Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: A đúng theo công thức sin(a-b)=sin a cos b - cos a sin b. B đúng: cos(a-b)=cos a cos b + sin a sin b. C đúng: cos a cos b = ½[cos(a+b)+cos(a-b)]. D sai vì công thức đúng là cos a + cos b = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2), không phải 2cos(a+b)cos(a-b). Đáp án khớp với mã đề 1105, câu 15: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$, $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$, $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$. Do đó A, B, D đúng. Công thức C sai vì vế phải $\frac{1}{2}[\sin (a-b)-\sin (a+b)]=-\cos a\sin b$, không bằng $\sin a\cos b$. Khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi) Theo bảng đáp án mã đề 102, Phần II Câu 2: SĐĐS. a) Sai: $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$. b) Đúng: $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\cos \alpha <0$. c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$. d) Sai: $\sin 2\alpha =-\frac{24}{5}$, không bằng $-\frac{23}{5}$.
a) (AI giải đề cho tôi) Với $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ ta có $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$, $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$. Khi đó $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\sqrt{3}}{1-\tan \alpha \sqrt{3}}=\frac{-\frac{3}{4}+\sqrt{3}}{1+\frac{3\sqrt{3}}{4}}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}\ne \frac{48-5\sqrt{3}}{11}$. Vậy ý a) Sai (đáp án bảng mã đề 102: S).
b) (AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Vậy ý b) Đúng (đáp án bảng mã đề 102: Đ).
c) (AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$ và $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vậy ý c) Đúng (đáp án bảng mã đề 102: Đ).
d) (AI giải đề cho tôi) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{5}\ne -\frac{23}{5}$ (thêm nữa, $-\frac{23}{5}\notin [-1;1]$ nên không thể là giá trị của sin). Vậy ý d) Sai (đáp án bảng mã đề 102: S).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (sin của góc bù bằng sin của góc). Ví dụ kiểm tra: với $\alpha =30^{\circ }$, $\sin (150^{\circ })=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102, câu 9: A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)+\sin (a+b)\right]$. Do đó phát biểu ở phương án A (dấu trừ giữa hai số hạng) là SAI; phương án D đúng. Kiểm tra: $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]$ (B đúng), $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$ (C đúng). Vậy công thức SAI là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên cosα<0, cosα=−√(1−9/25)=−4/5 (d đúng, b đúng). tanα=sinα/cosα=−3/4. tan(α+π/3)=(tanα+√3)/(1−tanα√3)=(−3/4+√3)/(1+3√3/4)=(4√3−3)/(4+3√3). Nhân với (4−3√3): tử (4√3−3)(4−3√3)=25√3−48, mẫu 16−27=−11, nên tan(α+π/3)=(48−25√3)/11 ≠ (48−5√3)/11 → a sai. sin2α=2 sinα cosα=2·(3/5)(−4/5)=−24/5 ≠ −23/5 → c sai. Kết quả SĐSĐ khớp bảng đáp án mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
tanα=−3/4 nên tan(α+π/3)=(−3/4+√3)/(1+3√3/4)=(48−25√3)/11, khác (48−5√3)/11 nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π (góc ở góc phần tư thứ II) nên cosα<0.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2α=2 sinα cosα=2·(3/5)·(−4/5)=−24/5 ≠ −23/5 nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosα=−√(1−sin²α)=−√(1−9/25)=−4/5 (âm vì α ở góc phần tư II), đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (góc bù nhau có sin bằng nhau). Ví dụ kiểm tra: với $\alpha =30^{\circ }$, $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của mã đề 101 trong bảng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: A sai vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. B sai vì $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$. C sai vì $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. D đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$. Ta có $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. a) Sai vì $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (dấu âm). b) Sai vì $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\cdot \frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{5}}{9}\ne \sin \alpha \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{9}$. c) Đúng vì $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$. d) Đúng vì $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{15}}{6}=\frac{2+\sqrt{15}}{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Do $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV nên $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, không phải $+\frac{\sqrt{5}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{4\sqrt{5}}{9}\ne \sin \alpha \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2+\sqrt{15}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=6$ vào công thức: $B(6)=82+6\sin \left(\frac{\pi \cdot 6}{12}\right)=82+6\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=82+6\cdot 1=88$ (mmHg). Kết quả khớp với đáp án nguồn 88.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng lượng giác: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (đúng, chọn B). A sai dấu; C đúng phải là $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$; D đúng phải là $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$. Khớp với đáp án nguồn: B.

a) Dao động tổng hợp $x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A.\cos (\omega t+\phi )$ được biểu diễn như sau:



$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}\Rightarrow O{A}_{1}A{A}_2\text{ laˋ hıˋnh bıˋnh haˋnh}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A{A}_2=O{A}_1=3\\ \widehat{A_{2}OA}={\phi }_2-{\phi }_1=-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

Lại có: $O{A}_1=O{A}_2=3\Rightarrow O{A}_{1}A{A}_2$ là hình vuông cạnh bằng 3.

