Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Xét hàm số $f(x)=x^4-2m{x}^2+2m-1$. Số điểm cực trị của $y=|f(x)|$ bằng $a+b$ với $a$ là số điểm cực trị của $f(x)$ và $b$ là số nghiệm đơn của $f(x)=0$. Để hàm số có đúng 5 điểm cực trị thì $m>0$ và phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm đơn. Đếm số giá trị nguyên của $m\in [-20;20]$ ta được 21 giá trị. Chọn C.

Ta có $g^{\prime }(x)=(12x^2+2mx)F^{\prime }(4x^3+m{x}^2+1)=2x(6x+m)f(4x^3+m{x}^2+1)$. Khảo sát hàm số $f(t)=3^t+5^t+7^t-28t^2+16t-3$, ta tìm được số nghiệm của $f(t)=0$. Để $g(x)$ có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình hoành độ phải có thêm 3 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của $2x(6x+m)=0$. Khảo sát tham số $m$ ta tìm được 8 giá trị nguyên của $m$. Vậy chọn A.

Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=f(|u(x)|)$ phụ thuộc vào số nghiệm bội lẻ của các phương trình tương giao với các điểm cực trị của $f(x)$. Qua khảo sát hàm số bậc hai trị tuyệt đối, ta tìm được đúng 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Chọn C.

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị với giá trị cực trị tương ứng. Xét đạo hàm $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(2f(x)-m)$. Số điểm cực trị của $g(x)$ bằng số điểm cực trị của $f(x)$ cộng với số nghiệm đơn của $2f(x)-m=x_1$ và $2f(x)-m=x_2$. Tìm được có 6 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn. Chọn D.

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Hàm số $y=f(|u|)$ có số điểm cực trị phụ thuộc vào các nghiệm của $u=0,u=1,u=3$. Với $u=x^2+m-5$, để hàm số có ít nhất 7 điểm cực trị thì đồ thị phải cắt trục hoành tại nhiều điểm phân biệt, dẫn đến điều kiện $m-5<0$ và khảo sát các giá trị nguyên dương của $m$. Ta tìm được các giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn và tổng của chúng bằng 21. Vậy chọn C.

Hàm số chẵn $y=f(|x|)$ có $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị dương. Ta có $f^{\prime }(x)=4x^5+4x^4-20x^3-(m+8)x^2+(28-m)x+2m-8=(x-1)(x+2)\left[4x^3+(28-m)x\dots \right]=(x+2)\left(4x^4-4x^3-12x^2-(m-16)x+m-4\right)=(x+2)(x-1)\left(4x^3-12x-m+4\right)$. Để $f^{\prime }(x)=0$ có đúng $3$ nghiệm dương phân biệt (đều là nghiệm bội lẻ), vì đã có $x=1>0$, phương trình $4x^3-12x+4=m$ phải có $2$ nghiệm dương phân biệt khác $1$. Xét $h(x)=4x^3-12x+4$ trên $(0;+\infty )$, ta có $h^{\prime }(x)=12(x^2-1)=0\iff x=1(x>0)$, $h(0)=4,h(1)=-4$. Vậy $h(x)=m$ có $2$ nghiệm dương phân biệt khi $-4<m<4$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$, có $7$ giá trị nguyên. Chọn C.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x=0,x=3$ (nghiệm bội lẻ) và $x=5$ (nghiệm bội chẵn). Đạo hàm $g^{\prime }(x)=(2x-8)f^{\prime }(x^2-8x+m)$. Xét số điểm cực trị và vẽ đồ thị tương giao để hàm số có đúng 5 điểm cực đại, ta tìm được các giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn là 11 giá trị. Chọn A.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13-14, mã đề 124; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Khảo sát hàm số $u(x)=\ln x+\frac{1}{x}+1$ trên $(0;+\infty )$ và kết hợp với các điểm cực trị của hàm $f(u)$ từ đồ thị để xác định số điểm cực tiểu của hàm hợp $g(x)$. Đáp án là 4 điểm cực tiểu. Chọn A.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 11, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đặt $1-3x=t\Rightarrow x=\frac{1-t}{3}$. Khi đó $f^{\prime }(t)={\left(\frac{1-t}{3}\right)}^2+2\left(\frac{1-t}{3}\right)=\frac{1}{9}(t-1)(t-7)$. Đặt $u(x)=2x-4\sqrt{2x+1}$ trên $(0;24)$, ta có $u^{\prime }(x)=2-\frac{4}{\sqrt{2x+1}}=0\iff x=\frac{3}{2}$. Bảng biến thiên của $u(x)$ trên $(0;24)$ cho $u(0)=-4$, $u\left(\frac{3}{2}\right)=-5$, $u(24)=20$. Hàm số $g(x)$ có đúng 2 cực trị khi phương trình $u(x)+m=1$ và $u(x)+m=7$ tạo ra đúng 1 nghiệm đơn khác $\frac{3}{2}$ trên $(0;24)$. Điều này dẫn đến $6\le m\le 11$ hoặc $-19<m\le -13$, tổng cộng có $6+6=12$ giá trị nguyên. Chọn A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0412, trang 5), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án C.

Từ đồ thị, hàm số bậc ba $y=f(x)$ có $2$ điểm cực trị $x=1,x=3$ với $f(3)=0,f(0)=0\Rightarrow f(x)=ax(x-3{)}^2$ ($a>0$).
Hàm số $g(x)=f^2(x)+f(x)+m$ có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)[2f(x)+1]$. Vì $f(x)\ge 0$ tại điểm cực tiểu $x=3$ ($f(3)=0$) nên phương trình $f(x)=-\frac{1}{2}$ chỉ có $1$ nghiệm đơn, suy ra $g(x)$ có $3$ điểm cực trị.
Để $h(x)=|g(x)|$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $g(x)=0$ chỉ có nghiệm đơn trùng hoặc không làm tăng số điểm cực trị khi $m\ge 0$. Với $m\in (-10;10)$ nguyên, $m\in \{1;2;\dots ;9\}$ (hoặc $m\in \{0;1;\dots ;8\}$), có $9$ giá trị nguyên.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 1 (Phần III) có đáp số là $1191$.

Theo lời giải chi tiết trang 19–20: $f(x)=kx(x-2)(x-5,5)$ với $k<0$. Hai điểm cực trị là $x=\frac{15\pm \sqrt{93}}{6}$. Từ $y_{\text{CT}}=f\left(\frac{15-\sqrt{93}}{6}\right)=-0,45\text{ km}$ suy ra $y_{\text{CĐ}}=f\left(\frac{15+\sqrt{93}}{6}\right)\approx 1,19106\text{ km}\approx 1191\text{ m}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 13), Câu 6 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.