Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Lời giải:
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21$. (0,25 đ)
Diện tích của tam giác $ABC$ là
$S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}=\sqrt{21\cdot (21-13)\cdot (21-14)\cdot (21-15)}=84$. (0,25 đ)
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có: $S=\frac{abc}{4R}$. (0,25 đ)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}$ (0,25 đ)

Lời giải:
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21$. (0,25 đ)
Diện tích của tam giác $ABC$ là
$S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}=\sqrt{21\cdot (21-13)\cdot (21-14)\cdot (21-15)}=84$. (0,25 đ)
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có: $S=\frac{abc}{4R}$. (0,25 đ)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}$ (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Tiểu đội đi từ A đến B rồi rẽ phải một góc 50° so với hướng ban đầu, nên góc trong tam giác tại B là $\widehat{ABC}=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=12^2+3^2-2\cdot 12\cdot 3\cdot \cos 130^{\circ }=153+72\cdot \cos 50^{\circ }\approx 153+72\cdot 0,6428\approx 199,28$. Suy ra $AC\approx 14,1km$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2=3$. Suy ra $BC=\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. So sánh với $a^2=b^2+c^2+bc\sqrt{2}$ ta được $-2bc\cos A=bc\sqrt{2}$, suy ra $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $A=135^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao từ $C$ xuống $AB$: $h=\frac{2S}{AB}=\frac{2\cdot 18}{9}=4$. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên khoảng cách từ $M$ đến $AB$ bằng nửa khoảng cách từ $C$ đến $AB$ (tính chất đường trung bình/đường thẳng song song): $d(M,AB)=\frac{4}{2}=2$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 6,7\cdot \sin 45^{\circ }=24,12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 24,12\cdot 0,7071\approx 17,06\approx 17,1c{m}^2$. Vậy đáp án gần đúng nhất là C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin B=24\sin B=12\sqrt{2}$, suy ra $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $0^{\circ }<B<180^{\circ }$ nên $B=45^{\circ }$ hoặc $B=135^{\circ }$ (cả hai giá trị đều thỏa mãn vì $\sin 45^{\circ }=\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$). Đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$: $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{2\cdot 12\sqrt{2}}{8}=3\sqrt{2}cm$. Lưu ý: độ dài đường cao không phụ thuộc vào việc chọn $B=45^{\circ }$ hay $B=135^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $BC=3$, $CA=4$, $AB=5$ thỏa mãn $3^2+4^2=5^2$ nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác vuông tại $C$ (vì $AB$ là cạnh lớn nhất đối diện góc $C$).
a) Góc $C=90^{\circ }$ là góc lớn nhất (đối diện cạnh lớn nhất $AB=5$). Đúng.
b) Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{3+4-5}{2}=1cm\ne 2cm$. Sai.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa cạnh huyền $R=\frac{5}{2}=2,5cm\ne 3cm$. Sai.
d) Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6c{m}^2$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại $C$ vì $3^2+4^2=5^2$, cạnh lớn nhất $AB=5$ đối diện góc $C$, nên góc $C=90^{\circ }$ lớn nhất.
b) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{BC+CA-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1cm$, không phải $2cm$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại $C$ nên $R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2,5cm$, không phải $3cm$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CA=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo bán kính đường tròn nội tiếp: $S=p\cdot r$ với $p$ là nửa chu vi. Suy ra $p=\frac{S}{r}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10$. Chu vi tam giác $=2p=20$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với a=7, b=9, c=12: nửa chu vi p=(7+9+12)/2=14, nên mệnh đề a đúng. Diện tích theo công thức Heron: S=√(14·7·5·2)=√980=14√5, nên mệnh đề b đúng. Xét góc lớn nhất C (đối diện c=12): cos C=(a²+b²−c²)/(2ab)=(49+81−144)/(2·7·9)=−14/126<0, nên góc C tù, tam giác không nhọn, mệnh đề c sai. Với d: 1/h_b+1/h_c=b/(2S)+c/(2S)=(b+c)/(2S)=21/(2S), còn 2/h_a=2a/(2S)=14/(2S). Vì 21≠14 nên mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(7+9+12)/2=14.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(14·7·5·2)=√980=14√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos C=(49+81−144)/126<0 nên góc C tù, tam giác tù không nhọn.
d) (AI giải đề cho tôi)
1/h_b+1/h_c=(b+c)/(2S)=21/(2S)≠2/h_a=2a/(2S)=14/(2S).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=64+9-24=49$. Suy ra $b=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thang dài 15 m nối đáy bể với mép trên bể, phần chiếu lên phương thẳng đứng của thang bằng chiều cao bể là 10 m (hình vẽ cho thấy mực nước sâu 9 m, tức cách mặt bể 1 m). Vì thang là đoạn thẳng nối đáy với mép bể, tỉ lệ phần thang ngập nước theo chiều cao là $\frac{9}{10}$. Độ dài thang bị ngập: $\frac{9}{10}\cdot 15=13,5$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+18-2\cdot 5\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=43-30=13$, nên $BC=\sqrt{13}\ne \sqrt{23}$ → c) Sai.
