Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn B.


Trên khoảng $(0;+\infty )$, xét phương trình $f^{\prime }(x)=0$:
$(x-1{)}^3(2^x-2){\log }_{2}x=0⟺x=1$.
Tại lân cận điểm $x=1$:
- Khi $0<x<1$:
$x-1<0\Rightarrow (x-1{)}^3<0$,
$2^x<2\Rightarrow 2^x-2<0$,
${\log }_{2}x<0$.
Tích của ba số âm là một số âm: $f^{\prime }(x)<0$.
- Khi $x>1$:
$x-1>0\Rightarrow (x-1{)}^3>0$,
$2^x>2\Rightarrow 2^x-2>0$,
${\log }_{2}x>0$.
Tích của ba số dương là một số dương: $f^{\prime }(x)>0$.
Do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=1$.
Vậy trên khoảng $(0;+\infty )$ hàm số có đúng một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại $x=1$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=0$ (từ dương sang âm) và tại $x=1$ (từ âm sang dương), không đổi dấu tại $x=2$. Do đó hàm số có đúng $1$ điểm cực tiểu (tại $x=1$). Chọn D.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(1)-3(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$. Do đạo hàm không đổi dấu và không triệt tiêu nên hàm số không có điểm cực trị nào. Chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)=4(x-3{)}^3$ đổi dấu khi qua $x=3$, nên hàm số có đúng $1$ điểm cực trị. Chọn B.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm bội lẻ là $x=2$ và $x=-\frac{3}{2}$ (nghiệm $x=-1$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=-1$). Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Hàm số đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu, tức là các nghiệm bội lẻ của $f^{\prime }(x)=0$. Ta thấy $x=0$ là nghiệm bội 2, $x=1$ là nghiệm bội 3 (bội lẻ), $x=2$ là nghiệm bội 4, $x=3$ là nghiệm bội 5 (bội lẻ). Do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 2 điểm $x=1$ và $x=3$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại tương ứng là $y_{CĐ}=1$. Vậy mệnh đề 'Giá trị cực đại của hàm số bằng 1' là đúng. Chọn A.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có ba nghiệm đơn hoặc bội lẻ: $x=\frac{1}{2}$ (nghiệm bội 1), $x=0$ (nghiệm bội 3), $x=-2$ (nghiệm bội 1). Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua cả ba điểm này. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=4x^3+12x^2-16x=4x(x-1)(x+4)=0\iff x\in \{-4;0;1\}$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x_1=-4$ và $x_2=1$ (vì $x_1<x_2$). Suy ra $T=x_1+6x_2=-4+6(1)=2$. Chọn C.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-10x+7=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{7}{3}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, khi đó $y(1)=0$. Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;0)$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. $y^{\prime \prime }=6x-6$, $y^{\prime \prime }(2)=6>0$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số. Với $x=2⟹y=2^3-3(2^2)-1=-5$. Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $N(2;-5)$. Chọn B.

$f^{\prime }(x)=0⟺x=0$ (nghiệm đơn), $x=-1$ (nghiệm bội chẵn), $x=2$ (nghiệm bội lẻ). Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=2$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.

$y^{\prime }=3x^2-2mx+3$. Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $⟺{\Delta }^{\prime }=m^2-9>0⟺m<-3$ hoặc $m>3$. Do đó tập hợp là $(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$. Chọn B.

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=12x^3-8x$.

$y^{\prime }=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=\frac{\sqrt{6}}{3}</td></tr><tr><td>x=-\frac{\sqrt{6}}{3}</td></tr></tbody></table>$.

Bảng biến thiên:

[IMAGE_1]

Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đơn $x=0$ và $x=1$ (không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-2$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị.

Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-1$ (từ + sang -) và qua $x=3$ (từ + sang -). Tại $x=0$ và $x=1$, đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn D.

$y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x+3}{(x-1{)}^2}>0$ hoặc theo biến đổi hàm số có cực đại tại $x=0$. Chọn B.

$f^{\prime }(x)=(x-1)(x+1)(x+2{)}^3$. Các nghiệm bội lẻ là $x=1,x=-1,x=-2$. Đạo hàm đổi dấu qua cả 3 nghiệm này, do đó hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Từ bảng biến thiên ta thấy:
- Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu là $y_{CT}=0$.
- Hàm số không xác định tại $x=-1$ nên không đạt cực trị tại điểm này, do đó A và C sai.
- Giá trị cực tiểu bằng 0 chứ không phải bằng 1, do đó D sai.
Vậy đáp án đúng là B.