Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục như hình vẽ: Nam ở gốc $O(0;0;0)$, An đứng trên trục $Oy$ tại $A(0;4,5;0)$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$. Vị trí bóng rơi cách An $0,5m$ (lệch sang phải của Nam, tức lệch theo phương $Ox$) và cách Nam $4,5m$, nên điểm rơi có hoành $x=0,5$ và $OP=4,5$, suy ra $y=\sqrt{4,5^2-0,5^2}=\sqrt{20}\approx 4,4721$. Vậy $P(0,5;\sqrt{20};0)$.
Mặt phẳng $(\alpha ):ax+y+cx+d=0$ vuông góc với mặt đất nên pháp tuyến $(a;1;c)$ vuông góc với trục $Oz$, suy ra $c=0$. Quỹ đạo xuất phát từ Nam tại gốc $O$ nên $(\alpha )$ qua $O$, suy ra $d=0$. Mặt phẳng qua $P$: $a\cdot 0,5+\sqrt{20}=0\Rightarrow a=-\frac{\sqrt{20}}{0,5}=-2\sqrt{20}\approx -8,944$.
Do đó $a+c+d=-2\sqrt{20}\approx -8,9$ (làm tròn đến hàng phần chục), khớp với đáp án nguồn.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 1202, dòng 16: SDSS)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng mây đi qua $P(10;0;0)$, $Q(0;10;0)$, $R(0;0;1)$ có phương trình dạng chặn: $\frac{x}{10}+\frac{y}{10}+\frac{z}{1}=1$, tức $x+y+10z-10=0$.

Máy bay hạ cánh theo đoạn thẳng từ $A(5;10;2)$ xuống $O(0;0;0)$, nên vị trí bất kỳ trên đường hạ cánh là $M(t)=t(5;10;2)$ với $t\in [0;1]$.

Khi máy bay vừa xuyên qua lớp mây, $M$ thuộc mặt phẳng mây:
$$5t+10t+10\cdot 2t=10\Rightarrow 35t=10\Rightarrow t=\frac{2}{7}.$$
Suy ra $M=\left(\frac{10}{7};\frac{20}{7};\frac{4}{7}\right)$.

Khoảng cách từ máy bay (tại $M$) đến điểm hạ cánh $O$ trên đường băng:
$$OM=t\cdot OA=\frac{2}{7}\sqrt{5^2+10^2+2^2}=\frac{2\sqrt{129}}{7}\approx \frac{2\cdot 11,3578}{7}\approx 3,2451\approx 3,25\text{ km}.$$

Khớp với đáp án nguồn 3,25 (Mã đề 1202, câu 18).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P=(1;1;-1)$ và ${\vec{n}}_Q=(2;1;1)$, nên $\vec{n}={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(1\cdot 1-(-1)\cdot 1;(-1)\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot 1-1\cdot 2)=(2;-3;-1)$. Vậy $a:b:c=2:-3:-1$. Mặt phẳng đi qua $A(1;2;1)$: $2\cdot 1-3\cdot 2-1\cdot 1+d=0\Rightarrow d=5$, khớp với hệ số tự do 5 đã cho. Do đó $a+b+c=2+(-3)+(-1)=-2$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;1;1)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0;-1)$.

a) Sai. Mặt phẳng $(ABC)$: $x-3y+3z-1=0$. Khoảng cách từ $M(0;0;1)$ đến $(ABC)$: $d=\frac{|0-0+3-1|}{\sqrt{1+9+9}}=\frac{2}{\sqrt{19}}\approx 0,459<\frac{1}{2}$. Vì $MK\ge d$ với mọi $K\in (ABC)$ và giá trị nhỏ nhất $d<\frac{1}{2}$, khẳng định $MK\ge \frac{1}{2}$ sai.

b) Sai. Trọng tâm $G=\left(\frac{1+1+4}{3};\frac{1+2+1}{3};\frac{1+2+0}{3}\right)=(2;\frac{4}{3};1)$. Khi đó $2a+3b+c=4+4+1=9<10$.

c) Sai. $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 1\\ 3& 0& -1\end{array}\right|=(-1;3;-3)\ne (1;-3;3)$.