Định lí sin: $\frac{\sin C}{AB}=\frac{\sin A}{BC}\Rightarrow \sin C=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{13}}\approx 0,9806\Rightarrow C\approx 78,6^{\circ }$ (hoặc $101,4^{\circ }$), không phải $59^{\circ }$ → a) Sai.
Nửa chu vi $p=\frac{5+3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{2}\approx 6,42$; diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }=7,5$ → d) Đúng. Bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}\approx \frac{7,5}{6,42}\approx 1,17\ne 1,25$ → b) Sai.
Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\sin C=\frac{5\sin 45^{\circ }}{\sqrt{13}}\approx 0,9806$ nên $C\approx 78,6^{\circ }$ (hoặc $101,4^{\circ }$), không phải $59^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{5+3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{2}\approx 6,42$, $r=S/p\approx 7,5/6,42\approx 1,17\ne 1,25$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+18-30=13$ nên $BC=\sqrt{13}\ne \sqrt{23}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }=7,5$.

Hướng dẫn chấm:
$\sin C=\frac{2S}{BC.AC}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \hat{C}=30^{\circ }$ (0,5 điểm)
Khi đó: $AB=\sqrt{B{C}^2+A{C}^2-2.BC.AC.\cos C}=\sqrt{43}$ (0,25 điểm)
$R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{\sqrt{43}}{2\sin 30^{\circ }}=\sqrt{43}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=5, AC=3√2, A=45°.
- b) S = ½·AB·AC·sinA = ½·5·3√2·(√2/2) = 15/2 = 7,5 → Đúng.
- c) BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cosA = 25 + 18 − 2·5·3√2·(√2/2) = 43 − 30 = 13 ⇒ BC = √13 ≠ √23 → Sai.
- a) nửa chu vi p = (5 + 3√2 + √13)/2 ≈ 6,424; r = S/p ≈ 7,5/6,424 ≈ 1,17 ≠ 1,25 → Sai.
- d) sinC = AB·sinA/BC = 5·(√2/2)/√13 ≈ 0,9806 ⇒ C ≈ 79° ≠ 59° → Sai.
Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
p = (5 + 3√2 + √13)/2 ≈ 6,424 nên r = S/p ≈ 7,5/6,424 ≈ 1,17 ≠ 1,25 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·5·3√2·sin45° = 15/2 = 7,5 → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC² = 25 + 18 − 30 = 13 ⇒ BC = √13 ≠ √23 → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinC = 5·sin45°/√13 ≈ 0,9806 ⇒ C ≈ 79° ≠ 59° → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=5, b=6, c=7. a) Theo định lí cosin: cos B = (a²+c²−b²)/(2ac) = (25+49−36)/(2·5·7) = 38/70 = 19/35. Vì 0°<B<180° nên sin B = √(1−(19/35)²) = √(864)/35 = 12√6/35 → Đúng. b) Vì A+B+C=180° nên A+B=180°−C, do đó cos(A+B)=cos(180°−C)=−cos C → Đúng. c) sin(A+B)=sin(180°−C)=sin C ≠ −sin C → Sai. d) Công thức diện tích đúng là S = abc/(4R), không phải abc/(2R) → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos B = (a²+c²−b²)/(2ac) = 19/35, nên sin B = √(1−361/1225) = 12√6/35.
b) (AI giải đề cho tôi)
A+B = 180°−C nên cos(A+B) = −cos C.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin(A+B) = sin(180°−C) = sin C, không phải −sin C.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là S = abc/(4R).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2=3$. Suy ra $BC=\sqrt{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{16}{169}=\frac{153}{169}=\frac{9\cdot 17}{169}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{17}}{13}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 101, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $A+B=180^{\circ }-C$. a) $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C$: đúng. b) $\sin (A+B)=\sin (180^{\circ }-C)=\sin C\ne -\sin C$: sai. c) Công thức diện tích đúng là $S=\frac{abc}{4R}$, không phải $\frac{abc}{2R}$: sai. d) $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+49-36}{70}=\frac{19}{35}$, nên $\sin B=\sqrt{1-\frac{361}{1225}}=\sqrt{\frac{864}{1225}}=\frac{12\sqrt{6}}{35}$: đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: D-S-S-D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (A+B)=\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$, không phải $-\sin C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $S=\frac{abc}{4R}$ (vì $\frac{a}{\sin A}=2R$ nên $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{abc}{4R}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+49-36}{70}=\frac{19}{35}$, suy ra $\sin B=\sqrt{1-{\left(\frac{19}{35}\right)}^2}=\frac{\sqrt{864}}{35}=\frac{12\sqrt{6}}{35}$.