Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện xác định: $x-3>0\iff x>3$. Do đó tập xác định là $(3;+\infty )$.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13-15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13-15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

a) Điều kiện xác định: $x>0$ và $x\ne 0$, do đó tập xác định là $(0;+\infty )$ (Đúng).
b) Ở đây $\log x$ là lôgarit thập phân cơ số $10$, đạo hàm là $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln 10}\ne \frac{1}{x}$, do đó mệnh đề b) sai (Sai).
c) Ta có $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-x+2\log (x^{-1})=-(x-\frac{1}{x}+2\log x)=-f(x)$ với mọi $x>0$ (Đúng).
d) Phương trình $f(\cos x+3)+f\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x+3}\right)=0⟺f(\cos x+3)=f({\sin }^{2}x+3)$. Vì hàm số đồng biến nên $\cos x+3={\sin }^{2}x+3⟺\cos x=1-{\cos }^{2}x⟺{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$. Xét nghiệm trên $[0;2\pi ]$ theo bảng đáp án cho tổng các nghiệm là $3\pi$ (Đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 111, trang 5), Câu 3 (Phần I) chọn đáp án B.

Từ đồ thị ta có $A(5;0)$, $B(5;{\log }_{a}5)$, $C(5;{\log }_{b}5)$ với $0<{\log }_{a}5<{\log }_{b}5$.
Do $CB=2AB$ nên $AC=3AB\iff {\log }_{b}5=3{\log }_{a}5={\log }_{\sqrt[3]{a}}5\iff b=\sqrt[3]{a}\iff a=b^3$.

Hàm số $y=3^{-x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ là hàm số mũ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$, tập xác định $\mathbb{R}$, nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 601: B).

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án C.

Giao điểm với trục $Ox$ ($y=0$):
- Với $y={\log }_{2}x=0\Rightarrow x=1\Rightarrow A(1;0)$.
- Với $y={\log }_2(x-p)+q=0\Rightarrow {\log }_2(x-p)=-q\Rightarrow x=p+2^{-q}\Rightarrow B(p+2^{-q};0)$.
Do đó $BA=x_B-x_A=p+2^{-q}-1$.

Giao điểm với đường thẳng $y=3$:
- Với ${\log }_{2}x=3\Rightarrow x=8\Rightarrow C(8;3)$.
- Với ${\log }_2(x-p)+q=3\Rightarrow x=p+2^{3-q}\Rightarrow D(p+2^{3-q};3)$.
Do đó $CD=x_C-x_D=8-p-2^{3-q}$.

Từ giả thiết $CD-BA=\frac{3}{4}$, ta có:
$(8-p-2^{3-q})-(p+2^{-q}-1)=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{33}{4}-2p=2^{3-q}+2^{-q}(\ast )$.

Vì hai đồ thị cắt nhau tại $(4;2)$ nên ${\log }_2(4-p)+q=2\Rightarrow 4-p=2^{2-q}$.
Suy ra $2^{3-q}+2^{-q}=\left(2+\frac{1}{4}\right)2^{2-q}=\frac{9}{4}(4-p)$.
Thay vào $(\ast )$: $\frac{33}{4}-2p=\frac{9}{4}(4-p)\iff 33-8p=36-9p\iff p=3$.
Từ đó $4-3=2^{2-q}\iff q=2$. Vậy $p+q=3+2=5$.

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.



- **Ý b) Đúng:** Khi $m=0$, trên $(-2;+\infty )$ ta có $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_2(2x^2+1)-{\log }_2(x+2)$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}$.
- **Ý c) Sai:** Khi $m=-1$, $f(x)=1\iff \sqrt{2x^2-x+1}=2(x+2)$ với $x>-2\iff 2x^2+17x+15=0$ ($x>-2$). Phương trình có hai nghiệm $x=-1$ (nhận) và $x=-\frac{15}{2}$ (loại vì $<-2$), nên chỉ có $1$ nghiệm.
- **Ý d) Sai:** Khi $0<m<2\sqrt{2}$ thì $\Delta =m^2-8<0$ nên $2u^2+mu+1>0,\forall u\in \mathbb{R}$. Hàm số $y=f(2-x^2)$ xác định khi $2-x^2+2>0\iff -2<x<2$, tức là $D=(-2;2)$.
- **Ý a) Đúng:** Phương trình tương đương ${\log }_2\sqrt{2x^2+mx+1}+\sqrt{2x^2+mx+1}={\log }_2(x+2)+(x+2)$.
Xét $g(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $\sqrt{2x^2+mx+1}=x+2\iff \{\begin{array}{l}x>-2\\ h(x)=x^2+(m-4)x-3=0\end{array}$.
Vì $h(-2)=9-2m$, để $h(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $-2$ thì $\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ h(-2)>0\\ \frac{4-m}{2}>-2\end{array}\iff m<\frac{9}{2}$.

Hàm số xác định khi và chỉ khi:
$2025-x^2>0\iff x^2<2025\iff -45<x<45$.
Vậy tập xác định là $D=(-45;45)$.

Với $a>0$, ta có ${\log }_4(4a)={\log }_{4}4+{\log }_{4}a=1+{\log }_{4}a$. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=(2x-2){\left(\frac{3}{5}\right)}^{x^2-2x+3}\ln \frac{3}{5}$. Do $\ln \frac{3}{5}<0$, $y^{\prime }>0\iff 2x-2<0\iff x<1$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$.

Đồ thị hàm số $y=a^x$ đồng biến đi lên nên $a>1$. Đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x$ nghịch biến đi xuống nên $0<b<1$. Do đó khẳng định $a>b>1$ là sai.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. a) Điều kiện $x^2-5x+4>0\iff x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$ (Sai). b) $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{(x^2-5x+4)\ln (1/2)}=\frac{5-2x}{(x^2-5x+4)\ln 2}$ (Đúng). c) $f(x)>0\iff 0<x^2-5x+4<1$, không có nghiệm nguyên nào (Sai). d) Trên nửa khoảng $(4;7]$, hàm số nghịch biến và ${\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)=+\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên $(4;7]$ (Sai).

Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi cơ số $a>1$. Vì $\sqrt{2}>1$ nên hàm số $y=(\sqrt{2}{)}^x$ đồng biến.

Với $x>0$, theo tính chất logarit ta có ${\log }_2{x}^3=3{\log }_{2}x$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 5, mã đề 1101: D).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án B.

Vì đồ thị $y=2^x$ và $y={\log }_{2}x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ và $△OBC$ đều nhận đường thẳng $y=x$ làm trục đối xứng nên tia $OB$ tạo với tia $Ox$ góc $45^{\circ }+30^{\circ }=75^{\circ }$. Do đó $\frac{2^a}{a}=\tan 75^{\circ }=2+\sqrt{3}$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Điều kiện xác định: $x+3>0\iff x>-3$. Vậy $D=(-3;+\infty )$.

Hàm số xác định khi và chỉ khi: $\{\begin{array}{l}x>0\\ 1-\log x\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \log x\le 1\end{array}\iff 0<x\le 10$.
Vậy tập xác định là $D=(0;10]$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 6, mã đề 0017: Chọn B).

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1010; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)