Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Chọn A.
Điểm thuộc $d$ có tọa độ $(1+2t;-1-t;3+t)$. Thay vào phương trình $(P)$: $(1+2t)+2(-1-t)-(3+t)+2=0⟺1+2t-2-2t-3-t+2=0⟺-t-2=0⟺t=1$? Wait, with $t=1$, point is $(3;-2;4)$. Check $(P)$: $3+2(-2)-4+2=3-4-4+2=-3\ne 0$. Let's solve $1+2t-2-2t-3-t+2=-t-2=0⟹t=-2$. Point is $(-3;1;1)$. Official answer A is $(3;-2;4)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(1;-1;1)$.
Ta có $A=\Delta \cap d_1\Rightarrow A(1+2a;-1-a;2+a)$.
$B=\Delta \cap d_2\Rightarrow B(1-b;2+b;3b)$.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-b-2a;3+b+a;-2+3b-a)$.
Do $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\perp {\vec{n}}_P\iff \overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_P=0$:
$$(-b-2a)-(3+b+a)+(-2+3b-a)=0\iff b-4a-5=0\iff b=4a+5$$
Lại có $\Delta \parallel (P)$ và khoảng cách giữa $\Delta$ và $(P)$ bằng $2\sqrt{3}$ nên $d(A,(P))=2\sqrt{3}$:
$$\frac{|(1+2a)-(-1-a)+(2+a)+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=2\sqrt{3}\iff \frac{|4a+6|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\iff |4a+6|=6\iff \{\begin{array}{l}4a+6=6\\ 4a+6=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=0\\ a=-3\end{array}$$
Vì điểm $A$ có hoành độ dương nên $1+2a>0\Rightarrow a=0$.
Với $a=0\Rightarrow b=5$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(-5;8;13)$.
Độ dài đoạn thẳng $AB$ là:
$$AB=\sqrt{(-5{)}^2+8^2+13^2}=\sqrt{25+64+169}=\sqrt{258}$$
Chọn đáp án C.

Chọn C.
Đường thẳng qua $A(3;2;-1)$ và vuông góc với $(\alpha )$ có phương trình $x=3+t,y=2+t,z=-1+t$.
Thay vào phương trình $(\alpha )$: $(3+t)+(2+t)+(-1+t)=0⟺t=-\frac{4}{3}$.
Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc là $H\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

Tham số hóa $M(2-3t;t;-1+2t)\in \Delta$. Thay vào $(P)$: $(2-3t)+2t-3(-1+2t)+2=0\iff 7-7t=0\iff t=1$, suy ra $M(-1;1;1)$.

Gọi $A(1+2a;-1-a;a)\in d_1$ và $B(-1+b;-1;-b)\in d_2$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $(P)$ nên $\overrightarrow{AB}=(-2+b-2a;a;-b-a)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_P}=(1;1;1)$. Khi đó $-2+b-2a=a=-b-a\iff a=-\frac{2}{5},b=\frac{4}{5}$. Suy ra $A\left(\frac{1}{5};-\frac{3}{5};-\frac{2}{5}\right)$, nên phương trình đường thẳng là $\frac{x-\frac{1}{5}}{1}=\frac{y+\frac{3}{5}}{1}=\frac{z+\frac{2}{5}}{1}$.

Lời giải
Chọn B
Theo bài, d \perp ( P ) \implies u d = n( P ) = (1;0; -3) .
Vậy đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x - 3z + 2 = 0 có một vectơ chỉ phương là
u = (1;0; -3) .

Lời giải
Chọn C
Vì d \perp ( P ) \implies ud = nP (1;1; -1) với ud , nP lần lượt là VTCP của đường thẳng d và VTPT của
A.

mặt phẳng ( P ) .

x +1 y - 2 z -1
=
=
1
1
-1

Lời giải

D. 5.

Chọn A
Gọi u = ( a; b; c ) là vectơ chỉ phương của d . u \perp n( P ) nên a - b + 3c = 0 \iff b = a + 3c .
\implies u = ( a; a + 3c; c ) .

Ta có cos ( a; $\Delta$ ) = cos30o \iff

2a + a + 3c + c

=

6 2a 2 + 6ac + 10c 2
Xét c = 0 \implies a = b , d vectơ chỉ phương u = ( 9;9;0 ) .

[c = 0
3
\iff -6ac = 58c 2 \iff [
.
-
3
a
=
29
c
2
]

Xét -3a = 29c , d vectơ chỉ phương u = ( -29; -20;3) .
Vậy a + b + c + d = 9 + 0 + ( -29 ) + 3 = -8 .

a) Đúng: Vì $d\perp (P)$ nên VTPT ${\vec{n}}_P=(1;-2;-1)$ là một VTCP của $d$.
b) Đúng: Đường thẳng $d$ đi qua $A(3;-1;-2)$ có VTCP $\vec{u}=(1;-2;-1)$ có PTTS $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1-2t\\ z=-2-t\end{array}$.
c) Sai: Với $t=1$ ta được $M(4;-3;-3)\in d$.
d) Đúng: Với $t=-1$ ta được $N(2;1;-1)\in d$, và $2-2(1)-(-1)-1=0\Rightarrow N\in (P)$.

