Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và hai điểm $M(4;-4;2),N(6;0;6)$. Gọi $E$ là điểm thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $(S)$ tại $E$.

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;3;9),B(-3;7;-7)$. Xét mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A,B$ và có tâm thuộc $(Oxy)$. Bán kính mặt cầu $(S)$ nhỏ nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=5$ và điểm $A(0;4;3)$. Một điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu $(S)$ và luôn cách trục $Oz$ một khoảng bằng 2. Khi đó, độ dài đoạn thẳng $AM$ lớn nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=9$ và điểm $A(2;3;-1)$. Xét các điểm $M$ thuộc $(S)$ sao cho đường thẳng $AM$ tiếp xúc với $(S)$, $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình:

Cho tứ diện $ABCD$, tam giác $ABC$ đều, tam giác $ABD$ vuông cân đỉnh $D$ biết $BC=CD=a$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(0;2;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-2y-z-4=0$. Gọi $(S)$ là tập hợp các điểm $M$ trong không gian mà $IM\le 5$. Biết rằng mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo thiết diện là hình tròn $(C)$. Tính thể tích khối nón có đỉnh là $I$ và đáy là $(C)$.

Câu 5. Ở trung tâm của một vườn hoa, người ta đã thiết kế một khối chỏm cầu và cắm các loại hoa nhiều màu sắc trên đó. Vào mỗi buổi tối, người ta sử dụng bốn chiếc đèn chiếu, đặt ở bốn đỉnh của một hình vuông, cách đều tâm của khối chỏm cầu và cùng chiếu đèn để tăng thêm phần rực rỡ cho vườn hoa.

Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho chiếc đèn chiếu thứ nhất $D_1$ được đặt tại gốc tọa độ, các chiếc đèn chiếu thứ hai $D_2$ và thứ ba $D_3$ được đặt tại các điểm $D_2(4;0;0)$, $D_3(0;4;0)$, đồng thời trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị trên mỗi trục là $1$ mét). Khối chỏm cầu được đặt tại chính giữa của hình vuông tạo bởi bốn chiếc đèn chiếu (tâm của khối chỏm cầu nằm trên trục của hình vuông), mặt đáy của khối chỏm cầu đó nằm trên mặt đất – trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. Biết rằng điểm cao nhất của khối chỏm cầu (so với mặt đất) cách đều các đèn chiếu một khoảng bằng $\frac{\sqrt{86}}{2}\text{ (m)}$ và khối chỏm cầu là một phần của khối cầu có bán kính bằng $\sqrt{6}\text{ (m)}$.

Gọi $M(a;b;c)$ là điểm nằm trên đáy của khối chỏm cầu sao cho $M$ gần chiếc đèn chiếu thứ tư $D_4$ nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-2+2t\\ z=-3+2t\end{array}$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=25$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(222;565;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $M(a;b;c)$. Khi đó $a+b-c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) xem mặt đất trùng với mặt phẳng $(Oxy)$, một thiết bị phát sóng liên lạc đặt tại vị trí $A(1;-2;6)$ có bán kính vùng phủ sóng $30\text{ m}$ và một người đứng ở vị trí $M(16;5;0)$.

Trong một mô hình nghiên cứu của một nhà khoa học, bề mặt trái đất được xem là một mặt cầu $(S)$ với tâm $O$, bán kính $R=6400\text{ km}$. Để xác định vị trí của một địa điểm trên trái đất hoặc vị trí vật thể trong không gian, nhà khoa học đã chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với mỗi đơn vị trên trục bằng $100\text{ km}$. Một tàu vũ trụ được phóng lên theo một quỹ đạo là một đường thẳng rời khỏi bề mặt Trái Đất tại điểm $A(0;63;z_A)$ với $z_A\ge 0$, đi đến mục tiêu tại tọa độ $M(0;70;13)$.

