Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\sin x$.
a) Đúng — Hàm số $y=\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) Đúng — Với mọi $x$ ta có $-1\le \sin x\le 1$ và mọi giá trị trong $[-1;1]$ đều đạt được, nên tập giá trị là $[-1;1]$.
c) Đúng — $\sin (2025\pi )=\sin (2024\pi +\pi )=\sin \pi =0$, nên $x=2025\pi$ là một nghiệm của phương trình $\sin x=0$.
d) Sai — Phương trình $\sin x=0$ có họ nghiệm $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ (ví dụ $x=\pi$ là nghiệm nhưng không có dạng $k2\pi$), nên khẳng định nghiệm $x=k2\pi$ là chưa đầy đủ, do đó sai. Kết quả khớp với đáp án của đề (mã đề 111: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x$ và mọi giá trị trong $[-1;1]$ đều đạt được, tập giá trị là $[-1;1]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (2025\pi )=\sin (2024\pi +\pi )=\sin \pi =0$, nên $x=2025\pi$ là một nghiệm của $\sin x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=0$ có họ nghiệm đầy đủ là $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$; dạng $x=k2\pi$ bỏ sót các nghiệm $x=(2k+1)\pi$, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(\frac{2\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $h=|d(t)|\le 3,5$. Dấu bằng xảy ra khi $\cos \left(\frac{2\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)=\pm 1$, tức $\frac{2\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), cho $t=\frac{3}{2}k+\frac{1}{2}\ge 0$ (ví dụ $t=0,5$ s). Vậy khoảng cách lớn nhất của người du so với vị trí cân bằng là $3,5$ m, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\cot x$ và $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\cot (-x)=-\cot x$, $\tan (-x)=-\tan x$; $y=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$; $y=\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$. Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$, đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án của đề (Câu 4, mã đề 111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì cơ bản $T=2\pi$, không tuần hoàn với chu kì $\pi$ (vì $\sin (x+\pi )=-\sin x\ne \sin x$ với mọi $x$). Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ vì $\tan (x+\pi )=\tan x$ và $\cot (x+\pi )=\cot x$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Vậy có 2 hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$, chọn đáp án B. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì hàm số $y=\tan x$ có chu kì cơ bản là $\pi$, không phải $2\pi$. B sai vì $y=\cos x$ là hàm số chẵn ($\cos (-x)=\cos x$), đồ thị đối xứng qua trục tung, không phải hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. C sai vì $y=\sin x$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi }{2})$ (đạo hàm $\cos x>0$ trên khoảng này). D đúng vì $y=\cot x$ có đạo hàm $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ với mọi $x\in (0;\pi )$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;\pi )$. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\tan x$, $g(x)=\cot x$.
a) Tại $x=\frac{\pi }{4}$: $f\left(\frac{\pi }{4}\right)+g\left(\frac{\pi }{4}\right)=1+1=2\ne 1$, nên đồ thị $y=f(x)+g(x)$ KHÔNG đi qua điểm $\left(\frac{\pi }{4};1\right)$. → Sai.
b) Đặt $h(x)=\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ đối xứng qua gốc. Ta có $h(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-h(x)$, nên $h$ là hàm số lẻ, do đó đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng (tâm đối xứng không nhất thiết phải thuộc đồ thị). → Đúng.
c) $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in (0;10\pi ]$: $0<\frac{\pi }{4}+k\pi \le 10\pi \iff -\frac{1}{4}<k\le \frac{39}{4}=9,75$, tức $k\in \{0,1,\dots ,9\}$, có đúng 10 nghiệm. → Đúng.
d) $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đề bài viết $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (chu kỳ $2\pi$) thì thiếu các điểm $\frac{3\pi }{2}+2k\pi =\frac{\pi }{2}+(2k+1)\pi$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}=1+1=2\ne 1$ nên đồ thị không đi qua điểm $\left(\frac{\pi }{4};1\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x}$ thỏa $h(-x)=-h(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định đối xứng qua gốc, nên $h$ là hàm lẻ và đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; với $x\in (0;10\pi ]$ thì $k=0,1,\dots ,9$, đúng 10 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y=\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (bỏ sót các điểm $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ có $y^{\prime }=-2\sin 2x$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$: $y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\cos (-\pi )=-1$; $y(0)=1$; $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi =-1$; $y(\pi )=\cos 2\pi =1$; $y\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos 3\pi =-1$. Xét dấu $y^{\prime }=-2\sin 2x$: trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có $\sin 2x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (đồng biến); trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ có $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ có $\sin 2x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (đồng biến); trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ có $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$ (nghịch biến). Vậy bảng biến thiên là $-1\nearrow 1\searrow -1\nearrow 1\searrow -1$, khớp với hình trong đề (phương án A). Phương án B sai chiều biến thiên, C và D sai biên độ $\pm 2$ (giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $\cos 2x$ là $\pm 1$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x=\cos x$, hay $\tan x=1$ (do khi đó $\cos x\ne 0$), suy ra $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) tan x xác định khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ, nên D = ℝ \ {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}. Đúng.
b) tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ. Với x ∈ (0; 10π] thì 0 < π/4 + kπ ≤ 10π ⟺ -1/4 < k ≤ 39/4, tức k = 0, 1, ..., 9, cho đúng 10 nghiệm. Đúng.
c) Tại x = π/4: f(π/4) + g(π/4) = tan(π/4) + cot(π/4) = 1 + 1 = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua điểm (π/4; 1). Sai.
d) Đặt h(x) = tan x + cot x. Ta có h(-x) = tan(-x) + cot(-x) = -tan x - cot x = -h(x), nên h là hàm số lẻ, không phải hàm chẵn (ví dụ h(π/4) = 2 ≠ -2 = h(-π/4)). Do đó đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
tan x xác định khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ, nên D = ℝ \ {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; với x ∈ (0; 10π] thì k = 0, 1, ..., 9, đúng 10 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại x = π/4: tan(π/4) + cot(π/4) = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua điểm (π/4; 1).
d) (AI giải đề cho tôi)
h(x) = tan x + cot x thỏa h(-x) = -h(x) nên là hàm lẻ, không chẵn; đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất là $\pi$, không phải $2\pi$. B sai vì $y=\cos x$ là hàm số chẵn ($\cos (-x)=\cos x$), đồ thị đối xứng qua trục tung, không phải hàm lẻ. C đúng vì $y^{\prime }=\cos x>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này. D sai vì $y=\tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; trên $(0;\pi )$ hàm số không nghịch biến (và không liên tục tại $x=\frac{\pi }{2}$). Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x\ne \cos x$. Ta có $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (do khi đó $\cos x\ne 0$). Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: tại $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin x-\cos x=0$ nên mẫu bằng 0, hàm không xác định; tại các điểm khác mẫu khác 0. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ có $y^{\prime }=-2\sin 2x$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$: tại $x=-\frac{\pi }{2}$, $y=\cos (-\pi )=-1$; tại $x=0$, $y=1$; tại $x=\frac{\pi }{2}$, $y=\cos \pi =-1$; tại $x=\pi$, $y=\cos 2\pi =1$; tại $x=\frac{3\pi }{2}$, $y=\cos 3\pi =-1$. Xét dấu $y^{\prime }=-2\sin 2x$: trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$? Kiểm tra lại: với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ thì $2x\in (-\pi ;0)$, $\sin 2x<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến từ $-1$ đến $1$. Trên $(0;\frac{\pi }{2})$, $2x\in (0;\pi )$, $\sin 2x>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến từ $1$ đến $-1$. Tương tự trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ hàm đồng biến từ $-1$ đến $1$, trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm nghịch biến từ $1$ đến $-1$. Bảng biến thiên: $y$ nhận giá trị $-1$ tại hai đầu và $\frac{\pi }{2}$, giá trị $1$ tại $0$ và $\pi$, với các mũi tên ↗ ↘ ↗ ↘. Điều này khớp với phương án A (các phương án C, D sai vì giá trị $\pm 2$ không thuộc tập giá trị của $\cos 2x$; phương án B sai chiều biến thiên và giá trị tại đầu mút).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì hàm số $y=\tan x$ có chu kì cơ bản (chu kì nhỏ nhất) là $\pi$, không phải $2\pi$. B sai vì $y=\cos x$ là hàm số chẵn ($\cos (-x)=\cos x$), đồ thị đối xứng qua trục tung, không phải hàm lẻ đối xứng qua gốc O. C sai vì $y=\sin x$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi }{2})$ do $y^{\prime }=\cos x>0$ trên khoảng này. D đúng vì $y=\cot x$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ với mọi $x\in (0;\pi )$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;\pi )$. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tan x xác định khi cos x ≠ 0, nên tập xác định là D = ℝ \ {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}, không phải π/2 + k2π.
b) Sai: tại x = π/4, y = tan(π/4) + cot(π/4) = 1 + 1 = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua (π/4; 1).
c) Đúng: y = tan x + cot x = 1/(sin x cos x) = 2/sin 2x, là hàm lẻ vì y(−x) = −y(x), tập xác định đối xứng qua gốc (loại các điểm kπ/2). Do đó đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (tâm đối xứng là gốc O, dù O không thuộc đồ thị).
