Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức góc lượng giác: $\sin (90^{\circ }+\alpha )=\cos \alpha$ (A sai); $\tan (90^{\circ }+\alpha )=-\cot \alpha$ (B sai); $\cos (90^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha$ (C đúng); $\cot (90^{\circ }+\alpha )=-\tan \alpha$ (D sai). Vậy khẳng định đúng là C.

Chọn C. Có $\cos \left(90^0-\alpha \right)=\sin \alpha =\frac{1}{3}$. Cách khác bấm máy tính $shift\sin \left(\frac{1}{3}\right)$ để tìm ra $\alpha$ sau đó thế $\alpha$ vào $\cos \left(90^0-\alpha \right)$ sẽ ra đáp án

(AI giải đề cho tôi)
Với $a\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, ta có $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$ với $\cos a\ne 0$. Khi đó $1+{\tan }^{2}a=1+\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}=\frac{{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$. Vậy đẳng thức đúng là $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$. Các phương án A, B, C đều sai (A sai vì $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$ chứ không phải $\frac{1}{{\sin }^{2}a}$; B, C không phải hằng đẳng thức lượng giác đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên α thuộc góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0 và tan α < 0. a) Sai vì cos α < 0. b) Sai vì cos α = -√(1 - 9/25) = -4/5 (không phải 4/5). c) Sai vì tan α = sin α / cos α = (3/5)/(-4/5) = -3/4. d) Đúng: tan(α + π/3) = (tan α + tan π/3)/(1 - tan α · tan π/3) = (-3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 - 3)/(4 + 3√3). Nhân với liên hợp (4 - 3√3): (4√3 - 3)(4 - 3√3)/(16 - 27) = (16√3 - 36 - 12 + 9√3)/(-11) = (25√3 - 48)/(-11) = (48 - 25√3)/11.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên cos α < 0, khẳng định cos α > 0 sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos α = -√(1 - sin²α) = -√(1 - 9/25) = -4/5 (âm vì α ở góc phần tư II), không phải 4/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = (3/5)/(-4/5) = -3/4, không phải 3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan(α + π/3) = (tan α + √3)/(1 - tan α·√3) = (-3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 - 3)/(4 + 3√3) = (4√3 - 3)(4 - 3√3)/(16 - 27) = (25√3 - 48)/(-11) = (48 - 25√3)/11. Đúng.

Chọn C
Có $\cos (\alpha +2025\pi )=\cos (\pi +\alpha +2024\pi )=-\cos \alpha$

Chọn C
Vì $\frac{1}{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \sin \alpha >0$. Nên $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\alpha$ là góc nhọn. Ta có $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, và hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên $(0^{\circ };90^{\circ })$ nên $\alpha =30^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$. Với $\cos \alpha =-\frac{1}{2}$ ta có ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$, suy ra $\cos 2\alpha =2\cdot \frac{1}{4}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}=-0,5$. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất: $-0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$ (đúng). $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$ nên B sai. $\tan (90^{\circ }-x)=\cot x$ nên C sai. $\tan (180^{\circ }-x)=-\tan x$ nên D sai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: sin²x − cos²x = −cos2x, không bằng 1 với mọi x (ví dụ x=0 thì biểu thức bằng −1). b) Đúng: 108° = 108·π/180 = 3π/5. c) Sai: phương trình tan(2x−π/3)=√3 cho 2x−π/3=π/3+kπ, tức x=π/3+kπ/2, không phải x=π/6+kπ/2 (thử x=π/6: tan(0)=0≠√3). d) Sai: hàm y=1/sin x xác định khi sin x≠0, tức x≠kπ, nên tập xác định là ℝ\{kπ}, không phải ℝ.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin²x − cos²x = −cos2x; tại x=0 giá trị là −1 ≠ 1, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
108° = 108·(π/180) = 3π/5, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan(2x−π/3)=√3 ⟹ 2x−π/3=π/3+kπ ⟹ x=π/3+kπ/2. Với x=π/6 thì 2x−π/3=0 và tan0=0≠√3, nên nghiệm đưa ra sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
y=1/sin x xác định khi sin x≠0, tức x≠kπ; tập xác định là ℝ\{kπ}, không phải ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$.

$\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$.

$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$.

$\cot a=\frac{1}{\tan a}=-\frac{3}{4}$.

Vậy $\sin a=\frac{4}{5},\cos a=-\frac{3}{5},\tan a=-\frac{4}{3},\cot a=-\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn từng thành phần:
- $\sin (3\pi +x)=\sin (\pi +x)=-\sin x$ (vì $3\pi =\pi +2\pi$).
- $\cos \left(\frac{9\pi }{2}-x\right)=\cos \left(4\pi +\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$.
- $\cot \frac{3\pi }{4}=\cot \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\cot \frac{\pi }{4}=-1$.

Vậy biểu thức $=-\sin x+\sin x-1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<a<\frac{\pi }{2}$ và $\cos a=\frac{4}{5}$ nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$ (d) Đúng. a) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\ne \frac{12}{25}$ → Sai. b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\sin a=\frac{3}{5}>0$ → Đúng. c) $\cos \left(a-\frac{\pi }{3}\right)=\cos a\cos \frac{\pi }{3}+\sin a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\ne \frac{12}{25}$ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\sin a=\frac{3}{5}>0$ nên mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(a-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$ nên mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<a<\frac{\pi }{2}$ nên $\sin a>0$, do đó $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\frac{3}{5}$ nên mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos (a+b)-\cos (a-b)=-2\sin a\sin b$, suy ra $\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)-\cos (a-b)\right]$. Kiểm tra: với $a=b=\frac{\pi }{2}$, vế trái $=1$; vế phải $=-\frac{1}{2}[\cos \pi -\cos 0]=-\frac{1}{2}(-1-1)=1$. Đúng. Các phương án A, C dùng sin sai; B sai dấu/công thức ($\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b$). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102: câu 2 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. a) $\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\cos a=-\frac{3}{5}<0$ → Đúng. b) $\cos a=-\frac{3}{5}\ne \frac{3}{5}$ → Sai. c) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$ → Đúng. d) $\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\cos a\cos \frac{\pi }{6}-\sin a\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}=-\frac{4+3\sqrt{3}}{10}\ne -\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\cos a=-\frac{3}{5}<0$ vì $a$ ở góc phần tư thứ II.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a=-\frac{3}{5}$, không phải $\frac{3}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2a=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{10}-\frac{4}{10}=-\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$, khác $-\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)+\cos (a-b)\right]$, suy ra từ $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ và $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. Cộng hai đẳng thức này lại được $2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b)$. Các phương án A, C dùng sin (đúng cho $\sin a\cos b$), phương án D có dấu trừ (đúng cho $\sin a\sin b$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{22}}{5}$, ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{22}{25}=\frac{3}{25}$, nên $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$ (lấy giá trị dương vì $\sin \alpha =\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $a,b>0$). Vậy $a=3$ (số nguyên tố), $b=5$, do đó $a+2b=3+10=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Với góc $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ ta có: $\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (đúng); $\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (đúng); $\cot 135^{\circ }=-\cot 45^{\circ }=-1$ (đúng); $\tan 135^{\circ }=-\tan 45^{\circ }=-1\ne 1$, nên đẳng thức ở phương án B là sai. Kết quả trùng với đáp án đã cho (mã đề 1002, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (A sai), $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (C sai), $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (D đúng), $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (B sai). Vậy đẳng thức đúng là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: D).