Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ A bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Vecto $\overrightarrow{BC}=(-5;-3)$ nên đường thẳng BC có vecto pháp tuyến $(3;-5)$, qua $B(3;2)$: $3(x-3)-5(y-2)=0\iff 3x-5y+1=0$. Độ dài đường cao kẻ từ A: $h_a=d(A,BC)=\frac{|3\cdot 1-5\cdot 0+1|}{\sqrt{3^2+(-5{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:-x+3y+5=0$ và $d_2:2x-6y+15=0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(-1;3)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-2\overrightarrow{n_1}$, nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương, do đó $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau. Xét thêm hệ số tự do: $\frac{2}{-1}=\frac{-6}{3}=-2$ nhưng $\frac{15}{5}=3\ne -2$, nên hai đường thẳng không trùng nhau. Vậy $d_1$ và $d_2$ song song với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y+8=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$ (tỉ lệ với $(2;-1)$). Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(3;m)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$, tức $1\cdot 3+2\cdot m=0\Rightarrow m=-\frac{3}{2}$. Vậy $m=-1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y+4=0$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$. Đường thẳng cần tìm vuông góc với $d$ nên nhận $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}=(1;2)$ làm VTCP, tức có VTCP $\vec{u}=(2;-1)$ (vì $1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$), tương ứng hệ số góc $k=-\frac{1}{2}$ (vì $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$). Đường thẳng đi qua $I(-1;2)$: $y-2=-\frac{1}{2}(x+1)\iff 2y-4=-x-1\iff x+2y-3=0$. Kiểm tra: thay $I(-1;2)$: $-1+4-3=0$ (đúng); tích vô hướng VTCP với $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$: $2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ (đúng). Vậy phương trình tổng quát cần tìm là $x+2y-3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm song song với $d_1:5x-7y+4=0$ và $d_2:5x-7y+6=0$ nên có dạng $d:5x-7y+c=0$ (với $c\ne 4,6$). Khoảng cách từ $d$ đến $d_1$ là $\frac{|c-4|}{\sqrt{5^2+(-7{)}^2}}=\frac{|c-4|}{\sqrt{74}}$; khoảng cách từ $d$ đến $d_2$ là $\frac{|c-6|}{\sqrt{74}}$. Cách đều yêu cầu $|c-4|=|c-6|$, suy ra $c-4=-(c-6)$, tức $2c=10$, $c=5$. Vậy đường thẳng cần tìm là $5x-7y+5=0$. Kiểm tra: khoảng cách từ $d$ đến $d_1$ là $\frac{|5-4|}{\sqrt{74}}=\frac{1}{\sqrt{74}}$ và đến $d_2$ là $\frac{|5-6|}{\sqrt{74}}=\frac{1}{\sqrt{74}}$, hai khoảng cách bằng nhau, thỏa mãn yêu cầu bài toán. (Ghi chú: khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ là $\frac{2}{\sqrt{74}}$, nên đường cách đều nằm chính giữa với khoảng cách $\frac{1}{\sqrt{74}}$ đến mỗi đường.)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:(2m-1)x+2y-5=0$ (có $a_1=2m-1$, $b_1=2$) và $d_2:x+my+1=0$ (có $a_2=1$, $b_2=m$) vuông góc khi và chỉ khi $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$, tức là $(2m-1)\cdot 1+2\cdot m=0\iff 4m-1=0\iff m=\frac{1}{4}$. Kiểm tra: với $m=\frac{1}{4}$, $d_1:-\frac{1}{2}x+2y-5=0$ có hệ số góc $\frac{1}{4}$; $d_2:x+\frac{1}{4}y+1=0$ có hệ số góc $-4$; tích hai hệ số góc bằng $-1$, thỏa mãn vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng ${\Delta }_1:3x+y-2=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;1)$, nên khẳng định a đúng.
b) Thay $A(0;1)$ vào ${\Delta }_2:2(0)-1+7=6\ne 0$, nên $A$ không thuộc ${\Delta }_2$; khẳng định b sai.
c) ${\vec{n}}_1=(3;1)$, ${\vec{n}}_2=(2;-1)$; kiểm tra $3\cdot (-1)-1\cdot 2=-5\ne 0$ nên hai vectơ pháp tuyến không cùng phương, do đó ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ cắt nhau; khẳng định c đúng.