Suy ra biên độ của dao động tổng hợp $OA=O{A}_1.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, pha ban đầu $\widehat{xOA}=45^o-\widehat{xO{A}_2}=45^o-30^o=15^o=\frac{\pi }{12}$.

b) Điều kiện xác định: $y>-3;x>-2$

Ta có: $x^2+4x-y+3={\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6=2{\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6={\log }_2\frac{2y+3}{x^2+4x+4}$$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6={\log }_2\left(\frac{2y+3}{2x^2+8x+8}.2\right)$$

$$\iff 2x^2+8x+8+{\log }_2\left(2x^2+8x+8\right)=2y+3+{\log }_2\left(2y+3\right)$$

Xét hàm số $f(t)=t+{\log }_{2}t,t>0$ có $f^{\prime }(t)=1+\frac{1}{\ln 2.t}>0,\forall t>0\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$

Lại có: $f\left(2x^2+8x+8\right)=f(2y+3)\Rightarrow 2x^2+8x+8=2y+3\iff 2x^2+8x+5=2y(dpcm)$

Khi đó: $P=e^{2x-1}+4x^2+4x-2y-3=e^{2x-1}+4x^2+4x-\left(2x^2+8x+8\right)=e^{2x-1}+2x^2-4x-8=f(x)$

Có $f^{\prime }(x)=2.e^{2x-1}+4x-4\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)=4.e^{2x-1}+4>0,\forall x$

Do đó $f^{\prime }(x)$ đồng biến trên tập xác định của nó.

Mặt khác $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$, suy ra $f^{\prime }(x)=0$ có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}$.

Xét bảng biến thiên:



Vậy $\min P=\min f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{17}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{19}{4}\end{array}$.

c) Giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm trên là điểm chia tập giá trị thành 2 phần, với 1 phần là 75\% dữ liệu nằm dưới hoặc bằng giá trị này, phần còn lại thể hiện 25\% dữ liệu nằm trên nó. Trong bài toán này, để chọn được 25\% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể thao của xã, ta cần tìm giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho

Cỡ mẫu $n=2+7+20+31+25+12+3=100\Rightarrow \frac{3}{4}n=75$

Suy ra $Q_3\in [170;175)\Rightarrow Q_3=170+\frac{75-(2+7+20+31)}{25}.(175-170)=173$

Vậy các bạn được chọn có chiều cao từ 173 $cm$ trở lên.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $B=\cos 0^{\circ }+\cos 20^{\circ }+\cos 40^{\circ }+\cdots +\cos 160^{\circ }+\cos 180^{\circ }$ gồm 10 số hạng cách đều $20^{\circ }$. Nhóm các cặp đối xứng qua $90^{\circ }$: $\cos 20^{\circ }+\cos 160^{\circ }=\cos 20^{\circ }-\cos 20^{\circ }=0$; tương tự $\cos 40^{\circ }+\cos 140^{\circ }=0$, $\cos 60^{\circ }+\cos 120^{\circ }=0$, $\cos 80^{\circ }+\cos 100^{\circ }=0$, và $\cos 0^{\circ }+\cos 180^{\circ }=1+(-1)=0$. Vậy $B=0$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $B=\cos 0^0+\cos 20^0+\cos 40^0+\cos 60^0+\cos 80^0+\cos 100^0+\cos 120^0+\cos 140^0+\cos 160^0+\cos 180^0$ gồm 10 số hạng. Nhóm các cặp đối xứng qua $90^0$: $\cos 20^0+\cos 160^0=\cos 20^0-\cos 20^0=0$; tương tự $\cos 40^0+\cos 140^0=0$, $\cos 60^0+\cos 120^0=0$, $\cos 80^0+\cos 100^0=0$, và $\cos 0^0+\cos 180^0=1+(-1)=0$. Vậy $B=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$, ta có các công thức cung bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (sai), $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (sai), $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (sai). Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\alpha$ ở góc phần II, do đó $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, nên $\cos \alpha =-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức lượng giác: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (đúng), $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng), $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (đúng), còn $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (không phải $-\sin \alpha$). Vậy đẳng thức sai là C.