Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đĩa rời đường tròn theo tiếp tuyến tại M(4;4). Đường tròn (C) có tâm I(3;1), bán kính R=√10. Vectơ IM=(1;3) là VTPT của tiếp tuyến, nên tiếp tuyến có dạng x+3y+c=0. Vì đi qua M(4;4): 4+3·4+c=0 ⇒ c=−16. Vậy b=3, c=−16, b+c=−13, khớp đáp án nguồn −13.

a) Đường tròn $(C)$ có tâm $A$ và đi qua $B$ nên bán kính $R=AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
Phương trình của đường tròn là $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=5$.

b) $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $AB$ nên $\Delta$ có một VTPT $\overrightarrow{AB}=(1;2)\Rightarrow$ phương trình $\Delta$ có dạng: $x+2y+c=0$.
$\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$
$\iff d(A,\Delta )=R\iff \frac{\left|2+2.(-1)+c\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\iff |c|=5\iff \left[\begin{array}{c}c=5\\ c=-5\end{array}\right]$
Vậy ta có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm: $x+2y+5=0;x+2y-5=0$.

c) Gọi phương trình chính tắc của Hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với $a>0;b>0$.
- Hypebol có tiêu điểm $F(4;0)$ suy ra $c=4$.
- Hypebol đi qua điểm $M(3;0)$ suy ra $a=3$.
- $b^2=c^2-a^2=7$.
Vậy phương trình chính tắc của $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. Kiểm tra $M(2;0)$: $I{M}^2=(2-1{)}^2+(0-2{)}^2=5=R^2$ nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(1;-2)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Phương trình tiếp tuyến: $1(x-2)-2(y-0)=0\iff x-2y-2=0$. So với $x-by+c=0$ ta được $b=2,c=-2$. Do đó $T=2026\cdot 2+10\cdot (-2)=4052-20=4032$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có dạng $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Thay tọa độ các điểm: Với $A(-2;1)$: $4+1-2D+E+F=0\Rightarrow -2D+E+F=-5$. Với $B(2;-3)$: $4+9+2D-3E+F=0\Rightarrow 2D-3E+F=-13$. Với $C(0;3)$: $9+3E+F=0\Rightarrow 3E+F=-9$. Trừ phương trình của A cho phương trình của B: $-4D+4E=8\Rightarrow E=D+2$. Từ phương trình của C: $F=-9-3E$. Thay vào phương trình của A: $-2D+E-9-3E=-5\Rightarrow -2D-2E=4\Rightarrow D+E=-2$. Suy ra $D+D+2=-2\Rightarrow D=-2$, $E=0$, $F=-9$. Vậy đường tròn ngoại tiếp là $x^2+y^2-2x-9=0$, có tâm $I(1;0)$ và bán kính $R=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. Kiểm tra: $A$: $4+1+4-9=0$ ✓; $B$: $4+9-4-9=0$ ✓; $C$: $9-9=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=3$. Tiếp tuyến song song với $d:3x+4y-1=0$ có dạng $3x+4y+c=0$. Khoảng cách từ $I$ đến tiếp tuyến bằng $R$: $\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2+c|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\iff |11+c|=15\iff c=4$ hoặc $c=-26$. Vậy hai tiếp tuyến là $3x+4y+4=0$ và $3x+4y-26=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc $O$ tại tâm mặt đường (trục đối xứng của cổng), cổng bán nguyệt có bán kính $R=3,4$ m nên phương trình vòm: $x^2+y^2=3,4^2$ với $y\ge 0$. Mặt đường rộng 6,8 m chia thành hai làn, mỗi làn rộng 3,4 m. Xe tải rộng 2,4 m đi đúng làn quy định, sát vạch phân làn (phía trong), nên mép xe xa tâm nhất cách tâm $2,4$ m, tức tại $x=2,4$. Chiều cao tối đa của xe là tung độ của vòm tại $x=2,4$: $y=\sqrt{3,4^2-2,4^2}=\sqrt{11,56-5,76}=\sqrt{5,8}\approx 2,408$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $2,4$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2,4).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn đường kính AB với A(3;2), B(1;4). Tâm I là trung điểm AB: I(2;3). Bán kính R = AB/2 = √((-2)²+2²)/2 = 2√2/2 = √2. a) Sai: bán kính là R = √2, còn BA là đường kính (độ dài 2√2). b) Đúng: (x−2)²+(y−3)²=(√2)²=2. c) Sai: tiếp tuyến tại A có pháp tuyến IA = (1;−1), phương trình: 1(x−3) −1(y−2)=0 ⇔ x−y−1=0, không phải x+y−2=0. d) Đúng: R=√2. Khớp đáp án chính thức SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BA là đường kính với độ dài 2√2; bán kính là R = √2, không phải BA.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(2;3), R=√2 nên (C): (x−2)²+(y−3)²=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại A vuông góc IA, pháp tuyến (1;−1): x−y−1=0, không phải x+y−2=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/2 = 2√2/2 = √2.

(AI giải đề cho tôi)
Cổng bán nguyệt rộng 6,8 m nên bán kính $R=3,4$ m, tâm tại trung điểm mặt đường. Chọn hệ trục với gốc tại tâm, vòm cổng: $x^2+y^2=3,4^2$ ($y\ge 0$). Xe tải rộng 2,4 m đi đúng làn quy định (làn sát tâm đường), đặt sát tâm nên mép ngoài của xe cách tâm $x=2,4$ m. Chiều cao tối đa là tung độ của vòm tại $x=2,4$: $y=\sqrt{3,4^2-2,4^2}=\sqrt{11,56-5,76}=\sqrt{5,8}\approx 2,408$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $2,4$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2,4).

a) $\overrightarrow{BC}=(8;4)$, chọn $\vec{n}=(2;1)$ là vtpt của đường cao kẻ từ A. Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A là $2(x-0)+(y-9)=0\iff 2x+y-9=0$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là $\frac{x}{-3}+\frac{y}{9}=1\iff 3x-y+9=0$. $d(C/AB)=\frac{\left|3.5-4+9\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{20}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}=R$. Phương trình đường tròn cần tìm là $(x-5{)}^2+(y-4{)}^2=40$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13, mã đề 391, đáp án ĐSSS khớp với kết quả giải độc lập. a) Đúng: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=16$ có tâm $I(-1;2)$, bán kính $R=4$. b) Sai: $IA=|(7-(-1))|=8>4=R$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn. c) Sai: $d(I,d)=\frac{|-1-2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4=R$ nên $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm, không phải tiếp tuyến. d) Sai: $I(-1;2)$ và $A(7;2)$ cùng nằm trên đường thẳng $y=2$, $IA=8>4$. Điểm trên $(C)$ gần $A$ nhất là giao của $(C)$ với tia từ $I$ hướng về $A$: $M(3;2)$ với $MA=4$. Điểm $(-5;2)$ là điểm trên $(C)$ xa $A$ nhất ($MA=12$), nên khẳng định d) sai, phù hợp đáp án ĐSSS.
a) Đúng: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=16$ có tâm $I(-1;2)$, bán kính $R=4$.
b) Sai: $IA=|(7)-(-1)|=8>4=R$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.
c) Sai: $d(I,d)=\frac{|-1-2-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4=R$ nên $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt, không phải tiếp tuyến.
d) Sai: $I(-1;2)$ và $A(7;2)$ cùng nằm trên đường thẳng $y=2$ với $IA=8>4$. Điểm trên $(C)$ gần $A$ nhất là giao của $(C)$ với tia từ $I$ hướng về $A$, tức $M(3;2)$ (khi đó $MA=4$). Điểm $(-5;2)$ là điểm trên $(C)$ xa $A$ nhất. Theo bảng đáp án mã đề 391, câu 13 là ĐSSS nên ý d) là Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+y-13=0$ đi qua $M(6;-5)$ (kiểm tra: $18-5-13=0$), có vectơ chỉ phương $\vec{u}(1;-3)$. Điểm trên $d$: $P(t)=(6+t;-5-3t)$. Thay vào phương trình đường tròn $(x-1{)}^2+y^2=R^2$: $(5+t{)}^2+(-5-3t{)}^2=R^2\iff 10t^2+40t+50-R^2=0$ với hai nghiệm $t_A,t_B$. Theo Vi-ét: $t_A+t_B=-4$, $t_A{t}_B=\frac{50-R^2}{10}$. Vì $M$ nằm ngoài đường tròn nên $A,B$ cùng phía so với $M$ trên $d$, do đó $t_A,t_B$ cùng dấu. Kết hợp $MB=3MA$ suy ra $t_B=3t_A$ (cùng dấu). Suy ra $4t_A=-4\Rightarrow t_A=-1,t_B=-3$. Khi đó $t_A{t}_B=3=\frac{50-R^2}{10}\Rightarrow R^2=50-30=20$. Vậy $R^2=20$, khớp với bảng đáp án Phần III, Câu 3, Mã đề 1002: 20.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+2y-7=0$ đi qua $M(-5;6)$ (kiểm tra: $-5+12-7=0$). Gọi $H$ là hình chiếu của $I(2;0)$ trên $d$, khoảng cách từ $I$ đến $d$ là $d(I,d)=\frac{|2+0-7|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}$, nên $R^2=I{H}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=5+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$.