d) Đúng. VTPT $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;3;-3)$, qua $A(1;1;1)$: $-1(x-1)+3(y-1)-3(z-1)=0\iff x-3y+3z-1=0$. Khớp bảng đáp án mã đề 1201 câu 16: SSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ M(0;0;1) đến (ABC): $d=\frac{2}{\sqrt{19}}\approx 0,459<\frac{1}{2}$ nên tồn tại K với $MK<\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G(2;\frac{4}{3};1)$ nên $2a+3b+c=9<10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;3;-3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A với VTPT $(-1;3;-3)$: $x-3y+3z-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(2;-1;3)$, của $(Q)$ là ${\vec{n}}_Q=(1;1;1)$. Vì $(\alpha )$ vuông góc với $(P)$ và $(Q)$ nên $\vec{n}={\vec{n}}_P\times {\vec{n}}_Q=(-4;1;3)$. Phương trình $(\alpha ):-4x+y+3z+d=0$. Đi qua $A(1;2;-1)$: $-4+2-3+d=0\Rightarrow d=5$. Vậy $(\alpha ):-4x+y+3z+5=0$, tương đương $4x-y-3z-5=0$, tức $a=4,b=-1,c=-3$ (thỏa $a\cdot 1+b\cdot 2+c\cdot (-1)=5$). Khi đó $a-b+c=4+1-3=2$, khớp với đáp án nguồn (mã 1201, câu 18 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(1;2;4) đến (P): x+2y+2z+3=0 là d = |1+4+8+3|/√(1+4+4) = 16/3. Góc quan sát 120° là góc ở đỉnh của hình nón quan sát, nên bán kính hình tròn trên (P) là r = d·tan60° = (16/3)√3. Diện tích S = πr² = π·(256·3/9) = 256π/3 ≈ 268,08 ≈ 268. Khớp đáp án nguồn 268.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục có phương trình đoạn chắn $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$ → Đúng.
b) VTPT của $(ABC)$ là $\overrightarrow{n_1}=(2;3;3)$ (nhân đôi $\left(\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$), VTPT của $(P)$ là $\overrightarrow{n_2}=(3;-5;-3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=6-15-9=-18\ne 0$ nên hai mặt phẳng không vuông góc → Sai.
c) Mặt phẳng chứa trục $Oy$ có dạng $ax+bz=0$ (không có số hạng $y$ và hằng số). Qua $M(1;-5;2)$: $a+2b=0$, chọn $a=2,b=-1$ được $2x-z=0$ → Đúng.
d) Mặt phẳng trung trực của $AB$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-3;2;0)$, nên $\vec{n}=(-3;2;0)$ là một VTPT → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đoạn chắn của $(ABC)$ với các giao điểm $(3;0;0),(0;2;0),(0;0;2)$ là $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=(2;3;3)\cdot (3;-5;-3)=6-15-9=-18\ne 0$ nên $(ABC)$ không vuông góc với $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục $Oy$ dạng $ax+bz=0$; qua $M(1;-5;2)$: $a+2b=0$, chọn $a=2,b=-1$ được $2x-z=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng trung trực của $AB$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-3;2;0)$ nên $\vec{n}=(-3;2;0)$ là một pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;3-0;-1+3)=(1;3;2)$. Vì $(\beta )$ đi qua $A,B$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{AB}$: $-2+3b+2c=0\Rightarrow 3b+2c=2$. Vì $(\beta )\perp (\alpha )$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{n_{\alpha }}=(3;4;2)$: $-6+4b+2c=0\Rightarrow 4b+2c=6$. Trừ hai phương trình: $b=4$, suy ra $2c=2-12=-10\Rightarrow c=-5$. Vậy $T=b+c=4-5=-1$, khớp với đáp án nguồn.

VTPT $\overrightarrow{AB}=(1;-2;0)$. — 0,25đ
$\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $x-2y+d=0$, $(d\in \mathbb{R})$. — 0,25đ
Lại có $d(M,(\alpha ))=2\sqrt{5}\iff \frac{|1.3-2.(-1)+d|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=2\sqrt{5}\iff |d+5|=10\iff \left[\begin{array}{c}d=5\\ d=-15\end{array}\right]$. — 0,25đ
Từ đó ta có hai mặt phẳng $(\alpha )$ thỏa mãn là $x-2y+5=0$ và $x-2y-15=0$. — 0,25đ

