Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

$f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+55}{x}$. Tính được $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+55}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2$

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn: ${\lim }_{x\to 2}\left[2f(x)-g(x)\right]=2{\lim }_{x\to 2}f(x)-{\lim }_{x\to 2}g(x)=2\cdot 7-8=14-8=6$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 6: A).

a) Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }x-6=-4<0$ và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }x-2=0$ và vì $x\to 2^{-}$ nên $x<2\Rightarrow x-2<0$. Khi đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x-6}{x-2}=+\infty$. b) Ta có ${\lim }_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}={\lim }_{x\to 3}\frac{(\sqrt{x+6}-3)\cdot (\sqrt{x+6}+3)}{(x-3)\cdot (\sqrt{x+6}+3)}={\lim }_{x\to 3}\frac{x+6-9}{(x-3)\cdot (\sqrt{x+6}+3)}={\lim }_{x\to 3}\frac{1}{\sqrt{x+6}+3}=\frac{1}{6}$.

Ta có ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]={\lim }_{x\to x_0}f(x)\cdot {\lim }_{x\to x_0}g(x)=a\cdot (-\infty )=-\infty$ vì $a>0$. Chọn đáp án (D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2a{x}^3+3x^2+ax-4\right)$. Khi $x\to -\infty$ thì $x^3\to -\infty$, số hạng bậc cao nhất $2a{x}^3$ chi phối giới hạn. Để giới hạn bằng $-\infty$ ta cần $2a>0$, tức $a>0$. Thật vậy: nếu $a>0$ thì $2a{x}^3\to -\infty$ và $3x^2+ax-4=o(x^3)$, nên giới hạn là $-\infty$; nếu $a<0$ thì giới hạn là $+\infty$; nếu $a=0$ thì $\underset{x\to -\infty }{\lim }(3x^2-4)=+\infty$. Vậy cần $a>0$. Các giá trị $a$ nguyên thuộc $[-20;20]$ và $a>0$ là $a\in \{1,2,\dots ,20\}$, gồm 20 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 20.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn: $\underset{x\to 3}{\lim }\left[3x-4f(x)\right]=3\underset{x\to 3}{\lim }x-4\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=3\cdot 3-4\cdot 2=9-8=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n^3}=0$ vì $\lim n^3=+\infty$. b) Sai: ${\lim }_{x\to 0}f(x)=\frac{5\cdot 0+1}{0-3}=-\frac{1}{3}\ne 1$. c) Đúng: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{5x+1}{x-3}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{5+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=5$. d) Đúng: $f(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ, xác định và liên tục trên mọi $x\ne 3$, tức liên tục trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$. Kết quả khớp đáp án mã đề 111: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{n\to +\infty }{n}^3=+\infty$ nên ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n^3}=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 0}f(x)=\frac{5\cdot 0+1}{0-3}=-\frac{1}{3}\ne 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x$: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{5+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức hữu tỉ chỉ không xác định tại $x=3$, nên liên tục trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm Heaviside: $H(t)=0$ khi $t<0$, $H(t)=1$ khi $t\ge 0$. a) Sai: giới hạn trái bằng 0. b) Đúng: giới hạn phải bằng 1. c) Đúng: $H(0)=1$. d) Sai: giới hạn trái (0) khác giới hạn phải (1) nên giới hạn tại 0 không tồn tại.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $t<0$ thì $H(t)=0$ nên ${\lim }_{t\to 0^{-}}H(t)=0\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t\ge 0$ thì $H(t)=1$ nên ${\lim }_{t\to 0^{+}}H(t)=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa $H(0)=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái bằng 0, giới hạn phải bằng 1, hai giới hạn một bên khác nhau nên ${\lim }_{t\to 0}H(t)$ không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{4x+1}-3=\frac{(4x+1)-9}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{4(x-2)}{\sqrt{4x+1}+3}$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{4}{3+3}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1$ nên khi $x\to -\infty$, $f(x)$ tiến tới $-1$ (hữu hạn, khác 0). Xét từng phương án:
- A: $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^4-1)=+\infty$, do đó $(x^4-1)f(x)\approx -x^4\to -\infty$, không phải $+\infty$. Sai.
- B: $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^3+1)=-\infty$, nhân với $f(x)\to -1$ (âm) thì tích tiến tới $+\infty$, không phải $-\infty$. Sai.
- C: $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-1)=+\infty$, tích với $f(x)\to -1$ (âm) nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-1)f(x)=-\infty$. Đúng.
- D: $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)=-\infty$, nhân với $f(x)\to -1$ (âm) thì tích tiến tới $+\infty$, không phải $-\infty$. Sai.
Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân tử liên hợp: $\sqrt{x^2+bx+1}+x=\frac{bx+1}{\sqrt{x^2+bx+1}-x}$. Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2}=|x|=-x$): $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{b+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}=\frac{b}{-1-1}=-\frac{b}{2}$. Theo đề $-\frac{b}{2}=5\Rightarrow b=-10$. Khớp với đáp án nguồn (-10).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$ liên tục tại $x=2$ vì mẫu số $x-1=1\ne 0$. Do đó ta thay trực tiếp: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\frac{2\cdot 2-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 1102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{-2x+4}{x+1}$ liên tục tại $x=1$ vì mẫu $x+1=2\ne 0$. Do đó thay trực tiếp: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2x+4}{x+1}=\frac{-2\cdot 1+4}{1+1}=\frac{2}{2}=1$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+ax-3}+x=\frac{ax-3}{\sqrt{x^2+ax-3}-x}$. Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2+ax-3}\sim -x$ nên mẫu số $\sim -x-x=-2x\to +\infty$. Do đó giới hạn bằng $\frac{a}{-2}$. Theo đề, $\frac{a}{-2}=3\Rightarrow a=-6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-6).

Ta có ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}={\lim }_{x\to 2}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}$ (0,25 điểm). Vậy ${\lim }_{x\to 2}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=2x^2-3x+1$ là đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, nên ${\lim }_{x\to 1}(2x^2-3x+1)=2(1{)}^2-3(1)+1=2-3+1=0$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 8: A).

Ta có ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}={\lim }_{x\to 2}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}$. (0,25 điểm) $={\lim }_{x\to 2}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=2x^2-3x+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó giới hạn tại $x=1$ tính bằng cách thay trực tiếp: $\underset{x\to 1}{\lim }(2x^2-3x+1)=2(1{)}^2-3(1)+1=2-3+1=0$. Kết quả khớp với đáp án B trong hướng dẫn chấm (Mã đề 132, Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+ax+2025}-x=\frac{ax+2025}{\sqrt{x^2+ax+2025}+x}$. Chia tử và mẫu cho $x$: $\lim =\frac{a}{1+1}=\frac{a}{2}$. Theo đề $\frac{a}{2}=-4\Rightarrow a=-8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-8, đề 102/104).