d) Đúng: tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ. Với x ∈ (0; 10π] thì k = 0, 1, ..., 9, tức đúng 10 nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của y = tan x là D = ℝ \ {π/2 + kπ | k ∈ ℤ} vì tan x xác định khi cos x ≠ 0; mệnh đề dùng chu kỳ 2π nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại x = π/4: y = tan(π/4) + cot(π/4) = 1 + 1 = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua điểm (π/4; 1).
c) (AI giải đề cho tôi)
y = tan x + cot x = 2/sin 2x là hàm lẻ (y(−x) = −y(x)) với tập xác định đối xứng qua gốc, nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; trong (0; 10π] có k = 0, 1, ..., 9, tức đúng 10 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ có $y^{\prime }=-2\sin 2x$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$: $y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\cos (-\pi )=-1$; $y(0)=1$; $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi =-1$; $y(\pi )=\cos 2\pi =1$; $y\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos 3\pi =-1$. Hàm đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ và $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (vì $\sin 2x<0$), nghịch biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ và $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ (vì $\sin 2x>0$). Bảng biến thiên: $-1\nearrow 1\searrow -1\nearrow 1\searrow -1$, khớp với phương án A. Các phương án C, D sai vì giá trị $\cos 2x$ chỉ nằm trong $[-1;1]$; phương án B sai chiều biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x=\cos x$ hay $\tan x=1$ (khi $\cos x\ne 0$, và $\sin x=\cos x$ không thể xảy ra khi $\cos x=0$). Suy ra $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất là $\pi$ (mặc dù $2\pi$ cũng là chu kì, nhưng cách nói chuẩn trong SGK là chu kì $\pi$; tuy nhiên khẳng định A thường bị coi sai vì chu kì cơ bản là $\pi$). B sai vì $y=\cos x$ là hàm chẵn ($\cos (-x)=\cos x$), đồ thị đối xứng qua trục tung, không phải hàm lẻ. C đúng vì $y=\sin x$ đồng biến trên mọi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, đặc biệt đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ với $y^{\prime }=\cos x>0$ trên khoảng này. D sai vì $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}\in (0;\pi )$ nên không thể nghịch biến trên toàn khoảng $(0;\pi )$; thực tế $\tan x$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi }{2})$ và $(\frac{\pi }{2};\pi )$. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) tan x xác định khi cos x ≠ 0, nên D = ℝ \ {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}. Đúng.
b) Tại x = π/4: f(π/4) + g(π/4) = tan(π/4) + cot(π/4) = 1 + 1 = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua (π/4; 1). Sai.
c) y = tan x + cot x = 1/(sin x cos x) = 2/sin 2x. Vì y(-x) = 2/sin(-2x) = -2/sin 2x... xét trực tiếp: tan(-x) + cot(-x) = -tan x - cot x, thực ra hàm này là hàm lẻ! Kiểm tra: tan(-x) = -tan x, cot(-x) = -cot x, nên y(-x) = -y(x), hàm lẻ chứ không chẵn. Do đó đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng. Sai.
d) tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ. Với x ∈ (0; 10π]: 0 < π/4 + kπ ≤ 10π ⟺ -1/4 < k ≤ 39/4 = 9,75, nên k ∈ {0, 1, ..., 9}, đúng 10 nghiệm. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
tan x xác định khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan(π/4) + cot(π/4) = 1 + 1 = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua (π/4; 1).
c) (AI giải đề cho tôi)
y(-x) = tan(-x) + cot(-x) = -tan x - cot x = -y(x), hàm số là hàm lẻ chứ không phải hàm chẵn, nên đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; điều kiện 0 < x ≤ 10π cho k ∈ {0,...,9}, đúng 10 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$. Ta tính giá trị tại các điểm: $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\cos (-\pi )=-1$; $f(0)=\cos 0=1$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi =-1$; $f(\pi )=\cos 2\pi =1$; $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos 3\pi =-1$. Có $f^{\prime }(x)=-2\sin 2x$, nên $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (hàm đồng biến) và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ (hàm nghịch biến). Vậy bảng biến thiên: từ $-1$ tăng lên $1$ tại $x=0$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$, tăng lên $1$ tại $x=\pi$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{3\pi }{2}$. Đây đúng là bảng ở phương án A. Các phương án B (sai chiều biến thiên), C và D (sai giá trị $\pm 2$) đều bị loại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x=\cos x$. Chia hai vế cho $\cos x\ne 0$ (vì nếu $\cos x=0$ thì $\sin x=\pm 1\ne 0$, không thỏa mãn), ta được $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: tại $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin x-\cos x=0$ nên mẫu bằng 0, đúng loại. Đáp án C.