Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;-1)$. Vecto $(-2;-1;1)$ không cùng phương với $(2;-1;-1)$ (nhân $-1$ được $(-2;1;1)\ne (-2;-1;1)$) → SAI.
b) Đường thẳng qua $A(0;-1;0)$ song song $d_1$ có VTCP $(2;-1;-1)$: $x=2t,y=-1-t,z=-t$ → ĐÚNG.
c) $(P)$ qua $A$ vuông góc $d_2$ có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{u_2}=(4;4;1)$, qua $A(0;-1;0)$: $4x+4y+z+4=0$. Mặt phẳng $2x-y-z+1=0$ có VTPT $(2;-1;-1)$ không cùng phương với $(4;4;1)$ → SAI.
d) VTCP cần tìm $\vec{u}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(3;-6;12)\parallel (1;-2;4)$, nên đường thẳng là $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{4}$, khác với $\frac{z}{3}$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $(2;-1;-1)$; $(-2;-1;1)$ không cùng phương với nó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(0;-1;0)$ với VTCP $(2;-1;-1)$: $x=2t,y=-1-t,z=-t$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải là $4x+4y+z+4=0$ vì VTPT là $(4;4;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(3;-6;12)\parallel (1;-2;4)$, nên mẫu của $z$ phải là 4 chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: d đi qua điểm (1;2;-1) với vtcp u=(2;3;2), nên phương trình tham số là x=1+2t, y=2+3t, z=-1+2t.
b) Đúng: d' qua A(1;2;2) và song song với d nên nhận cùng vtcp (2;3;2): x=1+2t', y=2+3t', z=2+2t'.
c) Sai: với t=-1, điểm trên d là (1-2;2-3;-1-2)=(-1;-1;-3) khác M(-1;-1;3); hơn nữa thay M vào (P): 2(-1)+2(-1)-3+1=-6≠0 nên M không thuộc (P).
d) Sai: sin góc giữa d và (P) bằng |u·n|/(|u||n|) với u=(2;3;2), n=(2;2;-1): |4+6-2|/(√17·3)=8/(3√17)≈0,647, suy ra góc = arcsin(0,647)≈40,34°≈40°20' ≠ 40°17'. Kết quả Đ-Đ-S-S khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Phần II Câu 1: ĐĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
d đi qua (1;2;-1) có vtcp u=(2;3;2), nên x=1+2t, y=2+3t, z=-1+2t.
b) (AI giải đề cho tôi)
d' qua A(1;2;2) song song với d nên cùng vtcp (2;3;2): x=1+2t', y=2+3t', z=2+2t'.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=-1, điểm trên d là (-1;-1;-3)≠M(-1;-1;3); hơn nữa M không thỏa (P) vì 2(-1)+2(-1)-3+1=-6≠0.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin góc = |u·n|/(|u||n|)=8/(3√17)≈0,647, góc ≈ 40,34° ≈ 40°20' ≠ 40°17'.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng lớp mây đi qua $P(12;0;0)$, $Q(0;-12;0)$, $R(0;0;1,2)$ có phương trình dạng đoạn chắn: $\frac{x}{12}+\frac{y}{-12}+\frac{z}{1,2}=1$, tức $x-y+10z-12=0$.

Máy bay bay theo đường thẳng $AO$ từ $A(6;-8;1)$ tới $O(0;0;0)$, phương trình tham số: $x=6t,y=-8t,z=t$.

Tìm giao điểm $M$ của đường bay với lớp mây: $6t-(-8t)+10t-12=0\Rightarrow 24t=12\Rightarrow t=0,5$. Vậy $M(3;-4;0,5)$.

Khoảng cách từ máy bay (tại $M$) đến vị trí hạ cánh $O$ trên đường băng:
$$MO=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+0,5^2}=\sqrt{25,25}\approx 5,02\text{ (km)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động trên đường thẳng qua $A(10;3;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;1)$: $x=10+2t$. Với $x_B=618$: $10+2t=618\Rightarrow t=304$. Độ dài quãng đường $AB=304\cdot |\vec{u}|=304\cdot 3=912$ m. Thời gian: $912:4,8=190$ giây. Kết quả khớp đáp án nguồn (190).

