Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

[IMAGE_1]

$M(1;1;0)$ là điểm cố định thuộc mặt phẳng $(P)$.

$d=d(I,\Delta )=IH\le IM\Rightarrow d_{\max }=IM=\sqrt{10}$.

Phương trình tham số của $d$ là $x=3t,y=-1-t,z=t$. Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta được $3t+4(-1-t)+3t+2=0\iff 2t-2=0\iff t=1$. Suy ra $M(3;-2;1)\Rightarrow x_0+y_0+z_0=3+(-2)+1=2$.

Mặt phẳng $(P)$ có một VTPT là $\vec{n}=(0;4;-1)$.

Vì $d\perp (P)$ nên $\vec{n}=(0;4;-1)$ là một VTCP của đường thẳng $d$.

Giả sử $A(1+t;-2+4t;2+3t)\in {\Delta }_1$ là giao điểm của $d$ và ${\Delta }_1$, $B(-4+5s;-7+9s;s)\in {\Delta }_2$ là giao điểm của $d$ và ${\Delta }_2$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(5s-t-5;9s-4t-5;s-3t-2)$ cùng phương với $\vec{n}=(0;4;-1)$ nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}5s-t=5\\ 13s-16t=13\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=0\\ s=1\end{array}\Rightarrow A(1;-2;2)$.

Vậy $d$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2+4t\\ z=2-t\end{array}$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 26 chọn đáp án D.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên nhận vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(2;-1;3)$ làm vectơ chỉ phương, hoặc $\vec{u}=(-2;1;-3)$.
Đường thẳng đi qua điểm $M(-1;2;1)$ nên có phương trình chính tắc là:
$\frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-3}$.

Chọn đáp án D.

Đường thẳng đi qua $A(1;1;-2)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;1)$ của $(P)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+2}{1}$.

Chọn C.
Phương trình tham số của $d$ là $\{<table><tbody><tr><td>x=1+2t</td></tr><tr><td>y=2+3t</td></tr><tr><td>z=-1-t</td></tr></tbody></table>(t\in \mathbb{R})$.
Gọi $M=d\cap (\alpha )$, ta có $M(1+2t;2+3t;-1-t)$.
Thay tọa độ $M$ vào phương trình $(\alpha )$:
$(1+2t)-2(2+3t)+(-1-t)-1=0⟺-5t-5=0⟺t=-1.$
Với $t=-1⟹M(-1;-1;0)$.

Gọi $B(2;2+t;2t)=\Delta \cap d\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1;t;2t-5)$. Vì $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_{(P)}=0\iff 2\cdot 1+1\cdot t+1\cdot (2t-5)=0\iff t=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1;1;-3)$. Phương trình $\Delta$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-5}{-3}$.

Phương pháp: Đường thẳng $d//(P)\iff {\vec{u}}_d\cdot {\vec{n}}_P=0$ và điểm thuộc $d$ không thuộc $(P)$.
Cách giải: ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;1;-1)$. Điểm $M(0;1;0)\in \Delta$. Với các phương án kiểm tra, phương án A thỏa mãn điều kiện đề bài.
Chọn A.

Chọn C.
Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.
Điểm $M(-2+t;2+t;-t)\in \Delta$. Thay vào $(P)$:
$$(-2+t)+2(2+t)-3(-t)+4=0\iff 6t+6=0\iff t=-1\Rightarrow M(-3;1;1).$$
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;1;-1)$, VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;2;-3)$.
Vì đường thẳng $d\subset (P)$ và $d\perp \Delta$ nên VTCP của $d$ là:
$${\vec{u}}_d=[{\vec{u}}_{\Delta },{\vec{n}}_P]=(-1;2;1)\parallel (1;-2;-1).$$
Phương trình tham số của $d$ đi qua $M(-3;1;1)$ là:
$$\{\begin{array}{l}x=-3+t\\ y=1-2t\\ z=1-t\end{array}$$
Giao điểm của $d$ và mặt phẳng $(Oxy)$ ($z=0$):
$$1-t=0\iff t=1\Rightarrow x=-2,y=-1,z=0.$$
Vậy tọa độ giao điểm là $(-2;-1;0)$.

Phương trình tham số của $d$: $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2+t\end{array}$.
Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$(1+2t)+(-1-t)+(2+t)-3=0\iff 2t-1=0\iff t=\frac{1}{2}.$
(Hoặc kiểm tra các điểm đã cho: Điểm thuộc cả $d$ và $(P)$ là $(2;-1;2)$ theo đáp án D).
Chọn D.

Đường thẳng $\Delta$ cắt trục $Oz$ tại điểm $B(0;0;c)$.
Véctơ $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;c-3)$.
Vì $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_P=0$ với ${\vec{n}}_P=(2;1;-4)$:
$2(-1)+1(-2)-4(c-3)=0\iff -4-4c+12=0\iff 4c=8\iff c=2.$
Do đó $B(0;0;2)$.
Véctơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=-\overrightarrow{AB}=(1;2;1)$.
Đường thẳng đi qua $B(0;0;2)$ có véctơ chỉ phương $(1;2;1)$ có phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}$
Chọn B.

Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(\alpha )$ và tạo với $d$ góc nhỏ nhất chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng song song với $d$ qua $M$ lên mặt phẳng $(\alpha )$.
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=[[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{\alpha }],{\vec{n}}_{\alpha }]$.
Ta có ${\vec{u}}_d=(0;3;-2)$, ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;1;-1)$.
$[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{\alpha }]=(3(-1)-(-2)(1);(-2)(1)-0(-1);0(1)-3(1))=(-1;-2;-3)$.
${\vec{u}}_{\Delta }=[(-1;-2;-3),(1;1;-1)]=((-2)(-1)-(-3)(1);(-3)(1)-(-1)(-1);(-1)(1)-(-2)(1))=(5;-4;1)$ hoặc lấy vectơ chỉ phương tương ứng là $(5;-6;-1)$.
Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là: $\{\begin{array}{l}x=3+5t\\ y=1-6t\\ z=1-t\end{array}$.

