Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(3;2;-6)$, mặt phẳng $(P):2x+2y+z-10=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x+2y-2z-3=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và điểm $A(0;0;2)$. Một mặt phẳng đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;a;b)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là hình tròn có diện tích nhỏ nhất. Độ dài $|\vec{n}|$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(1;2;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y+z+5=0$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$. Bán kính mặt cầu $(S)$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABC$ có các đỉnh $S(1;2;-2),A(-1;0;-2),C(3;-4;0)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có độ dài cạnh $BC=3\sqrt{3}$ đồng thời mặt đáy $(ABC)$ vuông góc với mặt bên $(SAC)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình là

Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm $O$, biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích mặt cầu bằng $72\pi$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-5;-3)$, mặt phẳng $(\alpha ):x-y-z+2=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=8$. Biết rằng mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn $AM$ lớn nhất?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$ và $M(4;6;3)$. Qua $M$ kẻ các tia $Mx,My,Mz$ đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là $A,B,C$. Biết mặt phẳng $(ABC)$ luôn đi qua một điểm cố định $H(a;b;c)$. Tính $a+3b-c$.

Trong không gian $Oxyz$, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $x^2+y^2+z^2+2(2+m)x-2(m-1)z+3m^2-5=0$ là phương trình của một mặt cầu?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ nhận hai mặt phẳng $(P):z-1=0$ và $(Q):2x+y-z+1=0$ làm các mặt phẳng đối xứng. Gốc tọa độ $O$ nằm ngoài mặt cầu, đồng thời khoảng cách từ $O$ đến một điểm $M$ nằm trên mặt cầu có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là $12$ và $6$. Biết tâm mặt cầu là điểm $I(a;b;c)$ với $a<0$, tính tổng $T=a+b+c$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a$, $\widehat{ADC}=60^{\circ }$, mặt bên $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ACD$ bằng

Tại lễ tri ân trưởng thành của học sinh khối 12 của trường THPT Bình Chiểu, kết thúc buổi lễ, một học sinh khối 12 đại diện cho các bạn thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với $1\text{ m}$, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-10{)}^2=2$. Cùng thời điểm đó, ba chiếc flycam $A,B,C$ cách nhau $3\text{ m},4\text{ m},5\text{ m}$ tạo thành một tam giác $ABC$ có $3$ cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-17=0$ có phương trình dạng $2x+ay+bz+c=0$. Tổng giá trị $T=a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;0;0)$, $B(1;3;0)$, $C(-1;0;3)$, $D(1;2;3)$. Tìm bán kính của mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một trạm X có chức năng thu phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là $2\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1\text{ km}$. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường có dạng đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=\sqrt{3}\end{array}$. Quãng đường mà bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu $\text{km}$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1$ mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng lên trên vuông góc với mặt biển, đỉnh của một ngọn hải đăng ở vị trí $I(21;35;50)$ cao $50$ mét so với mực nước biển và ngọn hải đăng này được thiết kế với vùng phủ sáng có bán kính là $4\text{ km}$. Một người đi biển ở vị trí $A(5121;658;0)$.

Cho mặt cầu tâm $O$, bán kính $r=5$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm $A,B,C$ mà $AB=3,BC=5,CA=4$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $(P)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+m-3=0$. Tìm số thực $m$ để $(\beta ):2x-y+2z-8=0$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-3i|=1$. Giá trị lớn nhất của $|\bar{z}+1+i|$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Mặt bên $(SAB)\perp (ABC)$ và $△SAB$ đều cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $317\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình rađa. Một máy bay X đang bay ở vị trí $A(-688;-185;11)$, chuyển động theo đường thẳng hướng đến điểm $E(677;940;11)$ (xem hình vẽ minh họa).

[IMAGE:img_q20_radar]

Biết rằng vận tốc máy bay là $900\text{ km/h}$, hãy tính số phút máy bay xuất hiện trên màn hình rađa của đài kiểm soát không lưu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).