Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa trục $Ox$ nên pháp tuyến $\vec{u}=(a;b;c)$ vuông góc với $\vec{i}=(1;0;0)$, suy ra $a=0$. Vì $(\alpha )$ đi qua $A(2;-1;5)$ nên $\vec{u}\cdot \overrightarrow{OA}=0\Rightarrow 2a-b+5c=0$. Với $a=0$ ta được $-b+5c=0\Rightarrow b=5c$. Vậy $\frac{b}{c}=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);3-2;-1-1)=(2;1;-2)$, đây cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng đi qua $B(1;3;-1)$ nên có phương trình: $2(x-1)+(y-3)-2(z+1)=0\iff 2x+y-2z-7=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(5;2;1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2z+8=0$ là $d(A,\alpha )=\frac{|5+2\cdot 2-2\cdot 1+8|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|15|}{3}=5$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ có phương trình: $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0$, tức $x-2y+3z+12=0$. Thử lại: $1-4-9+12=0$, thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$ → Đúng. b) Theo phương trình tham số của $d$, mọi điểm $A\in d$ có dạng $A(t;-1-t;2+2t)$ → Đúng. c) Thay $M(3;1;9)$ vào $(\alpha )$: $3+1-9+3=-2\ne 0$ → $M\notin (\alpha )$ → Sai. d) Với $A(t;-1-t;2+2t)$ thì $\overrightarrow{AM}=(t-3;-2-t;2t-7)$. $AM\parallel (\alpha )\iff \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (t-3)+(-2-t)-(2t-7)=0\iff 2-2t=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $\overrightarrow{AM}=(-2;-3;-5)$, $AM=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1001: ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(\alpha ):x+y-z+3=0$ suy ra trực tiếp $\vec{n}=(1;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của $d$ cho tọa độ điểm dạng $A(t;-1-t;2+2t)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;1;9)$: $3+1-9+3=-2\ne 0$, nên $M\notin (\alpha )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=(t-3;-2-t;2t-7)$; $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=2-2t=0\Rightarrow t=1$, $A(1;-2;4)$, $AM=\sqrt{(-2{)}^2+(-3{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{38}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ có phương trình: $1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0$, tức $x-1-2y+4+3z+9=0\iff x-2y+3z+12=0$. Thử lại: thay $A(1;2;-3)$: $1-4-9+12=0$ đúng. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ nên có dạng $2x-y+z+d=0$. Đi qua $M(3;-1;2)$: $2\cdot 3-(-1)+2+d=0\Rightarrow 6+1+2+d=0\Rightarrow d=-9$. Vậy $(Q):2x-y+z-9=0$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: thay $M$ vào $2x-y+z-9=6+1+2-9=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(-4;6;2)$, chọn vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;-1)$ (cùng phương với $\overrightarrow{AB}$). Mặt phẳng $(P)$ qua $A(5;-4;2)$: $2(x-5)-3(y+4)-(z-2)=0\iff 2x-3y-z-20=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(\beta )$ có cùng phương trình với $(\alpha )$ nên hai mặt phẳng trùng nhau, không song song. b) Đúng: từ phương trình $x+2y-2z+4=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(1;2;-2)$. c) Sai: thay $A(1;2;3)$ vào $y+z+5=0$ được $2+3+5=10\ne 0$, nên $(P)$ không đi qua $A$. (Thực tế mặt phẳng qua $A,B$ và vuông góc $(\alpha )$: $\overrightarrow{AB}=(1;4;-4)$, điều kiện $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ và $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=0$ cho $\overrightarrow{n_P}=(4;-3;-2)$, phương trình $4x-3y-2z+8=0$.) d) Đúng: $d(A,(\alpha ))=\frac{|1+2\cdot 2-2\cdot 3+4|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{3}{3}=1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\beta ):x+2y-2z+4=0$ trùng với $(\alpha )$, không song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec{n}(1;2;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A(1;2;3)$: $2+3+5=10\ne 0$, nên $(P)$ không đi qua $A$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(\alpha ))=|1+4-6+4|/3=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O$ $\Rightarrow d=0$, và vectơ pháp tuyến $(a;1;c)$ vuông góc với vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $(1;0;0)$ $\Rightarrow a=0$. Phương trình có dạng $y+cz=0$. Đi qua $M(2;3;-1)$: $3+c\cdot (-1)=0\Rightarrow c=3$. Vậy $a+c+d=0+3+0=3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $A(1;-3;1)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ được tính bằng công thức $d(A,(P))=\frac{|x_0-2y_0+2z_0-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}$. Thay tọa độ $A(1;-3;1)$: $|1-2(-3)+2(1)-3|=|1+6+2-3|=6$. Mẫu số: $\sqrt{1+4+4}=3$. Vậy $d(A,(P))=\frac{6}{3}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(1;-2;0)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-2;-2;-4)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;2)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ và vuông góc với $AB$: $(x-1)+(y+2)+2(z-0)=0\iff x+y+2z+1=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O$ nên có dạng $ax+by+cz=0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{OM}\times \overrightarrow{n_1}$ với $\overrightarrow{OM}=(0;-1;2)$, $\overrightarrow{n_1}=(1;1;3)$. Tính tích có hướng: $\vec{n}=(-1\cdot 3-2\cdot 1;2\cdot 1-0\cdot 3;0\cdot 1+1\cdot 1)=(-5;2;1)$. Vậy $(P):-5x+2y+z=0$. Kiểm tra: đi qua $O(0;0;0)$ ✓, đi qua $M$: $-5\cdot 0+2\cdot (-1)+2=0$ ✓, vuông góc với $x+y+3z-5=0$ vì $(-5)(1)+2\cdot 1+1\cdot 3=0$ ✓. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $M(1;1;1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4;-2;2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Mặt phẳng trung trực đi qua $M(1;1;1)$ có dạng $4x-2y+2z+D=0$. Thay $M$: $4-2+2+D=0\Rightarrow D=-4$. Vậy mặt phẳng là $4x-2y+2z-4=0$, chia 2: $2x-y+z-2=0$, khớp dạng $Ax+By+Cz-2=0$ với $A=2$, $B=-1$, $C=1$. Suy ra $K=A-B+C=2-(-1)+1=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ cắt các trục tại $M(-3;0;0)$, $B(0;1;0)$, $I(0;0;7)$ nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{7}=1$. Kiểm tra: tại $M$: $\frac{-3}{-3}=1$; tại $B$: $\frac{1}{1}=1$; tại $I$: $\frac{7}{7}=1$, đều thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{DB}=B-D=(-7+2;11-6;-10+7)=(-5;5;-3)$. Mặt phẳng $(R)$ qua $C(8;0;4)$ có phương trình: $-5(x-8)+5(y-0)-3(z-4)=0\iff -5x+5y-3z+40+12=0\iff -5x+5y-3z+52=0$. Kết quả khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng cắt các trục tại A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4) nên có dạng x/2 + y/3 + z/4 = 1 (tức 6x+4y+3z=12).
b) Đúng: (Q) song song (P) nên có dạng 6x+4y+3z+d=0; qua M(1;0;1): 6+3+d=0 → d=-9, được 6x+4y+3z-9=0.
c) Sai: AB đi qua A(2;0;0) với vectơ chỉ phương AB=(-2;3;0), phương trình tham số là x=2-2t, y=3t, z=0. Phương trình trong đề (x=-2+2t, y=3, z=0) không đi qua A và B.
d) Sai: vectơ chỉ phương của AB là u=(-2;3;0), của Δ là u_Δ=(2;-1;3). Tích vô hướng u·u_Δ = -4-3+0 = -7 ≠ 0 nên AB không vuông góc với Δ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz tại A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4) nên có phương trình x/2 + y/3 + z/4 = 1, tức 6x+4y+3z=12.
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có dạng 6x+4y+3z+d=0; thay M(1;0;1): 6+0+3+d=0 → d=-9, được 6x+4y+3z-9=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB qua A(2;0;0), vectơ chỉ phương AB=(-2;3;0) nên phương trình là x=2-2t, y=3t, z=0; phương trình trong đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
u_AB=(-2;3;0), u_Δ=(2;-1;3), tích vô hướng = -4-3+0=-7≠0 nên hai đường thẳng không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O$ và vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{i}=(1;0;0)$, do đó $\vec{i}\cdot \vec{n}=0\Rightarrow a=0$. Phương trình có dạng $by+cz=0$. Vì $(\alpha )$ đi qua $A(6;4;3)$ nên $4b+3c=0$. Vậy $P=4b+3c=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{4+2}{2};\frac{0+2}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=I(3;1;1)$. VTPT của mặt phẳng trung trực là $\overrightarrow{AB}=(-2;2;4)$, lấy $\vec{n}=(-1;1;2)$. Phương trình: $-1(x-3)+1(y-1)+2(z-1)=0\iff -x+y+2z=0$. Kiểm tra: $I(3;1;1)$: $-3+1+2=0$ ✓; $A(4;0;-1)$: $-4+0-2=-6\ne 0$ ✓ (A không thuộc mặt phẳng). Vậy đáp án C.