Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm số logarit đồng biến (tăng dần), nên cơ số lớn hơn 1, loại phương án B (cơ số 1/2, nghịch biến). Đồ thị đi qua điểm $(\frac{1}{2},-1)$: với $y={\log }_{2}x$ ta có ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$ (đúng). Kiểm tra các phương án khác: $y={\log }_{2}2x$ tại $x=\frac{1}{2}$ cho ${\log }_{2}1=0\ne -1$; $y={\log }_2{x}^2$ tại $x=\frac{1}{2}$ cho ${\log }_2\frac{1}{4}=-2\ne -1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\log }_{2}x$, đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3$ xác định khi $x^3>0\iff x>0$, tập xác định $D=(0;+\infty )$.
a) Với $x>0$: ${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=3{\log }_{\frac{1}{3}}x\ne -3{\log }_{\frac{1}{3}}x$ → Sai.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{3x^2}{x^3\ln \frac{1}{3}}=\frac{3}{x\ln \frac{1}{3}}<0$ với mọi $x>0$ (vì $\ln \frac{1}{3}<0$), nên hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$, tức nghịch biến trên từng khoảng xác định → Đúng.
c) Hàm nghịch biến, $2025<2026\Rightarrow f(2025)>f(2026)$ → Đúng.
d) ${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=0\iff x^3=1\iff x=1$; với $x=-1$ thì $x^3=-1<0$ nên logarit không xác định → Sai.
Kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai khớp đáp án mã đề 1102 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: ${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=3{\log }_{\frac{1}{3}}x\ne -3{\log }_{\frac{1}{3}}x$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=(0;+\infty )$; $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x\ln \frac{1}{3}}<0$ với mọi $x>0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$, $2025<2026\Rightarrow f(2025)>f(2026)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=0\iff x^3=1\iff x=1$; với $x=-1$ thì $x^3=-1<0$ nên logarit không xác định. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (16-x^2)$ xác định khi $16-x^2>0\iff -4<x<4$. Vậy tập xác định là $(-4;4)$, tức $a=-4$, $b=4$, nên $a.b=-16$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-16).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_3{x}^3$ xác định khi $x^3>0$, tức $x>0$. Trên tập xác định này, $f(x)={\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x$.
a) Với $x>0$, $f(x)=3{\log }_{3}x$ có $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x\ln 3}>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng xác định $(0;+\infty )$. Do đó khẳng định a) là SAI.
b) Với $x>0$: ${\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x$ theo tính chất logarit của lũy thừa. Khẳng định b) ĐÚNG.
c) ${\log }_3{x}^3=0\iff x^3=3^0=1\iff x=1$ (vì $x>0$). Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x=1$. Khẳng định c) ĐÚNG.
d) Vì hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $2025<2026$ nên $f(2025)<f(2026)$. Khẳng định d) ĐÚNG.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng — khớp với đáp án mã đề 1101 (SĐĐĐ) ở trang 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $x>0$, khi đó $f(x)=3{\log }_{3}x$ với $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x\ln 3}>0$, nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, theo tính chất logarit: ${\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_3{x}^3=0\iff x^3=1\iff x=1$ (thỏa mãn $x>0$), nên $x=1$ là nghiệm (duy nhất).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên với $2025<2026$ ta có $f(2025)<f(2026)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{3}-1<1$ nên hàm mũ cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến: $(\sqrt{3}-1{)}^{2018}<(\sqrt{3}-1{)}^{2017}$, do đó khẳng định A sai. Kiểm tra các khẳng định còn lại đều đúng: B đúng vì $\sqrt{2}+1\approx 2.414>\sqrt{3}\approx 1.732$ và cơ số $2>1$; C đúng vì $0<\sqrt{2}-1<1$ nên lũy thừa cao hơn nhỏ hơn; D đúng vì $0<1-\frac{\sqrt{2}}{2}<1$ nên $(1-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^{2019}<(1-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^{2018}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b>0$, $a,b\ne 1$, $x,y>0$:
