Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $L=\lim \frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}=\frac{0+0}{1+0+0}=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa giới hạn dãy số, dãy $(u_n)$ có giới hạn là số thực $L$ khi và chỉ khi ${\lim }_{n\to +\infty }(u_n-L)=0$, tức là $u_n-L\to 0$ khi $n\to +\infty$. Do đó đáp án là A. Các phương án còn lại sai: B chỉ đúng khi $L=0$; C là giới hạn của hằng số $L$ (bằng $L$, không phải điều kiện); D tương đương với $u_n\to -L$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\frac{1}{2025}<1$ nên ${\lim }_{n\to +\infty }{\left(\frac{1}{2025}\right)}^n=0$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2n}{3n+1}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{2}{3+\frac{1}{n}}=\frac{2}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\lim \left(n^3-2024n+2025\right)=\lim n^3\left(1-\frac{2024}{n^2}+\frac{2025}{n^3}\right)=+\infty$ vì $\lim n^3=+\infty$ và $\lim \left(1-\frac{2024}{n^2}+\frac{2025}{n^3}\right)=1>0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{4n^2-3n+1}{2n^2+5}=\lim \frac{4-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{5}{n^2}}=\frac{4-0+0}{2+0}=2$. Vậy giới hạn của dãy số bằng $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các mệnh đề: $\lim n^2=+\infty$ nên A, D sai. Vì $n^2\to +\infty$ nên $\frac{1}{n^2}\to 0$, do đó B sai và C đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng vì dãy hằng số $u_n=c$ có giới hạn bằng $c$. B đúng vì với $k>1$, $\lim \frac{1}{n^k}=0$. C đúng vì $\lim \frac{1}{n}=0$. D sai vì với $|q|>1$ thì $|q^n|\to +\infty$, do đó $q^n$ không có giới hạn bằng 0 (đúng phải là $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$). Vậy phát biểu sai là D, khớp với đáp án nguồn (đề 1106, câu 13: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ (cấp số nhân với công bội $\frac{1}{2}$, $|q|<1$) nên a) Đúng.

$\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=\lim \frac{a-\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+1}=a\ne -\frac{1}{3}$ nên b) Sai.

$\lim \frac{1}{2^n}=0$ nên $L=\sqrt{3+a}$. Khi đó $L>3\iff \sqrt{3+a}>3\iff 3+a>9\iff a>6$, nên c) Đúng.

Với $a$ nguyên thuộc $(0;20)$, $L=\sqrt{3+a}$ nguyên khi $3+a$ là số chính phương trong tập $\{4,5,\dots ,22\}$, tức $3+a\in \{4,9,16\}$, cho $a\in \{1,6,13\}$: chỉ có 3 giá trị, không phải 4, nên d) Sai.

Kết quả khớp bảng đáp án nguồn (mã đề 1106, cột 2a–2d: D, S, D, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Dãy ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{1}{2}$, $|q|<1$, nên $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=\lim \frac{a-\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+1}=a\ne -\frac{1}{3}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim \frac{1}{2^n}=0$ và $\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=a$ nên $L=\sqrt{3+a}$. Do đó $L>3\iff \sqrt{3+a}>3\iff a>6$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$L=\sqrt{3+a}$ nguyên khi $3+a$ là số chính phương thuộc $\{4,\dots ,22\}$, tức $3+a\in \{4,9,16\}$, cho $a\in \{1,6,13\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 4. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường rơi lần đầu là $20$ m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ lần trước rồi lại rơi xuống cùng độ cao đó, nên mỗi chu kỳ (nảy lên + rơi xuống) sau lần đầu góp phần $2\cdot 20{\left(\frac{2}{3}\right)}^k$ với $k=1,2,3,\dots$ Tổng quãng đường: $$S=20+2\cdot 20\left(\frac{2}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\cdots \right)=20+40\cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=20+40\cdot 2=100\text{ m}.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn là 100.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng vì với $k>1$, $\lim \frac{1}{n^k}=0$. B đúng vì $\lim \frac{1}{n}=0$. C đúng vì dãy hằng số $u_n=c$ có giới hạn bằng $c$. D sai vì với $|q|>1$ thì $q^n$ không có giới hạn bằng 0 (đúng phải là $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$; khi $|q|>1$ thì $|q^n|\to \infty$). Vậy phát biểu sai là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1105, câu 16: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $L=\lim \sqrt{3+\frac{a{n}^2-1}{3+n^2}-\frac{1}{2^n}}$. a) Vì $\left|\frac{1}{2}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$: Đúng. b) $\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=\lim \frac{a-\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+1}=a\ne -\frac{1}{3}$: Sai. c) Do đó $L=\sqrt{3+a-0}=\sqrt{a+3}$, và $L>3\iff a+3>9\iff a>6$: Đúng. d) Với $a$ nguyên thuộc $(0;20)$, $L=\sqrt{a+3}$ nguyên khi $a+3$ là số chính phương trong $(3;23)$, tức $a+3\in \{4;9;16\}$, cho $a\in \{1;6;13\}$: chỉ có 3 giá trị, không phải 4: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án nguồn (2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\left|\frac{1}{2}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=\lim \frac{a-\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+1}=a$, không bằng $-\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$L=\sqrt{3+a-0}=\sqrt{a+3}$, nên $L>3\iff a+3>9\iff a>6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$L=\sqrt{a+3}$ nguyên khi $a+3$ là số chính phương thuộc $(3;23)$: $a+3\in \{4;9;16\}$, tức $a\in \{1;6;13\}$ — chỉ 3 giá trị, không phải 4.

