Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí khi sản xuất $x$ đồ chơi là $T(x)=20000+9x$. Chi phí trung bình $M(x)=\frac{T(x)}{x}=\frac{20000}{x}+9$. Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }M(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{20000}{x}+9\right)=0+9=9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (9).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $T(x)=10000+5x$. Chi phí trung bình: $M(x)=\frac{T(x)}{x}=\frac{10000}{x}+5$. Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }M(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{10000}{x}+5\right)=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (5).

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 2^{-}$ thì tử số $3x-2\to 4>0$ và mẫu số $x-2\to 0^{-}$ (âm). Do đó $\frac{3x-2}{x-2}\to \frac{4}{0^{-}}=-\infty$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 2^{-}$ thì tử số $3x-2\to 4>0$, còn mẫu số $x-2\to 0^{-}$ (âm). Do đó ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{3x-2}{x-2}=-\infty$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 2^{-}$ thì tử số $3x-2\to 4>0$ và mẫu số $x-2\to 0^{-}$ (âm). Do đó $\frac{3x-2}{x-2}\to \frac{4}{0^{-}}=-\infty$. Vậy đáp án là B.

a) $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+1}{7-x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(\frac{7}{x^2}-1\right)}$$ $$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{\frac{7}{x^2}-1}=-2.$$

b) $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-2x}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x^2-2x\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}$$ $$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left[x\left(\sqrt{x+2}+2\right)\right]=8.$$

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-2$ vì mẫu $2x+3=-1\ne 0$ và biểu thức dưới căn xác định ($x^2-3=1>0$). Do đó thay trực tiếp $x=-2$: $|x+1|=|-2+1|=1$; $\sqrt{x^2-3}=\sqrt{4-3}=1$. Tử số: $2\cdot 1-5\cdot 1=-3$; mẫu số: $2(-2)+3=-1$. Vậy giới hạn bằng $\frac{-3}{-1}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -2$ thì $x+1<0$ nên $|x+1|=-(x+1)$, và $x^2-3\to 1>0$. Do đó hàm số liên tục tại $x=-2$, thay trực tiếp: $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2|x+1|-5\sqrt{x^2-3}}{2x+3}=\frac{2\cdot 1-5\cdot 1}{2(-2)+3}=\frac{-3}{-1}=3$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1246.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (mã 1246), Phần II. Ta có $f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{2x+1}$, $g(x)=\frac{2x}{2x+3}$.

a) Khi $x\to +\infty$: $f(x)\to \frac{2x}{2x}=1$ và $g(x)\to \frac{2x}{2x}=1$, nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{1}=1\ne -1$. → Sai.

b) Khi $x\to -\infty$: $\sqrt{4x^2+1}=|2x|\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}=-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$ (vì $x<0$), do đó $f(x)\to \frac{-2x}{2x}=-1\ne 1$. → Sai.

c) Khi $x\to -\infty$: $f(x)\to -1$ và $g(x)=\frac{2x}{2x+3}\to \frac{2x}{2x}=1$, nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-g(x))=-1-1=-2$. → Đúng.

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{2x+3}=1$. → Đúng.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp với đáp án nguồn (SSĐĐ cho mã 1246).
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 1$ và $g(x)\to 1$ nên $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=1\ne -1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{4x^2+1}=-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$ nên $f(x)\to \frac{-2x}{2x}=-1\ne 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$: $f(x)\to -1$, $g(x)\to 1$, nên $f(x)-g(x)\to -2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{2x+3}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x\le 1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}(1-2x)=1-2=-1$. Với $x>1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}(\sqrt{x}-2)=\sqrt{1}-2=-1$. b) Vì hai giới hạn trái và phải đều bằng $-1$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử số: $x^2+9x-10=(x-1)(x+10)$. Với $x\ne 1$, ta có $\frac{x^2+9x-10}{x-1}=x+10$. Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+9x-10}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+10)=1+10=11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{22x^4-12x+2025}{3x^4+x^2+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{22-\frac{12}{x^3}+\frac{2025}{x^4}}{3+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}}=\frac{22-0+0}{3+0+0}=\frac{22}{3}$. (Học sinh bấm máy chỉ ghi chắc kết quả đúng cho 0,75 điểm.)

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử số: $x^2+25x-26=(x-1)(x+26)$. Với $x\ne 1$, ta có $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+26)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+26)=1+26=27$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (27).

(AI giải đề cho tôi)
Xét các giới hạn tại vô cực của hàm phân thức: lim_{x→+∞} f(x) = -9/3 = -3; lim_{x→+∞} g(x) = 4/2 = 2.
a) lim_{x→+∞} g(x) = 2 ≠ 1/2, khẳng định SAI.
b) lim_{x→+∞} f(x) = -3, khẳng định ĐÚNG.
c) lim_{x→+∞}[f(x)g(x)] = (-3)·2 = -6, khẳng định ĐÚNG.
d) lim_{x→+∞}[f(x)+g(x)] = -3+2 = -1 ≠ 1, khẳng định SAI.
Kết quả S - Đ - Đ - S khớp với đáp án chấm máy (mã đề 1104, dòng 14.II2).
a) Theo đáp án chấm máy (mã đề 1104, dòng 14.II2): S Đ Đ S. Thật vậy $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=\frac{4}{2}=2\ne \frac{1}{2}$, nên khẳng định a) sai.
b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{-9}{3}=-3$, nên khẳng định b) đúng.
c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x).g(x)\right]=\left(\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\right)\left(\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)\right)=(-3)\cdot 2=-6$, nên khẳng định c) đúng.
d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)+g(x)\right]=-3+2=-1\ne 1$, nên khẳng định d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^2$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a{x}^2-7x+5}{3x^2-3x}=\frac{a}{3}$. Theo đề, $\frac{a}{3}=626\Rightarrow a=626\cdot 3=1878$. Vì $1878\in \mathbb{Z}$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1878).

$f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3x+45}{x}$. Tính được $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+45}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{45}{x}}{1}=3$

(AI giải đề cho tôi)
Tính các giới hạn: ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=\frac{4}{2}=2$ nên khẳng định a) sai. ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\frac{-9}{3}=-3$ nên khẳng định b) đúng. ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)g(x)]=(-3)(2)=-6$ nên khẳng định c) đúng. ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)+g(x)]=-3+2=-1\ne 1$ nên khẳng định d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (S, Đ, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }g(x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{4x-1}{2x+3}=\frac{4}{2}=2\ne \frac{1}{2}$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-9x+3}{3x+2}=\frac{-9}{3}=-3$, nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)g(x)]=\left(\lim f(x)\right)\left(\lim g(x)\right)=(-3)(2)=-6$, nên khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)+g(x)]=-3+2=-1\ne 1$, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^2$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a{x}^2-7x+5}{5x^2-3x}=\frac{a}{5}$. Theo đề, $\frac{a}{5}=625\Rightarrow a=3125$, thỏa $a\in \mathbb{Z}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3125).