Câu 5. Trên mặt đất có hai trạm thiên văn $B$ và $C$ đang theo dõi vị trí của một vệ tinh $M$. Lúc này trong không gian cũng có một vệ tinh $A$ di chuyển cùng với tốc độ quay của trái đất nên vị trí so với hai đài quan sát $B$ và $C$ là không đổi. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1000\text{ km}$), giả sử $A(0;0;8),B(4;0;0),C(0;6;0)$. Dữ liệu quan sát từ hai trạm $B$ và $C$ cho thấy $M{B}^2+M{C}^2=44$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vệ tinh $A$ và $M$ *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm và đơn vị là nghìn kilômét)*.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3),B(-2;1;1)$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng $600\text{ m}$ được đặt tại vị trí $I(200;450;60)$. Vào lúc 5 giờ 00 phút sáng, bạn An đi bộ từ vị trí $A(-100;50;0)$ đến vị trí $B(-100;1250;0)$ trên một đường thẳng với vận tốc không đổi trong thời gian 15 phút.

Một cái bể nuôi cá có dạng hình hộp chữ nhật và chứa đầy nước. Bạn Nam vô tình làm rơi viên bi dạng hình cầu vào trong bể nuôi cá. Khi đó, lượng nước trong bể tràn ra ngoài. Để tính lượng nước tràn ra ngoài, bạn Nam làm như sau:
Lấy cây thước thẳng, tiến hành di chuyển viên bi vào trong góc, sao cho viên bi tiếp xúc với mặt đáy và hai thành của bể nuôi cá. Bạn Nam tiến lại vị trí đỉnh của hình hộp chữ nhật gần với viên bi nhất và tiến hành đo: Chiều cao của bể là 35 cm. Tại vị trí đứng của Nam, đo từ đỉnh cao nhất của hình hộp chữ nhật đến điểm cao nhất của viên bi so với đáy bể là 33,5 cm. Biết thể tích của viên bi không vượt quá $4{\text{ cm}}^3$.

Bạn hãy thay Nam, tính thể tích (đơn vị: xăng-ti-mét khối) của lượng nước tràn ra ngoài. (Bán kính viên bi và lượng nước tràn ra ngoài làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, biết hai điểm $M(-1;2;4),N(2;2;1)$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I$. Điểm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-4+3t\\ y=3-t\\ z=4-3t\end{array}(t\in \mathbb{R})$.

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80\text{ m}$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500\text{ km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía Tây, trục $Oy$ hướng về phía Nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét). Một máy bay đang ở vị trí $A(400;300;10)$, chuyển động theo đường thẳng đến vị trí $D(-450;-250;10)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí điểm $I(1;0;0)$ và phát ra ánh sáng trong phạm vi mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R=2\text{ km}$. Hai tàu đánh cá $A$ và $B$ di chuyển với phương trình chuyển động lần lượt là tàu $A:\{\begin{array}{l}x=15-80t\\ y=-20+60t\\ z=0\end{array}$ và tàu $B:\{\begin{array}{l}x=-10+60t\\ y=15+80t\\ z=0\end{array}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ ($t\ge 0$).

Vào rạng sáng ngày 1/1/2025, hệ thống phòng thủ hành tinh phát hiện một thiên thạch lớn có tên là 2025-XH3 đang di chuyển hướng từ vị trí $A(-60;-45;-10)$ đến vị trí $B(-20;-15;0)$ trong một hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (đơn vị: nghìn km). Các nhà khoa học từ Trái Đất cho rằng thiên thạch chuyển động thẳng đều và sẽ đến vị trí B vào rạng sáng ngày 19/1/2025. Giả sử bề mặt Trái Đất được mô hình hóa là một mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=6,4^2$.

Để xác định vị trí của một địa điểm trên trái đất, một người đã chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với đơn vị trên trục bằng với bán kính của trái đất. Biết vị trí một điểm nằm trên bề mặt của trái đất là $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$. Nếu xuyên từ điểm $M$ vào lòng đất, theo đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-1/2}{1}=\frac{y-\sqrt{3}/2}{-1}=\frac{z}{1}$, thì người này xác định được vị trí của điểm $N$ nằm trên mặt đất. Khi đó điểm $N$ cách điểm $A\left(\frac{1}{6};\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$ bao nhiêu nghìn km (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)? Sử dụng số đo bán kính trái đất là $64000\text{ km}$.