Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$

Điều kiện đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A,B:
$$d\left(I;\Delta \right)<R\iff \frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}<\sqrt{2}$$ (0.25đ)

$$S=\frac{1}{2}{R}^2\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2}{R}^2\Rightarrow \max S=\frac{R^2}{2}=1$$ khi $\Delta IAB$ vuông cân tại I

$$d\left(I;\Delta \right)=\frac{R\sqrt{2}}{2}\iff \frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}=1$$ Suy ra $m=0;m=\frac{8}{15}$ (nhận) (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=5$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5^2=25$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 001, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát phải cách đều ba trạm M, N, P nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Tìm trung trực của MN: trung điểm (1;2), hệ số góc MN = (4-0)/(0-2) = -2 nên trung trực có hệ số góc 1/2: y - 2 = (1/2)(x - 1) ⟺ x - 2y + 3 = 0. Trung trực của MP: trung điểm (-5/2; 3/2), hệ số góc MP = (3-0)/(-7-2) = -1/3 nên trung trực có hệ số góc 3: y - 3/2 = 3(x + 5/2) ⟺ 3x - y + 9 = 0. Giải hệ: x = 2y - 3, thay vào: 3(2y-3) - y + 9 = 0 ⟺ 5y = 0 ⟺ y = 0, x = -3. Tâm I(-3;0). Bán kính R = IM = √((2+3)² + 0²) = 5. Kiểm tra: IN = √(9+16) = 5, IP = √(16+9) = 5. Vậy khoảng cách từ trạm phát tới các trạm nhận là 5 km, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=36$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{36}=6$. So sánh: $a=1$, $b=-2$, nên $I(1;-2)$ và $R=6$. Khớp với đáp án C (bảng đáp án mã đề 103, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=36$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$ và bán kính $R=\sqrt{36}=6$. So sánh ta được $a=1$, $b=2$, nên tâm $I(1;2)$ và $R=6$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x-6y-12=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=4\Rightarrow a=-2$, $-2b=-6\Rightarrow b=3$. Vậy tâm $I(-2;3)$. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{(-2{)}^2+3^2+12}=\sqrt{4+9+12}=\sqrt{25}=5$. Kiểm tra: $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=25\iff x^2+4x+4+y^2-6y+9-25=0\iff x^2+y^2+4x-6y-12=0$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(C):x^2+y^2-2x+4y+1=0$, ta có $a=-2,b=4,c=1$. Tâm $I(-a/2;-b/2)=(1;-2)$. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-4c}=\sqrt{4+16-4}=\sqrt{16}=2$. Vậy $I(1;-2);R=2$, khớp đáp án B trong đề (Mã đề 101, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ $I(-2;3)$ đến $\Delta :4x-3y+2=0$: $r=\frac{|4(-2)-3(3)+2|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|-15|}{5}=3$. Vậy $c=r^2=9$. Phương trình: $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=9$, so với dạng $(x+a{)}^2+(y+b{)}^2=c$ ta có $a=2$, $b=-3$. Do đó $a+b-c=2-3-9=-10$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ có phương trình: điểm $M(x;y)$ thuộc $(C)$ khi và chỉ khi $MI=R$, tức là $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=R\iff (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Vậy đáp án đúng là D. (Kiểm tra với đáp án nguồn: mã đề 1002, câu 5 là D — khớp.)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $A(-2;3)$, bán kính $R=5$ có phương trình $(x-(-2){)}^2+(y-3{)}^2=5^2$, tức $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=25$. Đây chính là phương án A (khớp với đáp án mã đề 1002: câu 6 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I(2;-3)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+2=0$: $r=d(I,\Delta )=\frac{|3\cdot 2-4\cdot (-3)+2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6+12+2|}{5}=\frac{20}{5}=4$. Phương trình đường tròn: $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=16$, tương ứng dạng $(x+a{)}^2+(y+b{)}^2=c$ với $a=-2$, $b=3$, $c=16$. Vậy $a+b-c=-2+3-16=-15$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ là tập các điểm $M(x;y)$ sao cho $MI=R$, tức $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $A(2;-3)$ bán kính $R=\sqrt{5}$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2=5$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(-a_0;b_0)$ suy ra $x+1=x-(-1)$, $y-2=y-2$, nên tâm $I(-1;2)$ và $R^2=9\Rightarrow R=3$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1111, Câu 11: A).