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Mặt phẳng (ABC) cắt các trục tại A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) nên phương trình dạng đoạn chắn là $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$, không phải $=0$.
b) Đúng. VTCP của (ABC): ${\vec{n}}_1=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3})\sim (3;3;2)$; pháp tuyến của (P): ${\vec{n}}_2=(3;-5;3)$. Tích vô hướng $3\cdot 3+3\cdot (-5)+2\cdot 3=9-15+6=0$ nên hai mặt phẳng vuông góc.
c) Đúng. Mặt phẳng chứa trục Oy có dạng $ax+bz=0$ (không có số hạng y và hằng số). Qua M(1;-2;5): $a+5b=0$, chọn $a=5,b=-1$ được $5x-z=0$; kiểm tra M: $5(1)-5=0$.
d) Đúng. Mặt phẳng trung trực của AB vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, nên $\vec{n}=(-2;2;0)$ là một pháp tuyến của nó.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng phải là $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ (dạng đoạn chắn), vì thay A(2;0;0) vào vế trái được 1 chứ không phải 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{(ABC)}\sim (3;3;2)$, ${\vec{n}}_{(P)}=(3;-5;3)$, tích vô hướng $=9-15+6=0$ nên vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục Oy dạng $ax+bz=0$; qua M(1;-2;5) cho $a+5b=0$, chọn $5x-z=0$, thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng trung trực của AB vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$ nên $\vec{n}=(-2;2;0)$ là một pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\beta )$ đi qua $A,B$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)$. Vì $(\beta )\perp (\alpha )$ nên $\vec{n}\perp \overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;4;-2)$.
- $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-2-b+c=0\Rightarrow c=b+2$.
- $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=-2+4b-2c=0\Rightarrow 2b-c=1$.
Thay $c=b+2$: $2b-b-2=1\Rightarrow b=3$, suy ra $c=5$.
Kiểm tra: $\vec{n}=(-2;3;5)$, $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-2-3+5=0$ đúng; $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=-2+12-10=0$ đúng.
Vậy $T=b+c=3+5=8$, khớp với đáp án nguồn.

VTPT $\overrightarrow{AB}=(1;2;0)$. — 0,25đ
$\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $x+2y+d=0,(d\in \mathbb{R})$. — 0,25đ
Lại có $d(M,(\alpha ))=\sqrt{5}\iff \frac{|1.(-3)+2.1+d|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\iff |d-1|=5\iff \left[\begin{array}{c}d=6\\ d=-4\end{array}\right]$. — 0,25đ
Từ đó ta có hai mặt phẳng $(\alpha )$ thỏa mãn là $x+2y+6=0$ và $x+2y-4=0$. — 0,25đ

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: AB=(3−2;2−1;1+1)=(1;1;2), AC=(3−2;1−1;4+1)=(1;0;5). b) Sai: tích có hướng AB×AC = (1·5−2·0; 2·1−1·5; 1·0−1·1) = (5;−3;−1), không cùng phương với (5;3;1). c) Đúng: mặt phẳng qua A với VTPT (5;−3;−1): 5x−3y−z+d=0, thay A(2;1;−1): 10−3+1+d=0 ⇒ d=−8, tức 5x−3y−z−8=0. d) Đúng: d(O,(ABC)) = |−8|/√(25+9+1) = 8/√35. Khớp đáp án ĐĐSD của mã đề 1212.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(3−2;2−1;1−(−1))=(1;1;2); AC=(3−2;1−1;4−(−1))=(1;0;5).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB×AC=(5;−3;−1), không cùng phương với n=(5;3;1) nên n không phải vectơ pháp tuyến của (ABC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua A(2;1;−1) với VTPT (5;−3;−1): 5x−3y−z−8=0 (thay A: 10−3+1−8=0).
d) (AI giải đề cho tôi)
d(O,(ABC))=|−8|/√(5²+(−3)²+(−1)²)=8/√35.

a. Tính đúng $A(-12;-a;10)$; $B(-12;a;10)$ (thang điểm: 0,25 điểm)

b. Tính $\overrightarrow{CA}=(-12;-a;9)$; $\overrightarrow{CB}=(-12;a;9)\Rightarrow \left[\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right]=(-18a;0;-24a)=-6a(3;0;4)=-6a\vec{u}$ (thang điểm: 0,25 điểm).
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(3;0;4)$ nên 3 điểm A, B và C thuộc một mặt phẳng cố định (thang điểm: 0,25 điểm).
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(3;0;4)$ có phương trình $3x+4z-4=0$ (thang điểm: 0,25 điểm).

