Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'quả cầu lấy từ hộ I màu đỏ', $B$ là biến cố 'quả cầu lấy từ hộ II màu đỏ'. Hộ I có 5 đỏ, 3 xanh (tổng 8); hộ II có 4 đỏ, 6 xanh (tổng 10). Hai lần lấy độc lập nên $P(A)=\frac{5}{8}$, $P(B)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.
a) Xác suất hai quả đều màu đỏ: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{5}{8}\cdot \frac{2}{5}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$.
b) Hai quả khác màu gồm hai trường hợp: quả từ hộ I đỏ và quả từ hộ II xanh: $P(A\cap \bar{B})=\frac{5}{8}\cdot \frac{6}{10}=\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$; quả từ hộ I xanh và quả từ hộ II đỏ: $P(\bar{A}\cap B)=\frac{3}{8}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}$. Vậy $P=\frac{3}{8}+\frac{3}{20}=\frac{15}{40}+\frac{6}{40}=\frac{21}{40}$. Kiểm tra: $P(\text{cuˋng maˋu})=P(\text{đeˆˋu đỏ})+P(\text{đeˆˋu xanh})=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\cdot \frac{6}{10}=\frac{1}{4}+\frac{9}{40}=\frac{19}{40}$; $\frac{19}{40}+\frac{21}{40}=1$, đúng.

Gọi $A_1,A_2,A_2,A_4$ lần lượt là các biến cố người cho máu có nhóm máu $A,B,O,AB$.

$B_1,B_2,B_2,B_4$ lần lượt là các biến cố người nhận máu có nhóm máu $A,B,O,AB$.

Ta có:
$P(A_1)=P(B_1)=0,2;P(A_2)=P(B_2)=0,3;P(A_3)=P(B_3)=0,45;P(A_4)=P(B_4)=0,05$.

Các biến cố $A_1,A_2,A_2,A_4$, $B_1,B_2,B_2,B_4$ độc lập.

Biến cố: Việc truyền máu thực hiện được là:
$$A=\left(A_1\cap B_4\right)\cup \left(A_2\cap B_4\right)\cup \left(A_3\cap B_4\right)\cup \left(A_4\cap B_4\right)\cup \left(A_1\cap B_1\right)\cup \left(A_2\cap B_2\right)\cup \left(A_3\cap B_3\right)\cup \left(A_3\cap B_1\right)\cup \left(A_3\cap B_2\right)$$

Các biến cố $\left(A_1\cap B_4\right),\left(A_2\cap B_4\right),\left(A_3\cap B_4\right),\left(A_4\cap B_4\right),\left(A_1\cap B_1\right),\left(A_2\cap B_2\right),\left(A_3\cap B_3\right),\left(A_3\cap B_1\right),\left(A_3\cap B_2\right)$ xung khắc.

Do đó $P(A)=$
$$P(A)=P\left(A_1\cap B_4\right)+P\left(A_2\cap B_4\right)+P\left(A_3\cap B_4\right)+P\left(A_4\cap B_4\right)+P\left(A_1\cap B_1\right)$$
$$+P\left(A_2\cap B_2\right)+P\left(A_3\cap B_3\right)+P\left(A_3\cap B_1\right)+P\left(A_3\cap B_2\right)$$
$$=P\left(A_1\right).P\left(B_4\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_4\right)+P\left(A_3\right).P\left(B_4\right)+P\left(A_4\right).P\left(B_4\right)+P\left(A_1\right).P\left(B_1\right)$$
$$+P\left(A_2\right)P\left(B_2\right)+P\left(A_3\right)P\left(B_3\right)+P\left(A_3\right)P\left(B_1\right)+P\left(A_3\right)P\left(B_2\right)$$
$$=\left(P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)+P\left(A_4\right)\right)P\left(B_4\right)+\left(P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)+P\left(B_3\right)\right)P\left(A_3\right)$$
$$+P\left(A_1\right).P\left(B_1\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_2\right)$$
$$=0,05+(0,2+0,3+0,45).0,45+0,3^2+0,2^2=0,6075.$$

(Thang điểm: 0.5 | 0.1 | 0.4)

