Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$, $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$, còn $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$. Vậy đẳng thức ở phương án B là sai (đúng phải là $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$). Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in (0^{\circ };90^{\circ })$ nên $\cos \alpha >0$. Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{2}{25}=\frac{23}{25}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{23}}{5}$. Vậy $a=23$ (số nguyên tố), $b=5$, do đó $a-2b=23-10=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (nên D sai), $\cos 150^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (C đúng), $\tan 150^{\circ }=-\tan 30^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (nên B sai vì thiếu dấu âm), $\cot 150^{\circ }=-\sqrt{3}$ (nên A sai vì thiếu dấu âm). Vậy đẳng thức đúng là C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với góc $120^{\circ }$ (góc phần tư thứ II): $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, nên $\tan 120^{\circ }=\frac{\sin 120^{\circ }}{\cos 120^{\circ }}=-\sqrt{3}$ và $\cot 120^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Do đó chỉ đẳng thức ở phương án A đúng; B, C, D đều sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 219, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên A sai; $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên B sai; $\cot 120^{\circ }=\frac{\cos 120^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên C sai; $\tan 120^{\circ }=\frac{\sin 120^{\circ }}{\cos 120^{\circ }}=-\sqrt{3}$ nên D đúng. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 198, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin 180^{\circ }\cos \alpha -\cos 180^{\circ }\sin \alpha =0\cdot \cos \alpha -(-1)\cdot \sin \alpha =\sin \alpha$. Vậy đẳng thức đúng là $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$. Do đó $\tan 30^{\circ }+\cot 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}=\frac{1+3}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 150^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Do đó $\cos 150^{\circ }+\sin 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{3}+1}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ công thức nhân đôi: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\Rightarrow {\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Kiểm tra: với $x=0$, ${\cos }^{2}0=1$ và $\frac{1+\cos 0}{2}=1$ (đúng); phương án B cho $0$ (sai), C và D cho $\frac{1}{2}$ (sai). Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nhân đôi: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, suy ra $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức lượng giác: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ nên A sai. $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ nên B sai. $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ đúng nên C đúng. $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vì $\pi <\beta <\frac{3\pi }{2}$ nên $\beta$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \beta <0$: $\sin \beta =-\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Áp dụng công thức cộng:
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{-1}{3}\cdot \frac{-2}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}=\frac{2-2\sqrt{10}}{9}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng lượng giác: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$. Kiểm tra với $a=b=0$: $\cos 0=1=1\cdot 1-0$, đúng; các phương án khác sai (A cho $\cos (a-b)$, B và D là công thức sin). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng sin: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ đúng với mọi $a,b$. Phương án A là công thức $\sin (a-b)$; B và D sai (chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Đúng, đây là công thức nhân đôi cosin: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$. b) Đúng, áp dụng công thức nhân đôi sin với góc $2x$: $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$. c) Sai, theo công thức góc bù $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\ne \sin x$ (ví dụ $x=0$ thì vế trái bằng 1, vế phải bằng 0). d) Sai, hằng đẳng thức đúng là ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, còn ${\sin }^{2}2x\ne {\sin }^{2}x$ nói chung (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức nhân đôi cosin: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ đúng với mọi $x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Áp dụng $\sin 2u=2\sin u\cos u$ với $u=2x$ ta được $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, không phải $\sin x$. Ví dụ $x=0$: vế trái $=1$, vế phải $=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}2x\ne 1$ nói chung. Ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 1$. Đẳng thức đúng phải là ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^0\le \alpha \le 90^0$, theo công thức cung phụ: $\cos (90^0-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng với mọi $\alpha$ trong khoảng này). Kiểm tra các phương án khác: $\sin (90^0-\alpha )=\cos \alpha \ne -\cos \alpha$ (trừ khi $\cos \alpha =0$), nên B sai; $\sin (90^0-\alpha )=\cos \alpha \ne \sin \alpha$ nói chung, nên C sai; $\tan (90^0-\alpha )=\cot \alpha \ne \tan \alpha$ nói chung, nên D sai. Vậy mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1002, Câu 13 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^0\le \alpha \le 90^0$, ta có công thức góc phụ: $\cos (90^0-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng với mọi $\alpha$ trong khoảng này). Kiểm tra các phương án khác: $\sin (90^0-\alpha )=\cos \alpha \ne \sin \alpha$ nói chung (B sai); $\tan (90^0-\alpha )=\cot \alpha \ne \tan \alpha$ nói chung (C sai); $\sin (90^0-\alpha )=\cos \alpha \ne -\cos \alpha$ (D sai). Vậy mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 15: A).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: B đúng vì $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$ (công thức nhân - chuyển thành tổng). C đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. D đúng vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. A sai vì công thức đúng là $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$, còn $2\cos (a+b)\cos (a-b)=\cos 2a+\cos 2b$. Ví dụ với $a=b=0$: vế trái $=2$, vế phải $=2$, nhưng với $a=\frac{\pi }{2},b=0$: vế trái $=0$, vế phải $=2\cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=0$... kiểm tra lại với $a=\frac{\pi }{3},b=0$: vế trái $=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$, vế phải $=2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{2}$. Vậy đẳng thức sai là A, trùng với đáp án nguồn (đề 1106, câu 9: A).