Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=\pi$ nên $\cos C=-\cos (A+B)=-(\cos A\cos B-\sin A\sin B)$. Với $\cos A=\frac{4}{5}$ thì $\sin A=\frac{3}{5}$ (vì $0<A<\pi$ và $\cos A>0$); với $\cos B=\frac{5}{13}$ thì $\sin B=\frac{12}{13}$. Do đó $\cos C=-\left(\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}\right)=-\left(\frac{20}{65}-\frac{36}{65}\right)=\frac{16}{65}$. Phân số tối giản với $m=16,n=65$, nên $2n-m=130-16=114$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2x$, khi đó $y={\cos }^{2}t-\sin t+2026$. Đặt $u=\sin t\in [-1;1]$, ta có $y=1-u^2-u+2026=2027-u^2-u$. Xét $g(u)=-u^2-u$ trên $[-1;1]$: hàm parabol có đỉnh $u=-\frac{1}{2}$ (điểm lớn nhất cục bộ), nên giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút: $g(-1)=0$, $g(1)=-2$. Vậy $\min y=2027-2=2025$, đạt khi $\sin 2x=1$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d=10\sqrt{5}$ (m) là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường. Vì tường thẳng đứng, mục tiêu cao $25$ m góc ngắm $\alpha$ nên $\tan \alpha =\frac{25}{10\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Khi giảm góc ngắm đi một nửa, mục tiêu cao $10$ m nên $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{10}{10\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Kiểm tra: $\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, thỏa mãn. Do đó ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{5}{6}$. Vậy $P=3{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=3\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $\frac{A+C}{2}=\frac{180^{\circ }-B}{2}=90^{\circ }-\frac{B}{2}$. Do đó $\cos \frac{A+C}{2}=\cos \left(90^{\circ }-\frac{B}{2}\right)=\sin \frac{B}{2}$ và $\sin \frac{A+C}{2}=\sin \left(90^{\circ }-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{B}{2}$ (các mẫu đều khác 0 vì $0^{\circ }<B<180^{\circ }$).

Hai số hạng đầu:
$$\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{A+C}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{A+C}{2}}=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}}={\sin }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}=1.$$

Số hạng thứ ba: $\cos (A+C)=\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B$, nên
$$-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}\cdot \tan B=-\frac{-\cos B}{\sin B}\cdot \frac{\sin B}{\cos B}=1.$$

