thành công:
$$P(\ge 2)=0,38+0,08=0,46.$$

Kiểm tra: $p_1,p_2$ là nghiệm của $t^2-0,92t+0,16=0$, cho $p_1\approx 0,2329<p_2\approx 0,6871$, thỏa $p_1<p_2$. Kết quả khớp đáp án nguồn 0,46 (bảng đáp án, mã đề 102, Phần III câu 4).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất giải đúng bài 1, 2, 3 lần lượt là $a,b,0,5$ với các bài độc lập.

• Giải đúng cả 3 bài: $0,5ab=0,15\Rightarrow ab=0,3$.

• Giải đúng ít nhất một bài: $1-(1-a)(1-b)(1-0,5)=0,9\Rightarrow (1-a)(1-b)=0,2$.
Suy ra $1-(a+b)+ab=0,2\Rightarrow a+b=1+0,3-0,2=1,1$.

Vậy $a,b$ là nghiệm của $t^2-1,1t+0,3=0$, có $\Delta =1,21-1,2=0,01$, nên $t=\frac{1,1\pm 0,1}{2}$, tức $t\in \{0,6;0,5\}$. Vì $a>b$ nên $a=0,6$, $b=0,5$.

Xác suất giải đúng ít nhất 2 bài = xác suất giải đúng đúng 2 bài + giải đúng cả 3 bài:
$$P=ab(1-0,5)+a\cdot 0,5(1-b)+b\cdot 0,5(1-a)+ab\cdot 0,5$$
$$=0,3\cdot 0,5+0,6\cdot 0,5\cdot 0,5+0,5\cdot 0,5\cdot 0,4+0,15=0,15+0,15+0,1+0,15=0,55.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $0,55$.