Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một tấm khung trang trí tường có dạng hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường cong Parabol $y=-x^2+4x$ (đơn vị trên các trục là mét). Một người thợ cần cắt một miếng kính hình chữ nhật nội tiếp trong khung Parabol này (một cạnh của hình chữ nhật nằm trên trục hoành, hai đỉnh còn lại nằm trên đường Parabol). Diện tích lớn nhất của miếng kính hình chữ nhật có thể cắt được là bao nhiêu mét vuông? (Làm tròn kết quả đến $2$ chữ số thập phân).
[IMAGE:img_q21_parabola]

Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $200{\text{ m}}^3$, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là $300.000$ đồng/${\text{m}}^2$. Chi phí xây dựng thấp nhất là

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA=y$ ($y>0$) và vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ và đặt $AM=x$ ($0<x<a$). Tính thể tích lớn nhất $V_{\max }$ của khối chóp $S.ABCM$, biết $x^2+y^2=a^2$.

Cho hàm số $f(x)=m{x}^4+(m+8)x^2+1$ với $m$ là tham số thực. Trên đoạn $[0;2]$, nếu giá trị lớn nhất của hàm số bằng $f(1)$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đó bằng

Cho hàm số $y=x^3-3x+m$ ($m$ là tham số thực), thỏa mãn ${\min }_{[0;2]}y=3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Một vật chuyển động theo quy luật $s=-2t^3+24t^2+9t-3$ với $t$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $s$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$. Đồ thị hàm số đạo hàm $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên:



Đặt $h(x)=3f(x)-x^3+3x$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=5\text{km}$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $BC=7\text{km}$ (tham khảo hình vẽ). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $4\text{ km/h}$ và đi bộ đến kho $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Hỏi muộn nhất mấy giờ người đó phải xuất phát từ vị trí $A$ để có mặt ở kho $C$ lúc 7 giờ sáng?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1\text{ (m)}$ như hình vẽ bên. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x\text{ (m)}$ sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là

Cho hàm số $f(x)=ax-(a-3)\ln (x^2+3x)$ với $a$ là tham số thực. Biết rằng nếu ${\max }_{[1;3]}f(x)=f(2)$ thì ${\min }_{[1;3]}f(x)=m$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế hộp sữa có dạng một hình trụ có thể tích bằng $1{\text{ dm}}^3$. Để diện tích toàn phần (nguyên liệu làm vỏ hộp) nhỏ nhất thì chiều cao của hộp sữa là bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$. Hãy tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình $f(3x+1)+9x^2-6x+1\le m$ đúng với mọi $x\in [0;1]$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cắt $Ox$ tại các điểm có hoành độ bằng $0;2$ như hình vẽ.


Biết $f(2)+f(4)=f(3)+f(0)$. Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;4]$ là

Cho hàm số $y=x^3+m{x}^2+(2m^2-m+1)x+m^2-3m$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên $(-\infty ;0]$ bằng $-2$. Tích các phần tử của $S$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$ thỏa mãn ${\min }_{[0;1]}y=3$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)=x^4-2x^2+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=|f(x)-m|$ trên đoạn $[0;2]$ không vượt quá 10?

Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 2km , anh dự định chèo thuyền vào bờ
và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị
trí O trên bờ gần với thuyền nhất là 4km (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc
6m / h và chạy bộ trên bờ với vận tốc 10km / h . Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí
xuất phát đến được điểm B là

19

Cho hình nón $(N_1)$ có đỉnh $S$, chiều cao $h$. Một hình nón $(N_2)$ có đỉnh là tâm của đáy $(N_1)$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của $(N_1)$ như hình vẽ. Khối nón $(N_2)$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(3x)+9x$ trên đoạn $\left[-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right]$ là:

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$, bán kính bằng $5$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Xét khối nón $(N)$ nhận đường tròn $(C)$ làm đáy, chiều cao $h$ ($h>5$) và đỉnh là điểm thuộc mặt cầu $(S)$. Khối nón $(N)$ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?