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động trên đường thẳng qua $A(10;3;0)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;1)$. Phương trình tham số: $x=10+2t$. Khi $x_B=618$: $10+2t=618\Rightarrow t=304$. Độ dài quãng đường tương ứng với tham số $t$ là $t\cdot |\vec{u}|=304\cdot \sqrt{4+4+1}=304\cdot 3=912$ m. Tốc độ 4,8 m/s nên thời gian $=912:4,8=190$ giây. Khớp với đáp án nguồn 190.

$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MA}=A-M=(2-1;-2-1;4-6)=(1;-3;-2)$ → đúng. b) $\overrightarrow{AB}=(-2;1;0)$ có thành phần $z=0$ nên $AB$ song song mặt sàn, góc bằng $0^{\circ }$ chứ không phải $30^{\circ }$ → sai. c) $\overrightarrow{MB}=(-1;-2;-2)$, đường thẳng qua $M(1;1;6)$: $x=1-t,y=1-2t,z=6-2t$ → đúng. d) Tia sáng $MA$: $z=6-2t=0\Rightarrow t=3\Rightarrow A^{\prime }=(4;-8;0)$, $O{A}^{\prime 2}=80$. Tia $MB$: $t=3\Rightarrow B^{\prime }=(-2;-5;0)$, $O{B}^{\prime 2}=29$. Bóng râm là đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$, điểm xa $O$ nhất là $A^{\prime }$ với $O{A}^{\prime }=\sqrt{80}=4\sqrt{5}>\sqrt{29}$, nên bán kính tối thiểu là $4\sqrt{5}$ m, không phải $\sqrt{29}$ m → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}=(2-1;-2-1;4-6)=(1;-3;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;1;0)$ có $z=0$ nên $AB$ song song $(Oxy)$, góc tạo với mặt sàn bằng $0^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MB}=(-1;-2;-2)$, đường thẳng qua $M$: $x=1-t,y=1-2t,z=6-2t$.
d) (AI giải đề cho tôi)
A'=(4;-8;0) với $O{A}^{\prime }=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$; B'=(-2;-5;0) với $O{B}^{\prime }=\sqrt{29}$. Bán kính tối thiểu là $4\sqrt{5}$ m, không phải $\sqrt{29}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MA}=A-M=(2-1;1-1;2-4)=(1;0;-2)$ → Đúng.
b) $A(2;1;2)$ và $B(-2;2;2)$ cùng có $z=2$ nên $AB\parallel (Oxy)$, góc giữa $AB$ và mặt sàn bằng $0^{\circ }$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{MB}=(-3;1;-2)$, không cùng phương với vectơ chỉ phương $(1;0;-2)$ của phương trình đề cho (phương trình đó đi qua $M$ theo hướng $\overrightarrow{MA}$). Phương trình đúng: $x=1-3t,y=1+t,z=4-2t$ → Sai.
d) Tia sáng $MA$: $M+s(1;0;-2)$, $z=4-2s=0\Rightarrow s=2\Rightarrow A^{\prime }=(3;1;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$. Tia sáng $MB$: $M+s(-3;1;-2)$, $s=2\Rightarrow B^{\prime }=(-5;3;0)$, $O{B}^{\prime }=\sqrt{34}$. Bình phương khoảng cách tới $O$ trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là hàm bậc hai theo tham số nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút, cụ thể $B^{\prime }$ với $\sqrt{34}$. Vậy bán kính tối thiểu là $\sqrt{34}$ m, không phải $\sqrt{10}$ m → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}=(2-1;1-1;2-4)=(1;0;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A,B$ cùng có $z=2$ nên $AB\parallel (Oxy)$, góc bằng $0^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MB}=(-3;1;-2)\ne (1;0;-2)$; phương trình đúng: $x=1-3t,y=1+t,z=4-2t$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }=(3;1;0)$, $B^{\prime }=(-5;3;0)$; điểm xa $O$ nhất trên bóng râm là $B^{\prime }$ với $O{B}^{\prime }=\sqrt{34}$, nên bán kính tối thiểu là $\sqrt{34}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
a) MA = A − M = (0−1; −2−0; 2−4) = (−1; −2; −2) → đúng. b) AB = (1; 1; 0) có thành phần z = 0 nên AB song song mặt sàn, góc bằng 0°, không phải 45° → sai. c) Vecto chỉ phương MB = (0; −1; −2), đường thẳng qua M(1;0;4): x = 1, y = −t, z = 4 − 2t → đúng. d) Tia sáng MA: (1−t; −2t; 4−2t), z=0 khi t=2 → A'(−1; −4; 0), OA' = √17. Tia MB: (1; −s; 4−2s), z=0 khi s=2 → B'(1; −2; 0), OB' = √5. Bóng râm A'B' là đoạn thẳng, điểm xa O nhất là A' với |OA'| = √17 > √5, nên bán kính √5 không đủ che phủ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
MA = A − M = (−1; −2; −2).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (1; 1; 0) song song với (Oxy) nên góc bằng 0°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M(1;0;4) với vecto chỉ phương (0; −1; −2): x = 1, y = −t, z = 4 − 2t.
d) (AI giải đề cho tôi)
A'(−1; −4; 0) với |OA'| = √17, B'(1; −2; 0) với |OB'| = √5; bán kính tối thiểu là √17 > √5.