Vậy biểu thức bằng $1+1=2$ (điều kiện $\sin B\ne 0$, $\cos B\ne 0$ thỏa với góc trong tam giác, trừ trường hợp biên). Đẳng thức được chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng gồm các số hạng sin²2°, sin²4°, ..., sin²88°, tức 44 số hạng (góc chẵn từ 2° đến 88°). Ghép từng cặp: sin²x + sin²(90° − x) = sin²x + cos²x = 1. Cụ thể: sin²2° + sin²88° = 1, sin²4° + sin²86° = 1, ..., sin²44° + sin²46° = 1. Vậy có 44/2 = 22 cặp, tổng bằng 22.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $D=\cos 1^{\circ }+\cos 2^{\circ }+\dots +\cos 180^{\circ }$. Nhóm các số hạng đối xứng qua $90^{\circ }$: với mỗi $k=1,2,\dots ,89$, ta có $\cos k^{\circ }+\cos (180^{\circ }-k^{\circ })=\cos k^{\circ }-\cos k^{\circ }=0$ (vì $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$). Do đó toàn bộ các số hạng từ $\cos 1^{\circ }$ đến $\cos 89^{\circ }$ triệt tiêu với các số hạng từ $\cos 179^{\circ }$ đến $\cos 91^{\circ }$. Còn lại: $\cos 90^{\circ }=0$ và $\cos 180^{\circ }=-1$. Vậy $D=0+(-1)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
D có 18 số hạng (từ 10° đến 180° bước 10°). Dùng công thức cos²θ = (1+cos2θ)/2: D = Σ(1+cos2θ)/2 = 18/2 + (1/2)Σcos(20°,40°,...,360°). Tổng các cos của 18 góc cách đều 20° chia hết vòng tròn 360° bằng 0 (tổng vectơ các gốc thứ 18 của đơn vị), nên D = 9.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2{\cos }^{2}2a-1=\cos 4a$ nên tử số bằng $\cos 4a+\sqrt{3}\sin 4a=2\sin \left(4a+\frac{\pi }{6}\right)$. Tương tự $2{\sin }^{2}2a-1=-\cos 4a$ nên mẫu số bằng $-\cos 4a+\sqrt{3}\sin 4a=2\sin \left(4a-\frac{\pi }{6}\right)$. Vậy $A=\frac{\sin \left(4a+\frac{\pi }{6}\right)}{\sin \left(4a-\frac{\pi }{6}\right)}$, khớp với đáp án C trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi /2<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$. Từ $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{6}}$: $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\sqrt{5}$. Rút gọn các số hạng: $\sin (7\pi -\alpha )=\sin \alpha$; $\cos \left(\frac{17\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left(8\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$; $\tan (2025\pi +\alpha )=\tan \alpha$. Vậy $A=\sin \alpha -\sin \alpha -2\tan \alpha =-2\tan \alpha =2\sqrt{5}$, trùng với đáp án $2\sqrt{5}$ của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1) Vì π/2 < α < π nên sinα > 0. sinα = √(1 − cos²α) = √(1 − 25/169) = 12/13.
cos2α = 2cos²α − 1 = 2·(25/169) − 1 = −119/169.
sin(α − π/6) = sinα·cos(π/6) − cosα·sin(π/6) = (12/13)(√3/2) − (−5/13)(1/2) = (12√3 + 5)/26.
sin2α = 2 sinα cosα = 2·(12/13)(−5/13) = −120/169; tan2α = sin2α/cos2α = (−120/169)/(−119/169) = 120/119.
Vì α/2 ∈ (π/4, π/2) nên cos(α/2) > 0: cos(α/2) = √((1 + cosα)/2) = √((1 − 5/13)/2) = √(4/13) = 2√13/13.
Bài 2) Bình phương hai vế: (sinα + cosα)² = 1/4 ⇒ 1 + 2sinαcosα = 1/4 ⇒ sin2α = −3/4.
Từ sinαcosα = −3/8 < 0 và sinα + cosα = 1/2 > 0 suy ra α ở góc phần tư thứ II (sinα > 0, cosα < 0), do đó 2α ∈ (π, 3π/2) và sin2α < 0 ⇒ cos2α < 0: cos2α = −√(1 − 9/16) = −√7/4.
Vậy sin4α = 2 sin2α cos2α = 2·(−3/4)·(−√7/4) = 3√7/8.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (Phần 4 — Tự luận), lời giải đầy đủ:

1a) VT $=\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin 2x-\cos 2x}=\frac{(\sin x+\cos x{)}^2+\cos 2x}{(\sin x+\cos x{)}^2-\cos 2x}$. Ta có $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2$, nên:
Tử số $=(\sin x+\cos x{)}^2+(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)=(\sin x+\cos x)[(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)]=2\cos x(\sin x+\cos x)$.
Mẫu số $=(\sin x+\cos x{)}^2-(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)=(\sin x+\cos x)[(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)]=2\sin x(\sin x+\cos x)$.
Vậy VT $=\frac{2\cos x(\sin x+\cos x)}{2\sin x(\sin x+\cos x)}=\cot x$ (điều kiện $\sin x\ne 0$, $\sin x+\cos x\ne 0$). Đpcm.

1b) VT $=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha }=\frac{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )}={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =$ VP (với $\sin \alpha \cos \alpha \ne 0$, ${\cos }^2\alpha \ne {\sin }^2\alpha$). Đpcm.