Vì $M$ nằm ngoài $(C)$ và $MA=3MB$ với $A,B$ trên $d$ qua $M$, hai điểm $A,B$ phải nằm cùng phía của $M$ trên $d$ (nếu $M$ giữa $A$ và $B$ thì $M$ nằm trong đoạn cắt, suy ra $M$ trong đường tròn, mâu thuẫn). Đặt $MB=t>0$ thì $MA=3t$, $AB=2t$.

Phương tích của $M$ đối với $(C)$: $M{I}^2-R^2=MA\cdot MB=3t^2$, với $M{I}^2=(2+5{)}^2+(0-6{)}^2=85$.

Kết hợp: $85-R^2=3t^2$ và $R^2=5+t^2$ $\Rightarrow 85-(5+t^2)=3t^2\Rightarrow 80=4t^2\Rightarrow t^2=20$.

Suy ra $R^2=5+20=25$. Đáp số: $R^2=25$, khớp với đáp án 25 ở trang 7.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y+1=0\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$ nên tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=2$.
a) $R=2$ → Đúng.
b) Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :x+y-1=0$ là $d=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<R=2$, nên có đúng 2 tiếp tuyến song song với $\Delta$ → Đúng.
c) $d(I,\Delta )=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$ → Sai.
d) $MN=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$; diện tích tam giác $IMN=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ → Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$ nên $R=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,\Delta )=\sqrt{2}<R=2$ nên có 2 tiếp tuyến song song với $\Delta$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,\Delta )=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$, $S_{IMN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đĩa chuyển động trên đường tròn tâm $I\left(0;\frac{3}{2}\right)$, bán kính $R=0,8$. Điểm buông $M$ có tung độ $y_M=1,98$ và nằm bên phải trục tung. Vì $M$ thuộc đường tròn: $x_M^2+(1,98-1,5{)}^2=0,8^2\Rightarrow x_M^2=0,64-0,2304=0,4096\Rightarrow x_M=0,64$ (bên phải). Vậy $M(0,64;1,98)$. Ngay sau khi buông, đĩa bay tiếp theo tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn, tức vuông góc với bán kính $IM$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(0,64;0,48)$ nên phương trình tiếp tuyến có dạng $0,64x+0,48y+c=0$. Thay $M$: $c=-(0,64\cdot 0,64+0,48\cdot 1,98)=-(0,4096+0,9504)=-1,36$. Phương trình: $0,64x+0,48y-1,36=0$, nhân với $12,5$ để được dạng $ax+by-17=0$: $8x+6y-17=0$. Suy ra $a=8$, $b=6$, do đó $ab=48$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-6x-2y=0$ có tâm $I(3;1)$, bán kính $R=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$. Kiểm tra $A(4;4)$ thuộc $(C)$: $(4-3{)}^2+(4-1{)}^2=1+9=10=R^2$. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(1;3)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$. Phương trình tiếp tuyến: $1(x-4)+3(y-4)=0\iff x+3y-16=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
$(C):x^2+y^2-2x+4y+1=0\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$, tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=2$ → a) Đúng. Khoảng cách $d(I,\Delta )=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$ → c) Sai. Vì $d=\sqrt{2}<R=2$ nên đường tròn cắt $\Delta$ tại hai điểm, tồn tại hai tiếp tuyến song song với $\Delta$ → b) Đúng. Dây $MN$ có độ dài $|MN|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$, diện tích tam giác $IMN=\frac{1}{2}\cdot |MN|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ → d) Đúng. Khớp với đáp án chính thức ĐĐSĐ.
a) $(C)$ có tâm $I(1;-2)$, $R=\sqrt{1+4-1}=2$.
b) $d(I,\Delta )=\sqrt{2}<R=2$ nên có hai tiếp tuyến song song với $\Delta$.
c) $d(I,\Delta )=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$.
d) $|MN|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{2}$, $S_{IMN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đĩa chuyển động trên đường tròn tâm $I\left(0;\frac{3}{2}\right)$, bán kính $R=0,8$. Điểm $M$ có tung độ $y_M=1,98$ và nằm bên phải trục tung nên: $x_M^2+(1,98-1,5{)}^2=0,8^2\Rightarrow x_M^2=0,64-0,2304=0,4096\Rightarrow x_M=0,64$. Vậy $M(0,64;1,98)$. Ngay sau khi buông, đĩa bay theo tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn, nên vectơ pháp tuyến của quỹ đạo là $\overrightarrow{IM}=(0,64;0,48)$. Phương trình tiếp tuyến: $0,64x+0,48y=0,64\cdot 0,64+0,48\cdot 1,98=0,4096+0,9504=1,36$. Nhân với $\frac{17}{1,36}=12,5$ để đưa về dạng $ax+by-17=0$: $8x+6y-17=0$, tức $a=8$, $b=6$. Suy ra $ab=8\cdot 6=48$, trùng với đáp án nguồn (48).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2-(-1);2-3)=(-1;-1)$ → Đúng.
b) Đường thẳng qua $A(-1;3)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-1;-1)$, tức có hệ số góc $1$: $y-3=x+1\iff x-y+4=0$ → Đúng.
c) Máy bay đi vào vùng quan sát tại $A$, nên $A$ nằm trên đường tròn: $R=IA=\sqrt{0^2+5^2}=5\ne 6$ → Sai.
d) Khoảng cách từ $I(-1;-2)$ đến đường thẳng $x-y+4=0$ là $d=\frac{|-1+2+4|}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$. Bán kính $R=5$ nên độ dài dây $AC=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{25-\frac{25}{2}}=5\sqrt{2}$. Tốc độ máy bay $|AB|=\sqrt{2}$ mỗi phút, nên thời gian trong vùng quét $=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$ phút → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2+1;2-3)=(-1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(-1;3)$, vt $(-1;-1)$: $x-y+4=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A$ nằm trên biên vùng quan sát nên $R=IA=5\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,\Delta )=\frac{5}{\sqrt{2}}$, dây $AC=5\sqrt{2}$, tốc độ $\sqrt{2}$/phút nên thời gian $=5$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Viết phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Vì đi qua $O(0;0)$ nên $F=0$. Đi qua $A(8;4)$: $80+8D+4E=0$. Đi qua $B(8;2)$: $68+8D+2E=0$. Trừ hai phương trình: $12+2E=0\Rightarrow E=-6$; suy ra $8D=-80+24=-56\Rightarrow D=-7$. Tâm $I\left(\frac{7}{2};3\right)$, bán kính $R=\sqrt{{\left(\frac{7}{2}\right)}^2+3^2}=\sqrt{\frac{85}{4}}=\frac{\sqrt{85}}{2}\approx 4.61$.