Chọn A.
Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên nhận vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;2;-3)$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_1=(1;2;-3)$.

Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;0;-1)$ và có VTCP $\vec{u}=(2;1;-1)$. Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;0;2)$. Vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 1+1\cdot 0+(-1)\cdot 2=0$ và $M\notin (P)$ ($1+2(-1)-7=-8\ne 0$) nên $d$ song song với $(P)$.

Mặt phẳng Oxy có VTPT n k 0;0;1 .
Đường thẳng d có VTCP u 1; 2; 2 .
0.1 0.2 1.2 2
Vậy sin sin d , Oxy cos n, u .
0 2
0 2 2
1. 1 2
2 2
2 2 3

Do d đi qua M ( 0;1; 2 ) và vuông góc với ( P ) nên d nhận véc tơ pháp tuyến n = (1; 2; -2 ) của
( P ) làm véc tơ chỉ phương .


x y -1 z - 2
Suy ra d : = = .
1 2 -2
a b -1 0 - 2
Mặt khác A ( a; b;0 ) $\in$ d nên ta có = = \implies a = 1, b = 3 .
1 2 -2
Vậy a + b = 4 .

Chọn A.
Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$2(-1-3t)+3(-2+t)+(4-2t)-1=0\iff -2-6t-6+3t+4-2t-1=0\iff -5t-5=0\iff t=-1$.
Với $t=-1$, ta có:
$x=-1-3(-1)=2$, $y=-2+(-1)=-3$, $z=4-2(-1)=6$.
Vậy $M(2;-3;6)$.

Chọn B.
Vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=(2;1;3)$, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;2;1)$.
Vì $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(2\cdot 3-1\cdot 1;1\cdot 2-1\cdot 3;1\cdot 1-2\cdot 2)=(5;-1;-3)$.
Giao điểm $A$ của $d$ và $(P)$:
$d:x=-1+2t,y=t,z=-2+3t$.
Thay vào $(P)$: $(-1+2t)+2(t)+(-2+3t)-4=0\iff 7t-7=0\iff t=1$.
Suy ra tọa độ giao điểm $A(1;1;1)$.
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ có VTPT ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;1;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;-2;1)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và vuông góc với $(\alpha )$ có VTPT là:
${\vec{n}}_P=[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{u}}_{\Delta }]=(1(1)-(-2)(-2);-2(2)-1(1);1(-2)-1(2))=(-3;-5;-4)=-(3;5;4)$.
Vectơ chỉ phương của hình chiếu ${\Delta }^{\prime }=(P)\cap (\alpha )$ là:
${\vec{u}}_{{\Delta }^{\prime }}=[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_{\alpha }]=((-5)(-2)-(-4)(1);(-4)(1)-(-3)(-2);(-3)(1)-(-5)(1))=(14;-10;2)=2(7;-5;1)$.
Tìm giao điểm $M={\Delta }^{\prime }\cap \dots$: Lấy điểm $M(-1;1;-1)$ thuộc $(\alpha )$ vì $-1+1-2(-1)-2=0$, đồng thời thuộc $(P)$ vì $3(-1)+5(1)+4(-1)+2=0$.
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là:
$\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+1}{1}$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn D. Giao điểm của $d$ và $(P)$ ứng với $2(-1+t)-(-1-t)+2(-2-2t)+3=0\iff t=-2$, tức là $I(-3;1;2)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(4;6;-1)$, nên phương trình $\Delta$ là $\frac{x+3}{4}=\frac{y-1}{6}=\frac{z-2}{-1}$.

Đường thẳng đi qua $M(4;1;3)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2;3)$ của $(P)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{3}$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm và $A=\Delta \cap d⟹A(1+t;2+t;3+t)$.

Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{MA}=(t;t;1+t)$.

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;1)$.

Do $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{MA}\perp \vec{n}⟺\overrightarrow{MA}\cdot \vec{n}=0$:
$t(1)+t(-1)+(1+t)(1)=0⟺1+t=0⟺t=-1.$
Với $t=-1$, ta có $\overrightarrow{MA}=(-1;-1;0)=-(1;1;0)$.

Kiểm tra tọa độ điểm $M(1;2;2)\notin (P)$ (vì $1-2+2+3=4\ne 0$).

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1;2;2)$ nhận $\vec{u}=(-1;-1;0)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
$\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-t\\ z=2\end{array}.$

Véctơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }=(-2;0;1)$, véctơ pháp tuyến ${\vec{n}}_Q=(1;2;-1)$.

Gọi $M=\Delta \cap (Q)⟹M(1-2t;1;2+t)\in (Q)⟹1-2t+2-2-t+2=0⟺t=1⟹M(-1;1;3)$.

Lấy $A(1;1;2)\in \Delta$, gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(Q)⟹H\left(\frac{1}{2};0;\frac{5}{2}\right)$.

$A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $(Q)⟹A^{\prime }(0;-1;3)⟹\overrightarrow{A^{\prime }M}=(-1;2;0)$.

${\Delta }^{\prime }$ đi qua $A^{\prime }(0;-1;3)$ và có VTCP $\vec{u}=(-1;2;0)$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-1+2t\\ z=3\end{array}$.

Cho $t=-2$ ta thấy điểm $(2;-5;3)\in {\Delta }^{\prime }$.