1c) VT $=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\frac{1}{\tan \beta }-\frac{1}{\tan \alpha }}=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\tan \alpha \tan \beta }}=\tan \alpha \tan \beta =$ VP (với $\tan \alpha \tan \beta \ne 0$, $\tan \alpha \ne \tan \beta$). Đpcm.

1d) VT $=\frac{1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x}=\frac{({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{1+2\sin x\cos x}=\frac{({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x{)}^2}{1+2\sin x\cos x}=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2(\sin x+\cos x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=(\sin x-\cos x{)}^2=$ VP (với $\sin x+\cos x\ne 0$). Đpcm.

2) Vì $A,B,C$ là ba góc của tam giác nên $A+B+C=\pi$, suy ra $A+B=\pi -C$. Do đó:
$\sin (A+B+2C)=\sin [(A+B+C)+C]=\sin (\pi +C)=-\sin C$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. a) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-3\le 3\sin x\le 3$, do đó $-16\le 3\sin x-13\le -10$. Vậy $\max y=-10$ khi $\sin x=1$ ($x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$), $\min y=-16$ khi $\sin x=-1$ ($x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$).

b) Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, khi đó ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-t^2$. Hàm số trở thành $y=1-t^2+t-2026=-t^2+t-2025=-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{8099}{4}$ với $t\in [-1;1]$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{1}{2}$: $\max y=-\frac{8099}{4}=-2024,75$, khi $\cos x=\frac{1}{2}$ ($x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$). Giá trị nhỏ nhất tại đầu mút $t=-1$: $\min y=-1-1-2025=-2027$, khi $\cos x=-1$ ($x=\pi +k2\pi$). (Kiểm tra tại $t=1$: $y=-2025$, lớn hơn $-2027$.)

c) Vì $0\le {\sin }^{2}2x\le 1$ nên $-2\le -2{\sin }^{2}2x\le 0$, suy ra $3\le 5-2{\sin }^{2}2x\le 5$. Vậy $\max y=5$ khi $\sin 2x=0$ ($2x=k\pi$, tức $x=\frac{k\pi }{2}$), $\min y=3$ khi ${\sin }^{2}2x=1$ ($2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$).

Biến đổi phương trình dao động về dạng chuẩn:

$$x_1(t)=-3\cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{4}\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{4}+\pi \right)=3\cos \left(\frac{\pi }{2}t+\frac{3\pi }{4}\right)\text{ (cm)}.$$

a) Biên độ dao động là $A=3$ cm. Pha ban đầu là $\phi =\frac{3\pi }{4}$ rad (thỏa mãn điều kiện $\phi \in [-\pi ;\pi ]$).

b) Tần số góc $\omega =\frac{\pi }{2}$ rad/s.

Chu kỳ dao động là $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{2}}=4$ s.

Thời gian $\Delta t=1$ phút $=60$ s.

Số dao động toàn phần vật thực hiện được là $N=\frac{\Delta t}{T}=\frac{60}{4}=15$ dao động.

Biến đổi tử thức:

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=(\sin 3x+\sin x)+\sin 2x=2\sin 2x\cos x+\sin 2x=\sin 2x(2\cos x+1).$$

Biến đổi mẫu thức:

$$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=(\cos 3x+\cos x)+\cos 2x=2\cos 2x\cos x+\cos 2x=\cos 2x(2\cos x+1).$$

Rút gọn biểu thức $A$:

$$A=\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x.$$

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\sin \alpha <0$, $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$.
a) $y=2{\sin }^{2}x-\sin 2x-1+\sin \alpha =-\cos 2x-\sin 2x-\frac{12}{13}=-\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{12}{13}$. Giá trị nhỏ nhất của $y$ là $-\sqrt{2}-\frac{12}{13}$, khác $\frac{14}{13}$. Sai.
b) Phương trình $\sin x=\sin \alpha =-\frac{12}{13}$ với $-1<-\frac{12}{13}<0$. Trên khoảng $(0;2\pi )$, đường thẳng $y=-\frac{12}{13}$ cắt đồ thị hàm số $y=\sin x$ tại đúng 2 điểm, cụ thể là $x=\alpha$ và $x=3\pi -\alpha$. Đúng.
c) $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=-\frac{119}{169}$, $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{120}{169}$. Khi đó $$\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\alpha =-\frac{119+120\sqrt{3}}{338}<0.$$ Sai.
d) $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$. Đúng.
a) $y=2{\sin }^{2}x-\sin 2x-1+\sin \alpha =-\cos 2x-\sin 2x-\frac{12}{13}=-\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{12}{13}$. Giá trị nhỏ nhất của $y$ là $-\sqrt{2}-\frac{12}{13}$, khác $\frac{14}{13}$. Sai.
b) Phương trình $\sin x=\sin \alpha =-\frac{12}{13}$ với $-1<-\frac{12}{13}<0$. Trên khoảng $(0;2\pi )$, đường thẳng $y=-\frac{12}{13}$ cắt đồ thị hàm số $y=\sin x$ tại đúng 2 điểm, cụ thể là $x=\alpha$ và $x=3\pi -\alpha$. Đúng.
c) $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=-\frac{119}{169}$, $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{120}{169}$. Khi đó $$\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\alpha =-\frac{119+120\sqrt{3}}{338}<0.$$ Sai.
d) Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\sin \alpha <0$, $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$. Đúng.

Đáp án: -0,3.

Ta có: $\frac{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}=\frac{(\cos x+\cos 3x)-\cos 2x}{(\sin x+\sin 3x)-\sin 2x}=\frac{2\cos 2x\cos x-\cos 2x}{2\sin 2x\cos x-\sin 2x}$

$=\frac{\cos 2x(2\cos x-1)}{\sin 2x(2\cos x-1)}=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\cot 2x;$

Lại có: $\sin x-\cos x=\frac{1}{5}\Rightarrow (\sin x-\cos x{)}^2=1-\sin 2x=\frac{1}{25}\Rightarrow \sin 2x=\frac{24}{25}$.

Ta có ${\cos }^{2}2x=1-{\sin }^{2}2x=1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}$.

Do $\frac{\pi }{2}<2x<\pi \Rightarrow \cos 2x=-\frac{7}{25}$. Vậy $A=\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=-\frac{7}{24}\approx -0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\sin a+\cos a=\sqrt{2}$, bình phương hai vế: $1+2\sin a\cos a=2$, suy ra $\sin a\cos a=\frac{1}{2}$. Khi đó ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a{)}^2-2{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a=1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Vậy biểu thức cần tính bằng $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}=0,75$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai sin: $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=2\sin x\cos \frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\sqrt{3}\sin x$. a) $f(x)=0\iff \sqrt{3}\sin x=0\iff \sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ → Đúng. b) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $\max f(x)=\sqrt{3}\ne 2$ → Sai. c) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ → Đúng. d) Như trên, $f(x)=\sqrt{3}\sin x$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn Đ-S-Đ-Đ (mã đề 1001, câu 15).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\sqrt{3}\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\max f(x)=\sqrt{3}$, không phải 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm sin xác định trên toàn $\mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2\sin x\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\sin x$.

$(\sin \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \beta -\cos \alpha {)}^2=({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+({\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta )-2(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )=2-2\sin (\alpha +\beta )$.
Do đó $2-2\sin (\alpha +\beta )=1,5\iff \sin (\alpha +\beta )=0,25$.

Ta có: $2-2i=2(1-i)=2\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)=2^{3/2}{e}^{-i\pi /4}$.
Hoặc tính: $(2-2i{)}^2=4-8i-4=-8i$.
Khi đó:
$(2-2i{)}^{2018}={\left((2-2i{)}^2\right)}^{1009}=(-8i{)}^{1009}=(-8{)}^{1009}\cdot i^{1009}=-8^{1009}\cdot i$.
Do đó: $a=0$ và $b=-8^{1009}$.
Vậy $P=a+b=-8^{1009}$.