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-1;1-(-2);1-0)=(-4;3;1)$; $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1;-1+2;1-0)=(2;1;1)$. Đúng. b) $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot 2-(-4)\cdot 1;(-4)\cdot 1-3\cdot 2)=(2;6;-10)=2(1;3;-5)$, nên $\vec{n}=(1;3;-5)$ là một vectơ pháp tuyến. Đúng. c) Mặt phẳng qua $A(1;-2;0)$ với pháp tuyến $(1;3;-5)$: $1(x-1)+3(y+2)-5z=0\iff x+3y-5z+5=0$. Đúng. d) $d(O,(ABC))=\frac{|5|}{\sqrt{1+9+25}}=\frac{5}{\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{35}}{7}\approx 0,85\ne 5$. Sai. Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai (khớp đáp án ĐĐĐS của mã đề 1211).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(2;1;1)$ tính đúng từ tọa độ các điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(2;6;-10)=2(1;3;-5)$ nên $\vec{n}=(1;3;-5)$ là vectơ pháp tuyến của $(ABC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(1;-2;0)$: $x+3y-5z+5=0$ (thay $A$: $1-6+5=0$ đúng; thay $B$: $-3+3-5+5=0$ đúng; thay $C$: $3-3-5+5=0$ đúng).
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(ABC))=\frac{5}{\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{35}}{7}\approx 0,85\ne 5$.

a. Tính đúng $A(-10;-a;12)$; $B(-10;a;12)$ — 0,25

b. Tính $\overrightarrow{CA}=(-10;-a;11)$; $\overrightarrow{CB}=(-10;a;11)\Rightarrow \left[\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right]=(-22a;0;-20a)$ — 0,25
$$=-2a(11;0;10)=-2a\vec{u}.$$
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(11;0;10)$ nên 3 điểm A, B và C thuộc một mặt phẳng cố định. — 0,25
- $mp(ABC)$ đi qua điểm $C(0;0;1)$ và có VTPT $\vec{u}=(11;0;10)$ có phương trình
$$11x+10z-10=0$$ — 0,25

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: a) Trung điểm M của AB là (3;1;2), vecto pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là AB=(4;2;2), phương trình: 4(x-3)+2(y-1)+2(z-2)=0 ⟺ 2x+y+z-9=0. Đúng. b) d(A,(P))=|2·1-0+1-4|/√6=1/√6; d(B,(P))=|2·5-2+3-4|/√6=7/√6. Vậy d(A,(P))<d(B,(P)), ý b) Sai. c) Mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc (P) có pháp tuyến n vuông góc với AB=(4;2;2) và n_P=(2;-1;1): n=AB×n_P=(4;0;-8), chọn n=(1;0;-2). Qua A(1;0;1): x-2z+1=0 (thỏa cả B: 5-6+1=0). Đúng. d) AB=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2). Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã 1122, Phần 2 Câu 2: ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M(3;1;2), vecto pháp tuyến AB=(4;2;2), phương trình: 4(x-3)+2(y-1)+2(z-2)=0 ⟺ 2x+y+z-9=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P))=|2-0+1-4|/√6=1/√6 và d(B,(P))=|10-2+3-4|/√6=7/√6, nên d(A,(P))<d(B,(P)).
c) (AI giải đề cho tôi)
n=AB×n_P=(4;2;2)×(2;-1;1)=(4;0;-8)∼(1;0;-2), qua A(1;0;1): x-2z+1=0, kiểm tra B(5;2;3): 5-6+1=0 thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: bạn nữ đứng tại gốc O(0;0;0), bạn nam đứng trên mặt đất tại B(0;4;0) (trên trục Oy). Quả bóng rơi tại M sao cho cách bạn nam 3 m (theo phương vuông góc, lệch sang phải theo trục Ox) và cách bạn nữ 5 m. Kiểm tra: OM = √(3²+4²) = 5 m ✓. Quỹ đạo nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt đất và đi qua O, M nên (P) chứa trục Oz và vectơ OM = (3;4;0). Vectơ pháp tuyến n = [k, OM] = (4;−3;0). Phương trình (P): 4x − 3y + 0z + 0 = 0, tức b = −3, c = 0, d = 0. Vậy T = b + c + d = −3, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, Phần 3 câu 2 = −3).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng ý: a) ${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times {\vec{n}}_P=(4;2;2)\times (2;-1;1)=(4;0;-8)\sim (1;0;-2)$; qua $A(1;0;1)$: $x-2z+1=0$, đồng thời kiểm tra $B(5;2;3)$: $5-6+1=0$. