Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z+1}{1}$. Gọi đường thẳng $d^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $(P)$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d^{\prime }$ là $\vec{u}=(7;a;b)$. Tính $a-2b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3;-2;1)$ và bay theo đường thẳng để hạ cánh tại vị trí $B\left(4;\frac{13}{2};0\right)$ trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(8;0;0);N(0;-8;0);P(0;0;0,8)$. Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x+y-z-2=0$. Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha )$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1+t\\ z=1-t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):m^{2}x-3y-z+3m=0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha )$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):4x+3y-z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{3}=\frac{z+4}{1}$. $\sin$ của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-6}{-1}=\frac{z+4}{-1}$ lên mặt phẳng $(P):x+3y-2z+1=0$. Phương trình tham số của $\Delta$ là

Tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;2;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z=0$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x-5y+z-7=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=7+t\end{array}$. Gọi $M(a;b;c)$ là giao điểm của $d$ và $(\alpha )$. Tính giá trị biểu thức $P=a+2b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x+y+z=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}$. Phương trình của đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt phẳng mặt đất. Một tấm liếp tre phơi bánh tráng được mô phỏng bởi đoạn thẳng $AB$ có chiều dài $3$. Đặt đầu $B$ chạm đất tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Bóng của tấm liếp trên mặt đất là đoạn $BC$, với điểm $C$ nằm trên phần dương của trục $Ox$ và có tọa độ $C(3,6;0;0)$. Biết điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oxz)$ và có cao độ dương. Góc giữa tấm liếp $AB$ và mặt đất bằng $60^{\circ }$, đồng thời $\widehat{ABC}=120^{\circ }$. Giả sử tia sáng mặt trời chiếu dọc theo đường thẳng $AC$, hãy tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;2;3),B(2;0;-1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-1=0$. Tọa độ giao điểm $C$ của đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=3+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+3z-2=0$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{6}$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-2;2;3),B(1;-1;3),C(3;1;-1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+2z-8=0$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho giá trị biểu thức $T=2M{A}^2+M{B}^2+3M{C}^2$ nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Q):-x+2y-2z-6=0$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz-3=0$. Biết mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và cách gốc $O$ một khoảng lớn nhất. Tổng $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{-3}$ và $(P):2x-y+2z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c>0,\gcd (b,c)=1$ thỏa mãn $\Delta$ đi qua $M(1;5;-2)$, song song với $(P)$ và đồng thời tạo với $d$ một góc bé nhất. Tính $T=a^2+b^2+c^2$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-y+2z-5=0$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;3;1),B(5;-6;-2)$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.