- A: ${\log }_a{x}^2=2{\log }_{a}x$ đúng vì $x>0$ nên công thức lũy thừa của logarit áp dụng được.
- C: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ đúng theo công thức logarit của một thương.
- D: $\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}={\log }_{a}x$ đúng theo công thức đổi cơ số.
- B: ${\log }_{a}x=\frac{1}{{\log }_{x}a}$ chỉ đúng khi $x\ne 1$ (vì ${\log }_{x}a$ yêu cầu cơ số $x\ne 1$). Đề bài chỉ cho $x>0$, nên khi $x=1$ thì ${\log }_{x}a$ không xác định, do đó khẳng định B sai.
Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ nằm bên phải trục tung (tập xác định $x>0$), đi qua điểm $(2;-1)$ và nghịch biến. Loại A, B vì hàm số mũ có tập xác định $\mathbb{R}$. Với $y={\log }_{2}x$ thì ${\log }_{2}2=1\ne -1$ và hàm đồng biến, loại C. Với $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$: ${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$, hàm nghịch biến vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khối lượng còn lại sau $t$ năm: $m(t)=15\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/25}$. Với $t=120$: $m(120)=15\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{120/25}=15\cdot 2^{-4,8}\approx \frac{15}{27,8581}\approx 0,5385\approx 0,54$ gam. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,54.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ đi qua điểm $(1;3)$ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên có dạng $y=a^x$ với $a>1$ và $a^1=3$, tức $y=3^x$. Loại A vì $2^1=2\ne 3$; loại B, C vì hàm số nghịch biến. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 132, Câu 4 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã đề 102), đáp án nguồn: 3a S, 3b Đ, 3c S, 3d Đ — khớp với kết quả giải độc lập.
a) f(x)=g(x) ⇔ log₄x = log₄(x²−12) ⇔ x = x²−12 với điều kiện x>0 và x²−12>0 (tức x>2√3). Giải x²−x−12=0 được x=4 hoặc x=−3; chỉ x=4 thỏa điều kiện. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, mệnh đề 'có 2 nghiệm phân biệt' SAI.
b) f(x)=2 ⇔ log₄x=2 ⇔ x=4²=16, nghiệm duy nhất → ĐÚNG.
c) g(x)=log₄(x²−12) xác định ⇔ x²−12>0 ⇔ x<−2√3 hoặc x>2√3. Tập xác định là (−∞;−2√3)∪(2√3;+∞), không phải (4;+∞) → SAI.
d) f(x)=log₄x có cơ số 4>1 nên đồng biến trên (0;+∞) → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
log₄x=log₄(x²−12) ⇔ x=x²−12, x>2√3. Giải x²−x−12=0 được x=4 hoặc x=−3; chỉ x=4 thỏa điều kiện nên chỉ có 1 nghiệm, không phải 2 nghiệm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
log₄x=2 ⇔ x=4²=16, nghiệm duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
g(x) xác định khi x²−12>0 ⇔ x∈(−∞;−2√3)∪(2√3;+∞), không phải (4;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit cơ số 4>1 nên f(x)=log₄x đồng biến trên (0;+∞).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: hàm số $f(x)={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. b) Sai: hàm $g(x)={\log }_4(x^2-12)$ xác định khi $x^2-12>0\iff x>2\sqrt{3}$ (kết hợp $x>0$), vậy tập xác định là $(2\sqrt{3};+\infty )$, không phải $(4;+\infty )$. c) Sai: $f(x)=g(x)\iff {\log }_{4}x={\log }_4(x^2-12)\iff x=x^2-12\iff x^2-x-12=0\iff x=4$ hoặc $x=-3$. Do điều kiện $x>2\sqrt{3}$ nên chỉ nhận $x=4$: phương trình có đúng 1 nghiệm, không phải 2 nghiệm phân biệt. d) Đúng: $f(x)=2\iff {\log }_{4}x=2\iff x=4^2=16$, nghiệm duy nhất $x=16$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3a Đ, 3b S, 3c S, 3d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $4>1$ nên $f(x)={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x^2-12>0$ và $x>0$ cho tập xác định $(2\sqrt{3};+\infty )$, không phải $(4;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=x^2-12\iff x=4$ hoặc $x=-3$; chỉ $x=4$ thỏa mãn $x>2\sqrt{3}$, nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=2\iff x=16$, đúng một nghiệm.