Lưu ý: nguồn gốc in 'A_1, A_2, A_2, A_4' và 'B_1, B_2, B_2, B_4' (lặp chỉ số 2 thay vì 3); giữ nguyên theo ảnh gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,4\cdot 0,5=0,2$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 8, Mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'THPT Nguyễn Huệ lọt vào chung kết' với P(A)=0,7; B là biến cố 'THPT Vũng Tàu lọt vào chung kết' với P(B)=0,6. Hai đội ở hai bảng khác nhau nên A, B độc lập. Xác suất cả hai đội đều không lọt vào chung kết là P(A̅)·P(B̅)=(1−0,7)(1−0,6)=0,3·0,4=0,12. Vậy xác suất có ít nhất một đội lọt vào chung kết là 1−0,12=0,88. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi kết quả một lần bắn là số điểm k. Ta chỉ cần các xác suất p10=0,3; p9=0,2; p8=0,25 (các vòng còn lại cho tối đa 7 điểm nên không thể góp phần đạt ≥28 điểm, do đó dữ kiện 0,8 không ảnh hưởng kết quả). Ba lần bắn độc lập, tổng điểm ≥ 28 chỉ xảy ra với các tổ hợp: (10,10,10), (10,10,9), (10,10,8), (10,9,9).
- P(10,10,10) = 0,3^3 = 0,027.
- Hai lần 10, một lần 9: 3·(0,3)^2·0,2 = 0,054.
- Hai lần 10, một lần 8: 3·(0,3)^2·0,25 = 0,0675.
- Một lần 10, hai lần 9: 3·0,3·(0,2)^2 = 0,036.
Tổng: P = 0,027 + 0,054 + 0,0675 + 0,036 = 0,1845 ≈ 0,18.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Do đó đáp án đúng là A. Đáp án này trùng với đáp án trong bảng mã đề 102 (câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố "THPT Nguyễn Huệ lọt vào chung kết" với $P(A)=0,8$; $B$ là biến cố "THPT Vũng Tàu lọt vào chung kết" với $P(B)=0,7$. Hai đội ở hai bảng khác nhau nên $A$, $B$ độc lập. Xác suất cả hai đội đều không lọt vào chung kết là $P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=(1-0,8)(1-0,7)=0,2\cdot 0,3=0,06$. Vậy xác suất có ít nhất một đội lọt vào chung kết là $1-0,06=0,94$. Kết quả trùng với đáp án D trong mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất bắn trúng: vòng 10 là $p_{10}=0,25$; vòng 9 là $p_9=0,3$; vòng 8 là $p_8=0,35$; các vòng còn lại có tổng xác suất $1-0,25-0,3-0,35=0,1$ (mỗi lần bắn nhiều nhất 10 điểm, các vòng còn lại cho dưới 8 điểm nên không góp vào tổng $\ge 28$). Gọi $X_1,X_2,X_3$ là điểm ba lần bắn độc lập. Cần $X_1+X_2+X_3\ge 28$. Vì mỗi lần tối đa 10 điểm, các bộ điểm thoả mãn là: $\{10,10,10\}$: $0,25^3=0,015625$; $\{10,10,9\}$: $3\cdot 0,25^2\cdot 0,3=0,05625$; $\{10,10,8\}$: $3\cdot 0,25^2\cdot 0,35=0,065625$; $\{10,9,9\}$: $3\cdot 0,25\cdot 0,3^2=0,0675$. (Các bộ khác như $\{9,9,9\}=27$, $\{10,9,8\}=27$ không đủ.) Tổng: $P=0,015625+0,05625+0,065625+0,0675=0,205\approx 0,21$. Vậy xác suất xạ thủ đạt loại giỏi là $0,21$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hai biến cố độc lập: $p(AB)=p(A)\cdot p(B)$. Do đó khẳng định A đúng. Các phương án B, C, D sai vì $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(AB)$ và $p(A)=1-p(B)$ chỉ đúng khi $A$ và $B$ đối nhau. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'người thứ nhất bắn trúng', B là biến cố 'người thứ hai bắn trúng', với $P(A)=0,8$, $P(B)=0,7$. Hai người bắn độc lập nên $P(\overline{A})=0,2$, $P(\overline{B})=0,3$.
a) $P(A\overline{B})=0,8\cdot 0,3=0,24\ne 0,14$ → Sai.
b) $P(\overline{A}B)=0,2\cdot 0,7=0,14$ → Đúng.
c) $P(AB)=0,8\cdot 0,7=0,56$ → Đúng.
d) $P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\overline{B})=1-0,2\cdot 0,3=1-0,06=0,94$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\overline{B})=0,8\cdot 0,3=0,24\ne 0,14$, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}B)=0,2\cdot 0,7=0,14$, nên khẳng định Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì độc lập: $P(AB)=0,8\cdot 0,7=0,56$, nên khẳng định Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\cup B)=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-0,2\cdot 0,3=0,94$, nên khẳng định Đúng.

Gọi $A$ là biến cố "Tiến đi tiếp", ta có $P(A)=0,8$.
Gọi $B$ là biến cố "Tùng đi tiếp", ta có $P(B)=0,5$.
Suy ra xác suất Tùng bị loại là $P(\overline{B})=1-0,5=0,5$.
Vì kết quả thi đấu của hai bạn là độc lập, nên xác suất để Tiến đi tiếp và Tùng bị loại là:
$$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B})=0,8\cdot 0,5=0,4.$$
Vậy xác suất cần tìm là $\boxed{0,4}$.

Để dừng chơi sau 2 ván, ván 1 phải hòa và ván 2 có người thắng.

Xác suất để ván 1 hòa là: $1-(0,3+0,6)=0,1$.

Xác suất để ván 2 có người thắng là: $0,3+0,6=0,9$.

Xác suất cần tìm là: $0,1\times 0,9=0,09$.

Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lần bắn độc lập nên: a) $A_1,A_2$ độc lập — Đúng. b) $P(A_1{A}_2)=0,7\cdot 0,6=0,42$ — Đúng. c) $P(\overline{A_1}{A}_2)=0,3\cdot 0,6=0,18\ne 0,14$ — Sai. d) $P(\text{ıˊt nhaˆˊt 1 truˊng})=1-P(\overline{A_1}\overline{A_2})=1-0,3\cdot 0,4=0,88\ne 0,8$ — Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1120: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Kết quả các lần bắn độc lập với nhau nên $A_1,A_2$ là hai biến cố độc lập.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì độc lập: $P(A_1{A}_2)=P(A_1)P(A_2)=0,7\cdot 0,6=0,42$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A_1}{A}_2)=P(\overline{A_1})P(A_2)=0,3\cdot 0,6=0,18\ne 0,14$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{ıˊt nhaˆˊt một laˆˋn truˊng})=1-P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})=1-0,3\cdot 0,4=0,88\ne 0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hai lần bắn độc lập nên $P(A_1)=0,7$, $P(A_2)=0,6$, $P(\overline{A_1})=0,3$, $P(\overline{A_2})=0,4$.
a) Hai lần bắn độc lập với nhau nên $A_1,A_2$ độc lập → Đúng.
b) $P(A_1{A}_2)=P(A_1)P(A_2)=0,7\cdot 0,6=0,42$ → Đúng.
c) $P(\overline{A_1}{A}_2)=0,3\cdot 0,6=0,18\ne 0,14$ → Sai.
d) $P(A_1\cup A_2)=1-P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})=1-0,3\cdot 0,4=0,88\ne 0,8$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án mã đề 1110: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Kết quả các lần bắn độc lập với nhau nên $A_1,A_2$ là hai biến cố độc lập.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(A_1{A}_2)=P(A_1)\cdot P(A_2)=0,7\cdot 0,6=0,42$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A_1}{A}_2)=0,3\cdot 0,6=0,18\ne 0,14$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A_1\cup A_2)=1-0,3\cdot 0,4=0,88\ne 0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'động cơ I chạy tốt' với P(A)=0,6; B là biến cố 'động cơ II chạy tốt' với P(B)=0,7. Hai động cơ chạy độc lập nên P(A∩B)=0,6·0,7=0,42. Xác suất để ít nhất một động cơ chạy tốt: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,6+0,7−0,42=0,88. Cách khác: P=1−P(A̅)·P(B̅)=1−0,4·0,3=0,88. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,88.

Lời giải (Đáp án CODE 102-104):

+ Ta có số cách chọn một viên bi trong hộp là: 8+6=14.
+ $P$ (Sơn lấy được bi màu xanh) $=\frac{8}{14}$
+ $P$(Sơn lấy được bi màu đỏ) $=\frac{6}{14}$
+ $P$ (Tùng lấy được bi màu xanh, Sơn lấy được bi màu xanh) $=\frac{7}{13}$
+ $P$ (Tùng lấy được bi màu xanh, Sơn lấy được bi màu đỏ) $=\frac{8}{13}$

(0,75 điểm)

Xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh là
$$P=\frac{8}{14}\cdot \frac{7}{13}+\frac{6}{14}\cdot \frac{8}{13}=\frac{28}{91}$$

(0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hai người ném bóng độc lập nhau, xác suất trúng lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$. Biến cố $A$ là 'Cả hai cùng ném trúng', nên theo công thức nhân xác suất cho các biến cố độc lập: $P(A)=\frac{1}{5}\cdot \frac{2}{7}=\frac{2}{35}$. Kết quả trùng với đáp án B và với đáp án của đề (mã đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì A và B độc lập nên $P(A.B)=P(A)\cdot P(B)=0,4\times 0,3=0,12$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố động cơ I chạy tốt, B là biến cố động cơ II chạy tốt. Hai động cơ chạy độc lập nên P(A)=0,8, P(B)=0,7. Xác suất để ít nhất một động cơ chạy tốt là P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=0,8+0,7−0,56=0,94. Cách khác: xác suất cả hai động cơ cùng hỏng là (1−0,8)(1−0,7)=0,2·0,3=0,06, nên xác suất cần tìm là 1−0,06=0,94. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,94.

+ TH1: Trận đấu có 3 séc
Khi đó, Bắc thắng cả 3 séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là $(0,4{)}^3$.
+ TH2: Trận đấu có 4 séc
Khi đó, Bắc thua đúng 1 trong 3 séc đầu và thắng séc thứ 4.
Số cách chọn 1 séc để Bắc thua là $C_3^1$, suy ra xác suất là $C_3^1.0,6.(0,4{)}^3$. (0,25 điểm)

+ TH3: Trận đấu có 5 séc
Khi đó, Bắc thua đúng 2 trong 4 séc đầu và thắng ở séc thứ 5
Số cách chọn 2 trong 4 séc đầu để Bắc thua là $C_4^2$, suy ra xác suất là $C_4^2.(0,6{)}^2.(0,4{)}^3$.
Vậy xác suất để Bắc thắng chung cuộc là:
$P=(0,4{)}^3+C_3^1.0,6.(0,4{)}^3+C_4^2.(0,6{)}^2.(0,4{)}^3\approx 0,32$. (0,25 điểm)