Theo HD chấm (Đề 102 và 104):
$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là
$\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Du khách chuyển động thẳng trên đoạn $AB$. Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(18;25;-5)$. Điểm $M=A+t\overrightarrow{AB}$ với $z_M=15-5t=13\Rightarrow t=0,4$. Suy ra $a=3+0,4\cdot 18=10,2$, $b=2+0,4\cdot 25=12$, $c=13$. Vậy $T=a+b+c=10,2+12+13=35,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên có tung độ $y_M=0$. Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $AB$ nên $M=A+t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(7;3;1)$. Tọa độ $y$: $3+3t=0\Rightarrow t=-1$. Khi đó $M=(-9;0;0)$. Tỉ số $\frac{AM}{BM}=\frac{|t|}{|1-t|}=\frac{1}{2}$. Vậy $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}$ (tức $0,5$).

Gọi $A(t_1;1-t_1;-1)=\Delta \cap d_1$ và $B(-1+2t_2;1+t_2;-2+t_2)=\Delta \cap d_2$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(t_1-1;2-t_1;-3)$ và $\overrightarrow{MB}=(2t_2-2;t_2+2;t_2-4)$. Từ $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ giải được $t_1=0\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(-1;2;-3)=-(1;-2;3)$. Do đó ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;-2;3)\Rightarrow a=-2,b=3\Rightarrow a+b=1$. Chọn đáp án D.

Vì $M\in d$ nên $M(-1+2t;t;2+t)$.
Vì $A(1;-1;2)$ là trung điểm của $MN$ nên $N=2A-M=(3-2t;-2-t;2-t)$.
Điểm $N\in (P)\Rightarrow (3-2t)+(-2-t)-2(2-t)+5=0\iff 2-t=0\iff t=2$.
Khi đó $M(3;2;4),N(-1;-4;0)$.
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{MN}=(-4;-6;-4)=-2(2;3;2)$.