Đáp án mã đề 1014: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Ta thấy đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ qua điểm $\left(2;\frac{1}{2}\right)$ nên ${\log }_{a}2=\frac{1}{2}\iff a^{\frac{1}{2}}=2\iff a=4$.

Đáp án mã đề 1013: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Ta thấy đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ qua điểm $\left(2;\frac{1}{2}\right)$ nên ${\log }_{a}2=\frac{1}{2}\iff a^{\frac{1}{2}}=2\iff a=4$.

Theo công thức $f(x)=C\cdot e^{kx}$:
- Lúc đầu $(x=0)$: $f(0)=C\cdot e^0=C=300$.
- Sau 1 giờ $(x=1)$: $f(1)=300\cdot e^k=705⟹e^k=\frac{705}{300}=2,35$.
Số vi khuẩn sau 5 giờ $(x=5)$ là:
$$f(5)=300\cdot e^{5k}=300\cdot (e^k{)}^5=300\cdot (2,35{)}^5\approx 21485,\mathrm{142...}$$
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được $21485,1$.
Đồng nhất với dạng $\overline{2ab85,1}$, ta suy ra $a=1$ và $b=4$.
Vậy $T=b-a=4-1=\boxed{3}$.

Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:

- Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải, suy ra đây là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Loại đáp án A và C (do cơ số $\sqrt{3}>1$ và $3>1$).
- Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(-1;3)$.
- Kiểm tra đáp án B: Với $x=-1\Rightarrow y=3^{-(-1)}=3^1=3$ (Thỏa mãn).
- Kiểm tra đáp án D: Với $x=-1\Rightarrow y={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2}=1,5\ne 3$ (Loại).

Vậy đồ thị đã cho là của hàm số $y=3^{-x}$.

Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(b^2)=2{\log }_{a}b$, nên khẳng định A (${\log }_a(b^2)=\frac{1}{2}{\log }_{a}b$) là sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng: B và D là tính chất đổi cơ số (${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$), C là hệ quả ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$. Đáp án khớp với mã đề 246: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b>0$, $a\ne 1$, $b\ne 1$:
- A: ${\log }_a(b^2)=2{\log }_{a}b$ đúng theo tính chất lũy thừa của logarit.
- B: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, không phải $-{\log }_{b}a$. Ví dụ $a=2,b=4$: ${\log }_{2}4=2$ còn $-{\log }_{4}2=-\frac{1}{2}\ne 2$. Vậy B sai.
- C: ${\log }_{a^3}b=\frac{\ln b}{3\ln a}=\frac{1}{3}{\log }_{a}b$ đúng.
- D: ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$ đúng (tính chất hai logarit cơ số nghịch đảo).
Khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 123, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_3(9-2x)$. a) Điều kiện xác định: $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên tập xác định là $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$, khẳng định Sai. b) $f(0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$, khẳng định Đúng. c) Hàm số chỉ xác định trên $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$ nên không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$; hơn nữa $f$ nghịch biến trên tập xác định của nó vì $9-2x$ nghịch biến và ${\log }_{3}t$ đồng biến, khẳng định Sai. d) Trên đoạn $[-9;3]$ (nằm trong tập xác định), $9-2x$ giảm từ $27$ đến $3$, do đó $f(x)$ giảm từ ${\log }_{3}27=3$ đến ${\log }_{3}3=1$, tập giá trị là $[1;3]$, khẳng định Đúng. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1120: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cần $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ xác định trên $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$ và nghịch biến trên tập xác định đó, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-9;3]$, $9-2x$ giảm từ $27$ đến $3$ nên $f(x)$ giảm từ $3$ đến $1$; tập giá trị là $[1;3]$.