+ Phương trình đường tròn $(C)$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.

+ Vì $(C)$ qua 3 điểm $A,B,C$ nên ta có
$$\{\begin{array}{l}6a-4b+c=-13\\ -2a+4b+c=-5\\ -8a+6b+c=-25\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{11}{2}\\ b=\frac{13}{2}\\ c=-20\end{array}$$ (0,25 điểm; 0,25 điểm)

Do đó $(C)$ có tâm $I\left(\frac{11}{2};\frac{13}{2}\right)$, bk $R=\sqrt{{\left(\frac{11}{2}\right)}^2+{\left(\frac{13}{2}\right)}^2+20}=\frac{\sqrt{370}}{2}$.

Vậy phương trình $(C):{\left(x-\frac{11}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{11}{2}\right)}^2=\frac{370}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(C):x^2+y^2-6x+4y-12=0$, ta có tâm $I(-a/2;-b/2)=I\left(-\frac{-6}{2};-\frac{4}{2}\right)=I(3;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{(-6{)}^2+4^2-4(-12)}/2$... chính xác là $R=\sqrt{9+4+12}=\sqrt{25}=5$. Vậy $I(3;-2),R=5$, khớp với đáp án B (đáp án nguồn cho mã đề 0123, câu 11 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+y^2=10$ có tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Kiểm tra $A(4;1)$: $I{A}^2=(4-1{)}^2+(1-0{)}^2=10=R^2$ nên $A$ thuộc $(C)$. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$ là $\overrightarrow{IA}=(3;1)$, do đó vectơ chỉ phương của tiếp tuyến là $\vec{u}=(1;-3)$. Phương trình tham số tiếp tuyến: $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1-3t\end{array}$. Theo đề, tiếp tuyến có dạng $\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=1-2t\end{array}$, nên vectơ $(a;-2)$ phải cùng phương với $(1;-3)$: $\frac{a}{1}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}\approx 0,67$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,67.

Đặt $IA=x\in (0;5)\Rightarrow AD=2AI=2x$.
Xét tam giác $IAB$ vuông tại $A$, ta có: $AB=\sqrt{5^2-x^2}$.
Chu vi hình chữ nhật $ABCD$ là: $2AB+2AD=4x+2\sqrt{5^2-x^2}$.
Ta có Chu vi hình chữ nhật bằng 22:
$2AB+2AD=4x+2\sqrt{5^2-x^2}=22\iff \sqrt{25-x^2}=11-2x$
$\iff \{\begin{array}{l}11-2x\ge 0\\ 25-x^2=121-44x+4x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le \frac{11}{2}\\ 5x^2-44x+96=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le \frac{11}{2}\\ x=4\vee x=\frac{24}{5}\end{array}$
$\iff x=4\vee x=\frac{24}{5}$.
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $I$, $A$ bằng 4.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra $A(4;1)$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{10}$: $(4-1{)}^2+1^2=10$ đúng. Vectơ bán kính $\overrightarrow{IA}=(3;1)$. Tiếp tuyến tại $A$ nhận $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến, nên vectơ chỉ phương của tiếp tuyến có dạng $(1;-3)$ (vì $3\cdot 1+1\cdot (-3)=0$). Phương trình tham số tiếp tuyến: $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1-3t\end{array}$. Theo đề, tiếp tuyến có dạng $\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=1-2t\end{array}$, hai vectơ chỉ phương $(a;-2)$ và $(1;-3)$ phải cùng phương: $\frac{a}{1}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}\approx 0,67$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,67.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(C):x^2+y^2-6x+4y-12=0$, ta có tâm $I=\left(-\frac{-6}{2};-\frac{4}{2}\right)=(3;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{(-6{)}^2+4^2-4(-12)}=\sqrt{36+16+48}=\sqrt{100}=5$. Vậy $I(3;-2),R=5$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (MD 0115, câu 2: D).