Bước 1: Thiết lập phương trình các đối tượng.
- Vùng theo dõi của radar là hình tròn tâm $I(2;1)$, bán kính $R=10$.
- Quỹ đạo của vật thể bay là đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(12;5)$ và $B(-8;-7)$. Ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-20;-12)$, chọn vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=(3;-5)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$: $3(x-12)-5(y-5)=0⟺3x-5y-11=0$.
Bước 2: Tính quãng đường vật thể bay nằm trong vùng radar. Quãng đường này chính là độ dài dây cung $L$ tạo bởi đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn trạm radar.
- Khoảng cách từ trạm radar $I$ đến quỹ đạo $\Delta$:
$$d(I,\Delta )=\frac{|3\cdot 2-5\cdot 1-11|}{\sqrt{3^2+(-5{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{34}}\text{ (km)}.$$
- Độ dài quãng đường trong vùng radar:
$$L=2\sqrt{R^2-d^2(I,\Delta )}=2\sqrt{100-\frac{100}{34}}=20\sqrt{\frac{33}{34}}\approx 19,7036\text{ (km)}.$$
Bước 3: Tính thời gian. Với vận tốc $v=600$ km/h, thời gian vật thể bay được radar theo dõi là:
$$t=\frac{L}{v}=\frac{19,7036}{600}\text{ (giờ)}.$$
Đổi sang đơn vị phút:
$$T=t\times 60=\frac{19,7036}{10}=1,97036\text{ (phuˊt)}.$$
Vậy vật thể bay nằm trong vùng theo dõi của radar khoảng $1,97$ phút.