Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Hàm số mũ $y=2^x$ có tập xác định là toàn bộ trục số thực $\mathbb{R}$.
Chọn đáp án (A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^2{b}^3)={\log }_a{a}^2+{\log }_a{b}^3=2+3{\log }_{a}b$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^2{b}^3)={\log }_a{a}^2+{\log }_a{b}^3=2+3{\log }_{a}b$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^2{b}^3)={\log }_a(a^2)+{\log }_a(b^3)=2+3{\log }_{a}b$ (do ${\log }_a{a}^2=2$ và ${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^2{b}^3)={\log }_a(a^2)+{\log }_a(b^3)=2+3{\log }_{a}b$ (với $a>0,a\ne 1,b>0$). Vậy đáp án là C. Lưu ý D cũng tương đương về giá trị vì ${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$, nhưng dạng chuẩn theo ${\log }_{a}b$ là $2+3{\log }_{a}b$, khớp phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Xét các phương án: A có $a=\sqrt{2}>1$ (đồng biến); B có $a=2>1$ (đồng biến); C có $a=\frac{1}{3}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; D có $a=3>1$ (đồng biến). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 0103, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Trong các đáp án: $y=2^x$, $y=3^x$, $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ đều có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Riêng $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{3}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$, đồng biến vì cơ số $3>1$, đi qua điểm $(1;0)$ và có tiệm cận đứng là trục $Oy$. Xét các hình ở Câu 10 (trang 6, Mã đề 102): hình A là đồ thị hàm logarit đồng biến, nằm bên phải trục $Oy$, cắt trục hoành tại $x=1$, đi xuống dưới gần trục $Oy$ — khớp với $y={\log }_{3}x$. Hình B là hàm mũ đồng biến $y=a^x$ ($a>1$) vì đi qua $(0;1)$; hình C là hàm mũ nghịch biến $y=a^x$ ($0<a<1$); hình D là hàm logarit nghịch biến (cơ số nhỏ hơn 1). Vậy đáp án là A, khớp với bảng đáp án (đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta có ${\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án đề 102 câu 6 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{a^n}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^n}=\frac{{\log }_{a}b}{n}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ (vì $a>0,a\ne 1,b>0,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm: với $x,y>0$ ta có $\ln (xy)=\ln x+\ln y$. Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=3^x$ có cơ số $3>0$, $3\ne 1$, nên xác định với mọi số thực $x$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$, tương ứng đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $x,y>0$ ta có $\log \frac{x}{y}=\log x-\log y$. Do đó đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$, do đó tập xác định là $\mathbb{D}=(0;+\infty )$. Đáp án khớp với mã đề 1001, câu 8: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(x-4)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương: $x-4>0\iff x>4$. Vậy tập xác định là $(4;+\infty )$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_8(3-x)$ xác định khi biểu thức trong logarit dương: $3-x>0\iff x<3$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;3)$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án mã đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b,c>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_{a}b.{\log }_{b}a=1$ đúng vì ${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$.
- B: ${\log }_{a}c=-{\log }_{c}a$ sai, vì theo công thức đổi cơ số ${\log }_{a}c=\frac{1}{{\log }_{c}a}$ (không có dấu trừ). Ví dụ $a=2,c=8$: ${\log }_{2}8=3$ còn $-{\log }_{8}2=-\frac{1}{3}\ne 3$.
- C: ${\log }_{a}c=\frac{{\log }_{b}c}{{\log }_{b}a}$ đúng (công thức đổi cơ số).
- D: ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ đúng (tính chất logarit của tích).
Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(2x-6)$ xác định khi $2x-6>0\iff x>3$. Vậy $D=(3;+\infty )$, trùng với đáp án B (khớp với bảng đáp án mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(2x+6)$ xác định khi và chỉ khi $2x+6>0\iff x>-3$. Vậy $D=(-3;+\infty )$, trùng với đáp án C (khớp với bảng đáp án mã đề 101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến khi $a>1$, nghịch biến khi $0<a<1$; hàm số logarit $y={\log }_{a}x$ đồng biến khi $a>1$, nghịch biến khi $0<a<1$. Xét từng phương án: A. $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ có cơ số $\frac{2}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. C. $y={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0,5<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. D. $y={\log }_{2}x$ có cơ số $2>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1008, câu 9: D).