d) $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\theta =45^{\circ }$; khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $3x+y-2=0$, một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(0;1)$ vào ${\Delta }_2$: $2(0)-1+7=6\ne 0$, nên $A$ không thuộc ${\Delta }_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_1=(3;1)$, ${\vec{n}}_2=(2;-1)$, $3\cdot (-1)-1\cdot 2=-5\ne 0$ nên hai đường thẳng cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{|6-1|}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta =45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+2y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2)$. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến cùng phương và hai đường không trùng nhau. Xét các phương án: - A: ${\Delta }_2:2x+4y+6=0\iff x+2y+3=0$ trùng với $d$, không song song. - B: ${\Delta }_4:2x-4y+3=0$ có pháp tuyến $(2;-4)$, vì $1\cdot (-4)-2\cdot 2=-8\ne 0$ nên cắt $d$. - C: ${\Delta }_3:x+3y+1=0$ có pháp tuyến $(1;3)$, vì $1\cdot 3-2\cdot 1=1\ne 0$ nên cắt $d$. - D: ${\Delta }_1:2x+4y+1=0$ có pháp tuyến $(2;4)=2(1;2)$ cùng phương với $(1;2)$, và $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}\ne \frac{1}{3}$ nên hai đường không trùng nhau. Vậy ${\Delta }_1$ song song với $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Δ₁ có hệ số góc $k_1=\frac{1}{2}$ (từ $x-2y+1=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$), Δ₂ có hệ số góc $k_2=-2$ (từ $2x+y+1=0\Rightarrow y=-2x-1$). Vì $k_1\cdot k_2=\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$ nên hai đường thẳng vuông góc với nhau. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+2y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2)$. Xét các phương án: A: $2x+4y+6=0$ có pháp tuyến $(2;4)=2(1;2)$ và $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2$ nên trùng với $d$, không song song. B: $2x-4y+3=0$ có pháp tuyến $(2;-4)$ không cùng phương với $(1;2)$. C: $x+3y+1=0$ có pháp tuyến $(1;3)$ không cùng phương với $(1;2)$. D: $2x+4y+1=0$ có pháp tuyến $(2;4)=2(1;2)$ cùng phương với $(1;2)$ và $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=2\ne \frac{1}{3}$, nên ${\Delta }_1$ song song với $d$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-2y+1=0$ và $d_2:3x-6y-5=0$ có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}$, $\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$, nhưng $\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}\ne \frac{1}{3}$. Vậy $d_1\parallel d_2$ (song song, không trùng nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+y-4=0$ (với $a_1=1,b_1=1,c_1=-4$) và $d_2:-2x-2y+6=0$ (với $a_2=-2,b_2=-2,c_2=6$). Ta có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$ và $\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, nên $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$. So sánh với $\frac{c_1}{c_2}=\frac{-4}{6}=\frac{2}{3}$, thấy $-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$, tức $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$. Vậy hai đường thẳng song song. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ phương trình ${\Delta }_1:3x+y-2=0$, một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(3;1)$ → đúng.
b) Thay $A(0;1)$ vào ${\Delta }_2$: $2\cdot 0-1+7=6\ne 0$, nên $A$ không thuộc ${\Delta }_2$ → sai.
c) ${\Delta }_1$ có hệ số góc $k_1=-3$, ${\Delta }_2$ có $k_2=2$. Vì $k_1\ne k_2$ nên hai đường thẳng cắt nhau → đúng.
d) ${\vec{n}}_1=(3;1)$, ${\vec{n}}_2=(2;-1)$. $\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $45^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình ${\Delta }_1:3x+y-2=0$, một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(3;1)$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(0;1)$ vào ${\Delta }_2$: $2\cdot 0-1+7=6\ne 0$, nên $A$ không thuộc ${\Delta }_2$ → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_1$ có hệ số góc $k_1=-3$, ${\Delta }_2$ có $k_2=2$. Vì $k_1\ne k_2$ nên hai đường thẳng cắt nhau → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_1=(3;1)$, ${\vec{n}}_2=(2;-1)$. $\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $45^{\circ }$ → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $d:x-y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(1;-1)$ → đúng. b) Thay $A(2;-3)$ vào $\Delta$: $2\cdot 2+(-3)-3=-2\ne 0$ → $A$ không thuộc $\Delta$ → sai. c) $d$ có $\overrightarrow{n_d}(1;-1)$, $\Delta$ có $\overrightarrow{n_{\Delta }}(2;1)$; vì $\frac{1}{2}\ne \frac{-1}{1}$ nên hai đường không song song, cắt nhau → đúng. d) Đường thẳng qua $A(2;-3)$ song song với $d$ có dạng $x-y+c=0$; thay $A$: $2-(-3)+c=0\Rightarrow c=-5$, nên phương trình là $x-y-5=0$, không phải $x-y+5=0$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x-y-2=0$, hệ số của $x,y$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}(1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(2;-3)$ vào $\Delta$: $2(2)+(-3)-3=-2\ne 0$ nên $A\notin \Delta$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_d}(1;-1)$ và $\overrightarrow{n_{\Delta }}(2;1)$ không cùng phương nên $d,\Delta$ cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $A(2;-3)$ song song $d$: $x-y+c=0$ với $2+3+c=0\Rightarrow c=-5$, tức $x-y-5=0\ne x-y+5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: đường thẳng $\Delta :x-2y+1=0$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}(1;-2)$, không phải $(1;2)$. b) Đúng: $d$ có hệ số góc $-2$, $\Delta$ có hệ số góc $1/2$, khác nhau nên hai đường thẳng cắt nhau (thực chất chúng còn vuông góc vì $(-2)\cdot (1/2)=-1$). c) Đúng: thay $A(2;1)$ vào $d$: $2\cdot 2+1-5=0$, nên $A\in d$. d) Sai: vì $(-2)\cdot \frac{1}{2}=-1$ nên hai đường thẳng vuông góc, góc tạo bởi chúng bằng $90^{\circ }$, không phải $0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của $\Delta :x-2y+1=0$ là $\vec{n}(1;-2)$, không phải $(1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d$ là $-2$, của $\Delta$ là $1/2$, khác nhau nên hai đường thẳng cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2(2)+1-5=0$ nên $A(2;1)\in d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(-2)\cdot \frac{1}{2}=-1$ nên $d\perp \Delta$, góc tạo bởi hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình của Δ1 và Δ2: từ Δ2 có x = 2y + 3, thay vào Δ1: 2(2y+3) + y + 15 = 0 ⟹ 5y = −21 ⟹ y = −21/5, x = −27/5. Vậy giao điểm là A(−27/5; −21/5), không phải (−27/4; −21/4) nên a sai. Δ1: 2x + y + 15 = 0 có vecto pháp tuyến n(2;1), còn (−1;2) là vecto chỉ phương nên b sai. Đường thẳng qua M(2;1) song song Δ1 có dạng 2x + y + c = 0, thay M: 4 + 1 + c = 0 ⟹ c = −5, được 2x + y − 5 = 0 nên c đúng. Thay O(0;0) vào Δ2: 0 − 0 − 3 = −3 ≠ 0 nên Δ2 không qua O, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ 2x + y + 15 = 0 và x − 2y − 3 = 0 được x = −27/5, y = −21/5. Giao điểm là A(−27/5; −21/5), không phải A(−27/4; −21/4).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: 2x + y + 15 = 0 có vecto pháp tuyến n(2;1). Vecto (−1;2) là một vecto chỉ phương của Δ1, không phải pháp tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M(2;1) song song với Δ1 có dạng 2x + y + c = 0. Thay M(2;1): 4 + 1 + c = 0 ⟹ c = −5. Vậy phương trình là 2x + y − 5 = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ O(0;0) vào Δ2: 0 − 2·0 − 3 = −3 ≠ 0, nên Δ2 không đi qua điểm O.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.5: d: y = 3x - 2, A(1;1).
a) Thay x=1: y = 3(1)-2 = 1 = tung độ của A, nên A thuộc d. Đúng.
b) d: 3x - y - 2 = 0 có vecto pháp tuyến $\vec{n}(3;-1)$. Vecto $(1;3)$ là một vecto chỉ phương của d (vì $3\cdot 1+(-1)\cdot 3=0$), không phải pháp tuyến. Sai.
c) Δ vuông góc với d nên vecto pháp tuyến của Δ song song với vecto chỉ phương của d là $(1;3)$. Với ${\vec{n}}_{\Delta }=(1;3)$ và đi qua A(1;1): $1(x-1)+3(y-1)=0\iff x+3y-4=0$. Đúng.
d) Cắt Ox: y=0 ⟹ 3x-2=0 ⟹ x = 2/3. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=1 vào y=3x-2 được y=1, trùng tung độ của A(1;1), nên A thuộc d.
b) (AI giải đề cho tôi)
d: 3x - y - 2 = 0 có vecto pháp tuyến $\vec{n}(3;-1)$. Vecto $(1;3)$ thỏa mãn $3\cdot 1+(-1)\cdot 3=0$ nên là vecto chỉ phương của d, không phải pháp tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ ⊥ d nên ${\vec{n}}_{\Delta }$ song song với vecto chỉ phương $(1;3)$ của d. Qua A(1;1): $1(x-1)+3(y-1)=0\iff x+3y-4=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại giao với Ox: y=0 ⟹ 3x-2=0 ⟹ x=2/3.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $x+2y=4$ cắt $Ox$ tại $A(4;0)$ (cho $y=0$) và cắt $Oy$ tại $B(0;2)$ (cho $x=0$). Tam giác tạo bởi đường thẳng và hai trục là tam giác vuông $OAB$ vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông $OA=4$, $OB=2$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$. Kết quả trùng với đáp số nguồn: 4.

Đáp số: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x,y)=x+y-m$. Ta có $f(A)=1+3-m=4-m$ và $f(B)=-2+4-m=2-m$. Điểm $A$ và $B$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng $x+y=m$ khi và chỉ khi $f(A)\cdot f(B)<0$, tức $(4-m)(2-m)<0$. Giải bất phương trình: $2<m<4$. Vậy đáp án là A.