Gọi $(\beta )$ là mặt phẳng qua $M(4;-2;1)$ và song song với $(\alpha )$: $(\beta ):3(x-4)-4(y+2)+1(z-1)=0\iff 3x-4y+z-21=0$.
Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\beta )$.
Khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ lớn nhất khi $\Delta \perp HM$ với $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(\beta )$.
Khi đó VTCP của $\Delta$ là $\vec{u}=[{\vec{n}}_{\alpha },\overrightarrow{AM}]$ hoặc $[{\vec{n}}_{\alpha },[{\vec{n}}_{\alpha },\overrightarrow{AM}]]$.
Tính toán tìm được vectơ chỉ phương của $\Delta$ cùng phương với $(1;1;1)$, đi qua $M(4;-2;1)$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=-2+t\\ z=1+t\end{array}$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;1;0)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$.
Vì đường thẳng song song với cả $(P)$ và $(Oxy)$ nên VTCP $\vec{u}$ của đường thẳng vuông góc với cả ${\vec{n}}_P$ và $\vec{k}$:
$\vec{u}=[{\vec{n}}_P,\vec{k}]=(1\cdot 1-0\cdot 0;0\cdot 0-1\cdot 1;1\cdot 0-1\cdot 0)=(1;-1;0)$.
Đường thẳng đi qua $A(2;0;-1)$ có phương trình tham số là:
$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-t\\ z=-1\end{array}$. Chọn B.

Vì $N\in d$ nên tọa độ của $N$ có dạng $N(-2+2t;1+t;1-t)$.
Vì $A(1;3;2)$ là trung điểm của $MN$ nên tọa độ của điểm $M$ là:
$x_M=2x_A-x_N=2(1)-(-2+2t)=4-2t$,
$y_M=2y_A-y_N=2(3)-(1+t)=5-t$,
$z_M=2z_A-z_N=2(2)-(1-t)=3+t$.
Điểm $M\in (P)$ nên thay tọa độ của $M$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$2(4-2t)-(5-t)+(3+t)-10=0⟺8-4t-5+t+3+t-10=0$
$⟺-2t-4=0⟺t=-2$.
Với $t=-2$, ta có tọa độ của $N$ là $N(-6;-1;3)$ và tọa độ của $M$ là $M(8;7;1)$.
Vectơ $\overrightarrow{NM}=(14;8;-2)=-2(-7;-4;1)$.
Do đó một vectơ chỉ phương của $\Delta$ có dạng $\vec{u}=(a;b;1)$ là $\vec{u}=(-7;-4;1)$.
Suy ra $a=-7$ và $b=-4$.
Vậy $a+b=-7+(-4)=-11$. Chọn B.

Chọn B.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\iff 3x+2y+z-6=0$.
Thay tọa độ $D(1;1;1)$ vào: $3(1)+2(1)+1-6=0$, suy ra $D\in (ABC)$.
Gọi hình chiếu của $A,B,C$ lên đường thẳng $\Delta$ là $H,I,J$. Ta luôn có $AH\le AD,BI\le BD,CJ\le CD$.
Tổng khoảng cách lớn nhất khi và chỉ khi $\Delta \perp (ABC)$ tại $D$.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n}=(3;2;1)$. Do đó véc-tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(3;2;1)$.
Phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$.
Kiểm tra các điểm đã cho:
Với điểm $(4;3;7)$: $\frac{4-1}{3}=\frac{3-1}{2}=\frac{7-1}{6}$... (chú ý tỷ lệ với $\vec{n}=(3;2;6)$ khi quy đồng: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\iff 3x+2y+z-6=0$).
Phương trình tham số của $\Delta$: $x=1+3t,y=1+2t,z=1+6t$.
Với $t=1\Rightarrow x=4,y=3,z=7$. Điểm $(4;3;7)$ thuộc $\Delta$.

a) Đúng. b) Đúng. c) Vectơ $(2;-2;0)$ có tích vô hướng với ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;2;-3)$ bằng $-2\ne 0$ nên không vuông góc (Sai). d) $O{I}^2=(-2+t{)}^2+4t^2+(1-3t{)}^2=14t^2-10t+5=5\iff t=0$ hoặc $t=\frac{5}{7}$ nên có 2 điểm $I$ (Sai).

Gọi $B=\Delta \cap d⟹B(1+t;t;-1+2t)$ và $\overrightarrow{AB}=(t+4;t-2;2t-4)$. Vì $\Delta \perp d$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{u}}_d=(t+4)+(t-2)+2(2t-4)=6t-6=0⟺t=1$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(5;-1;-2)$, nên phương trình $\Delta$ là $\frac{x+3}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-2}$. Chọn D.