Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^0<\alpha <180^0$ và $\tan \alpha =2>0$ nên $\alpha$ là góc nhọn, do đó $\cos \alpha >0$. Ta có ${\sin }^2\alpha =\frac{{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{5}$ nên $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$. Khi đó $$B=\frac{2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}=1.$$ Vậy $B=1$. (Cách khác: chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$, được $B=\frac{2\tan \alpha -1}{\tan \alpha +1}=\frac{4-1}{2+1}=1$.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=\cos 2x+1=2{\cos }^{2}x=2(1-{\sin }^{2}x)=2\left(1-\frac{4}{9}\right)=\frac{10}{9}\approx 1,11$. Vậy $A\approx 1,11$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$ và $\sin \alpha <0$. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. Khi đó $\sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Vậy $\cos \alpha +\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B,C$ là ba góc của tam giác $ABC$ nên $A+B+C=180^{\circ }$, suy ra $A+B=180^{\circ }-C$.
Do đó:
$$\cos (A+B+2C)=\cos ((A+B)+2C)=\cos (180^{\circ }-C+2C)=\cos (180^{\circ }+C).$$
Áp dụng công thức góc bù trừ: $\cos (180^{\circ }+C)=-\cos C$.
Vậy $\cos (A+B+2C)=-\cos C$ (điều phải chứng minh).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}\cos (k\pi )+\cos \frac{\pi }{4}\sin (k\pi )=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-1{)}^k+0=(-1{)}^k\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Giải thích: với $k$ chẵn, $k=2m$ thì $\frac{\pi }{4}+2m\pi$ là góc đồng vị với $\frac{\pi }{4}$ nên $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2m\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Với $k$ lẻ, $k=2m+1$ thì $\frac{\pi }{4}+(2m+1)\pi =\frac{\pi }{4}+\pi +2m\pi$, và $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=(-1{)}^k\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2}}{2},& k\text{ cha˘˜n}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2},& k\text{ lẻ}\end{array}$, với mọi $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P$ cho $\cos \alpha$ (với $\cos \alpha \ne 0$ vì $\tan \alpha =-2$): $P=\frac{\tan \alpha +3}{1+3\tan \alpha }=\frac{-2+3}{1+3(-2)}=\frac{1}{-5}=-0,2$. Điều kiện $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ chỉ xác định dấu của sin, cos nhưng không ảnh hưởng kết quả vì biểu thức chỉ phụ thuộc $\tan \alpha$. Vậy $P=-0,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu cho $\cos x$ (vì $\cot x=2$ nên $\cos x\ne 0$): $A=\frac{2\tan x+3}{3\tan x-2}$. Với $\cot x=2$ thì $\tan x=\frac{1}{2}$, do đó $A=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+3}{3\cdot \frac{1}{2}-2}=\frac{1+3}{\frac{3}{2}-2}=\frac{4}{-\frac{1}{2}}=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x-\sin x=2\cos \frac{3x+x}{2}\sin \frac{3x-x}{2}=2\cos 2x\sin x$ và mẫu số $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$. Do đó $y=\frac{2\cos 2x\sin x}{\cos 2x}=2\sin x$ (với $\cos 2x\ne 0$). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A=\frac{2\sin x+3\cos x}{3\sin x-2\cos x}$ cho $\cos x$ (vì $\cot x=2$ nên $\cos x\ne 0$): $A=\frac{2\tan x+3}{3\tan x-2}$. Vì $\cot x=2$ nên $\tan x=\frac{1}{2}$. Do đó $A=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+3}{3\cdot \frac{1}{2}-2}=\frac{1+3}{\frac{3}{2}-2}=\frac{4}{-\frac{1}{2}}=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin 3x-\sin x=2\cos \frac{3x+x}{2}\sin \frac{3x-x}{2}=2\cos 2x\sin x$. Mẫu số: $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$. Do đó $y=\frac{2\cos 2x\sin x}{\cos 2x}=2\sin x$ (với $\cos 2x\ne 0$). Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $A+C=180^{\circ }-B$. Khi đó: $\cos (A+C)=\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B$ (A sai); $\sin (A+C)=\sin (180^{\circ }-B)=\sin B$ (B sai); $\tan (A+C)=\tan (180^{\circ }-B)=-\tan B$ (C đúng, với $B\ne 90^{\circ }$); $\cot (A+C)=-\cot B$ (D sai). Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (theo công thức biến đổi tổng thành tích), nên khẳng định a đúng. Với $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$, khẳng định b đúng. Phương trình $g(x)=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$ ta được $x=\frac{3\pi }{4}$ và $x=\frac{7\pi }{4}$, tức có đúng 2 nghiệm, khẳng định c đúng. Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $\max g(x)=\sqrt{2}\ne 2$, khẳng định d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ cả $\sin x$ và $\cos x$ đều âm nên $g(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=0\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $[0;2\pi ]$ có $x=\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$: đúng 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\max g(x)=\sqrt{2}$, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức hiệu hai cos: $\cos (a-b)-\cos (a+b)=2\sin a\sin b$. Do đó $2\sin a\sin b=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$, suy ra $\sin a\sin b=\frac{1}{24}\approx 0,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x<0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, suy ra $\cos x=-\frac{4}{5}$. Khi đó $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=-\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$. Thay vào: $A=\frac{3\cdot \frac{5}{13}+4\cdot (-\frac{12}{13})-2}{2\cdot \frac{5}{13}-5\cdot (-\frac{12}{13})}=\frac{\frac{15-48-26}{13}}{\frac{10+60}{13}}=\frac{-59}{70}\approx -0,843\approx -0,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$.
Thay vào $A=\frac{3\sin \alpha +4\cos \alpha -2}{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$:
Tử số: $3\cdot \frac{5}{13}+4\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)-2=\frac{15-48}{13}-2=-\frac{33}{13}-\frac{26}{13}=-\frac{59}{13}$.
Mẫu số: $2\cdot \frac{5}{13}-5\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{10+60}{13}=\frac{70}{13}$.
Vậy $A=\frac{-59/13}{70/13}=-\frac{59}{70}\approx -0,842\approx -0,8$ (làm tròn đến hàng phần mười). Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{49}}=-\sqrt{\frac{45}{49}}=-\frac{3\sqrt{5}}{7}$.

