Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $a=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$ (vì $|q|<1$ nên tổng tồn tại). Theo công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $$S=\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$$ Vậy $S=2$, tương ứng với phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 101: C).

Chọn B. $I=\lim \left(a\sqrt{n^2+bn+1}-2n\right)=1$ là số hữu hạn nên $a=2$. Mặt khác: $I=\lim \left(2\sqrt{n^2+bn+1}-2n\right)=\lim \frac{4\left(n^2+bn+1\right)-4n^2}{2\sqrt{n^2+bn+1}+2n}=\lim \frac{4bn+4}{2\sqrt{n^2+bn+1}+2n}$ $=\lim \frac{4b+\frac{4}{n}}{2\sqrt{1+\frac{b}{n}+\frac{1}{n^2}}+2}=b$. Suy ra $I=1\iff b=1$. Vậy $a^2+b^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-2n+1}{4n^3+11n^2-5n-13}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{4+\frac{11}{n}-\frac{5}{n^2}-\frac{13}{n^3}}=\frac{0+0+0}{4+0-0-0}=0$. Vậy giới hạn bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\lim q^n$ khi $n\to \infty$: giới hạn bằng 0 khi và chỉ khi $|q|<1$.
- A: $q=-3,02$, $|q|>1$ nên dãy $(-3,02{)}^n$ không có giới hạn (lớn dần về $\pm \infty$ tùy tính chẵn lẻ của $n$).
- B: $q=-\frac{1}{3}$, $|q|=\frac{1}{3}<1$ nên $\lim {\left(-\frac{1}{3}\right)}^n=0$.
- C: $q=\sqrt{2}>1$ nên $(\sqrt{2}{)}^n\to +\infty$.
- D: $q=\frac{4}{3}>1$ nên ${\left(\frac{4}{3}\right)}^n\to +\infty$.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án B bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất của giới hạn dãy số: ${\lim }_{n\to +\infty }(u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n=-4+12=8$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$ với $|q|<1$ nên tổng cấp số nhân hội tụ. Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_1+u_2+\dots +u_n)=\frac{u_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{6}}=\frac{18}{\frac{5}{6}}=\frac{108}{5}=21,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì $1^n=1$ với mọi $n$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{1}^n=1\ne 0$. B sai vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0\ne 1$. C sai vì khi $q>1$ thì $q^n\to +\infty$, không tiến về 0. D đúng theo lý thuyết giới hạn dãy số: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ khi $|q|<1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 7115, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{1}{3}$, $|q|<1$. Tổng là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}=1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2+n+1}{3n^2-2n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{1+0+0}{3-0}=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án là C.

Chọn B
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=10$ và $q=\frac{3}{4}$.
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{3}{4}}=40$.
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn $2S-10=70$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^4$: $\lim \frac{2n^3-7n-4}{3n^4+4}=\lim \frac{\frac{2}{n}-\frac{7}{n^3}-\frac{4}{n^4}}{3+\frac{4}{n^4}}=\frac{0}{3}=0$. Vậy đáp án C.

Lưu ý từ nguồn: bảng đáp án ở trang 6 (ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 KHỐI 11, Phần 1) ghi Câu 3 = B cho cả Mã đề 316 và Mã đề 518, nhưng bảng này không khớp với các câu của đề ở trang 5 (ví dụ Câu 4 của đề trang 5 có đáp án đúng là B - MN // (SBC) - trong khi bảng ghi A/C cho Câu 4), nên không thể ánh xạ tin cậy; đáp án C giữ theo tính toán toán học.

(Đáp án chính thức, trang 6, Phần 4: Tự luận, Câu 1, Mã đề 316)
Chia tử và mẫu cho $n^2$ theo đáp án:
$$\lim \frac{n^3-2n}{5n^3+n-n^2}=\lim \frac{1-\frac{2}{n^2}}{5+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}=\frac{1-0}{5+0-0}=\frac{1}{5}.$$
Vậy giới hạn của dãy số bằng $\frac{1}{5}$ (đáp án khớp với bảng đáp án chính thức, Mã đề 316).

a) $\lim \frac{n^2+4n-9}{6n^2-n}$, $\lim \frac{1+\frac{4}{n}-\frac{9}{n^2}}{6-\frac{1}{n}}=\frac{1}{6}$
b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8^n+4\cdot 4^n}{3^n-8^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{{\left(\frac{3}{8}\right)}^n-1}=-1$

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{n^4-n^3}{5n^3+6n-7}=\lim \frac{n-1}{5+\frac{6}{n^2}-\frac{7}{n^3}}=+\infty$ vì $n-1\to +\infty$ còn mẫu tiến về 5. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 518, Câu 4: A).

a) $\lim \frac{1-\frac{2}{n^2}}{5+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}=\frac{1}{5}$
b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{6^n-3^n}{2^n+3\cdot 6^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+3}=\frac{1}{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^4$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^3-7n-4}{3n^4+4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2}{n}-\frac{7}{n^3}-\frac{4}{n^4}}{3+\frac{4}{n^4}}=\frac{0}{3}=0$. Bậc tử (4) lớn hơn bậc tử số (3) nên giới hạn bằng 0. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 316: C).

(AI giải đề cho tôi)
Các lần quét từ trái sang phải là lần quét thứ nhất, thứ ba, thứ năm,... với quãng đường lập thành cấp số nhân số hạng đầu $u_1=20$ (cm), công bội $q=0,95^2=0,9025$ (vì mỗi lần quét bằng 95% lần quét trước, nên cách một lần quét hệ số là $0,95^2$). Tổng quãng đường từ trái sang phải đến khi dừng hẳn là $S=\frac{20}{1-0,9025}=\frac{20}{0,0975}\approx 205,13\approx 205$ cm. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn (Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim (u_n+3)=0$ nên $\lim u_n+3=0$, suy ra $\lim u_n=-3$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (MD 1112, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim (u_n-2)=0$ nên $\lim u_n=\lim \left[(u_n-2)+2\right]=0+2=2$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (MD 1111, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $I=\lim \frac{7/n-2+1/n^3}{3+2/n+1/n^3}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 1: B).