(AI giải đề cho tôi)
Lần rơi đầu từ độ cao $20m$. Sau mỗi lần chạm, bóng nảy lên độ cao bằng $2/3$ lần trước. Tổng quãng đường: lần rơi đầu $20m$, sau đó mỗi chu kỳ (nảy lên + rơi xuống) có độ cao $20\cdot (2/3{)}^k$ với $k=1,2,3,\dots$ Tổng: $S=20+2\cdot {\sum }_{k\ge 1}20\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^k=20+40\cdot \left[\frac{2/3}{1-2/3}\right]=20+40\cdot 2=100(m)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $100$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{-3}{4n^2-2n+1}=\lim \frac{-3/n^2}{4-2/n+1/n^2}=\frac{0}{4}=0$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{-3}{4n^2-2n+1}=\lim \frac{-3/n^2}{4-2/n+1/n^2}=\frac{0}{4}=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 5: C).

Đáp án: 5

$V_2$ có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ cạnh $V_1$; $V_3$ có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ cạnh $V_2$ nên các cạnh ngang là CSN lùi vô hạn với $u_1=1;q=\frac{3}{4}$

Cạnh dọc in đậm của $V_2$ bằng: $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$; Cạnh dọc in đậm của $V_3$ bằng $\frac{3}{4}$ cạnh dọc in đậm của $V_2$ nên các cạnh dọc là CSN lùi vô hạn với $u_1^{\prime }=\frac{1}{4};q^{\prime }=\frac{3}{4}$

Tổng quãng đường kiến bò là: $\frac{1}{1-\frac{3}{4}}+\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{3}{4}}=5$

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{10n-1}{4n+2025}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{10-\frac{1}{n}}{4+\frac{2025}{n}}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$. Vậy $a=5$, $b=2$ (phân số tối giản), suy ra $a+2b=5+2\cdot 2=9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4: 9).

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]
Cạnh của hình vuông $H_1$ là $x_1=a$.
Diện tích của hình vuông $H_1$ là $S_1=x_1^2=a^2$.
Cạnh của hình vuông $H_2$ là $x_2=\sqrt{{\left(\frac{5}{6}{x}_1\right)}^2+{\left(\frac{1}{6}{x}_1\right)}^2}=\frac{\sqrt{26}}{6}{x}_1$.
Diện tích của hình vuông $H_2$ là $S_2=x_2^2=\frac{13}{18}{S}_1$.
Cạnh của hình vuông $H_3$ là $x_3=\sqrt{{\left(\frac{5}{6}{x}_2\right)}^2+{\left(\frac{1}{6}{x}_2\right)}^2}=\frac{\sqrt{26}}{6}{x}_2$.
Diện tích của hình vuông $H_3$ là $S_3=x_3^2=\frac{13}{18}{S}_2$.
Lý luận tương tự thì $S_1,S_2,S_3,...,S_n,...$ tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=S_1$ và công bội $q=\frac{13}{18}$.
Do đó $T=S_1+S_2+S_3+...+S_n+...=\frac{u_1}{1-q}=\frac{S_1}{1-q}=\frac{18a^2}{5}$. (thang điểm: 0,25)
Theo giả thiết thì $T=90\Rightarrow \frac{18a^2}{5}=90\Rightarrow a^2=25\Rightarrow a=5$ (vì $a>0$). (thang điểm: 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn của dãy số: $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_n+v_n)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n+\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3+(-2)=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.