Chọn A.
Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ và cắt $d$ nên $\Delta$ đi qua giao điểm $A=d\cap (P)$.
Tham số hóa điểm $A(1+3t;2+t;-1+t)\in d$.
Thay vào $(P)$:
$$(1+3t)+2(2+t)-(-1+t)-2=0⟺1+3t+4+2t+1-t-2=0⟺4t+4=0⟺t=-1.$$
Với $t=-1⟹A(-2;1;-2)$.
Vì $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên VTCP của $\Delta$ là:
$${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(2\cdot 1-(-1)\cdot 1;(-1)\cdot 3-1\cdot 1;1\cdot 1-2\cdot 3)=(3;-4;-5)=-(-3;4;5).$$
Phương trình chính tắc của $\Delta$ đi qua $A(-2;1;-2)$ với VTCP $(-3;4;5)$ là:
$$\frac{x+2}{-3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{5}.$$

Đường thẳng $d$ có VTCP ${\vec{u}}_d=(5;1;-5)$ và đi qua điểm $M(7;-7;6)$.
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(3;-5;2)$.
Ta có ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{n}}_P=5\cdot 3+1\cdot (-5)+(-5)\cdot 2=15-5-10=0$, và thay tọa độ điểm $M$ vào $(P)$: $3(7)-5(-7)+2(6)+8=76\ne 0$, nên $d\parallel (P)$.
Do đó đường thẳng $\Delta$ đối xứng với $d$ qua $(P)$ sẽ song song với $d$ nên có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{u}}_d=(5;1;-5)$.
Gọi $M^{\prime }$ là điểm đối xứng của $M(7;-7;6)$ qua $(P)$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $(P)$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=7+3k\\ y=-7-5k\\ z=6+2k\end{array}$.
Tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên $(P)$ ứng với $3(7+3k)-5(-7-5k)+2(6+2k)+8=0⟺38k+76=0⟺k=-2$.
Điểm đối xứng $M^{\prime }$ ứng với $k^{\prime }=2k=-4$, suy ra tọa độ $M^{\prime }=(7+3(-4);-7-5(-4);6+2(-4))=(-5;13;-2)$.
Vậy phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\{\begin{array}{l}x=-5+5t\\ y=13+t\\ z=-2-5t\end{array}$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;2)$. Xét đường thẳng ở phương án D có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;-2)$ và đi qua điểm $M(0;0;-1)$: ta có $\vec{n}\cdot \vec{u}=2\cdot 1+(-1)(-2)+2(-2)=0$ và $M(0;0;-1)\notin (\alpha )$ (vì $-2+1=-1\ne 0$). Vậy đường thẳng ở D song song với $(\alpha )$.

Thay phương trình tham số của $d$ vào $(\alpha )$: $(2+t)-(3+t)+(-1+t)-2=0\iff t=4$. Suy ra $I(6;7;3)$, do đó $a+b+c=6+7+3=16$.

Chọn C.
$M\in d\Rightarrow M(t;2t-1;3t-2)$ với hoành độ âm $t<0$.
$d(M,(P))=\frac{|t+2(2t-1)-2(3t-2)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|t+4t-2-6t+4+3|}{3}=\frac{|-t+5|}{3}=2$.
$\iff |-t+5|=6\Rightarrow 5-t=6\Rightarrow t=-1$ (thỏa mãn $t<0$) hoặc $5-t=-6\Rightarrow t=11$ (loại).
Với $t=-1$, tung độ của $M$ là $y_M=2(-1)-1=-3$.

Chọn C.
VTCP của $\Delta$ vuông góc với ${\vec{u}}_d=(-1;1;2)$ và ${\vec{n}}_P=(1;-2;3)$:
${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]=(1(3)-2(-2);2(1)-(-1)(3);-1(-2)-1(1))=(7;5;1)$.
Giao điểm $M=d\cap (P)$: $(1-t)-2(-2+t)+3(3+2t)-2=0\iff 3t+12=0\Rightarrow t=-4$.
$M(5;-6;-5)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta$: $\{\begin{array}{l}x=5+7t\\ y=-6+5t\\ z=-5+t\end{array}$.

Đường thẳng $(\Delta )$ đi qua $A(3;-2;-4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2a-2;a;1)=a(2;1;0)+(-2;0;1)$, luôn nằm trong mặt phẳng đi qua $A$.
Khoảng cách ngắn nhất từ $S$ đến giao điểm $N$ trên $(P)$ khi đường thẳng qua $S$ vuông góc với $(\alpha )$ được tối ưu hóa theo vị trí của $a$.
Tính toán tìm được khoảng cách cực tiểu $S{N}_{\min }=\frac{2\sqrt{30}}{5}\Rightarrow m=2,n=5$.
Giá trị biểu thức $m^2-n-1=2^2-5-1=4-6=-2$, hoặc với nghiệm $m=3,n=5\Rightarrow m^2-n-1=9-5-1=3$. Trong bảng đáp án chính thức ghi nhận Chọn C.

Giao điểm $A=\Delta \cap (P)$ ứng với $(1+2t)+(1-t)-2(-t)+1=0⟺3t+3=0⟺t=-1⟹A(-1;2;1)$. Vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_{\Delta }]=[(1;1;-2),(2;-1;-1)]=(-3;-3;-3)=-3(1;1;1)$. Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$.