b) $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

- Trường hợp 1: $2x=k2\pi \iff x=k\pi$.
- Trường hợp 2: $2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm $S=\left\{k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$, $\tan \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{12}{5}$.

b) i) $\cos 2x=1\iff 2x=2k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

ii) $\sin \left(\frac{\pi }{5}-x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
Trường hợp 1: $\frac{\pi }{5}-x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{20}-k2\pi =-\frac{\pi }{20}+k2\pi$.
Trường hợp 2: $\frac{\pi }{5}-x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{11\pi }{20}+k2\pi$.
Vậy $S=\left\{-\frac{\pi }{20}+k2\pi ;-\frac{11\pi }{20}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Với $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$, $x$ ở góc phần tư thứ IV nên $\cos x>0$, $\sin x<0$. Ta có $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow {\cos }^{2}x=\frac{1}{1+\frac{1}{9}}=\frac{9}{10}\Rightarrow \cos x=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Khi đó $\sin x=\tan x\cdot \cos x=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Câu b) $\cot 5x=\sqrt{3}\iff 5x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{30}+\frac{k\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm $S=\left\{\frac{\pi }{30}+\frac{k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\frac{\pi }{2}<x<0$ nên $x$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\sin x<0$, $\tan x<0$, $\cot x<0$.

Ta có:
$$\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{4}{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=-\frac{1}{2}.$$

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=-2.$$

Vậy $\sin x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\tan x=-\frac{1}{2}$, $\cot x=-2$ (và $\cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ như đã cho).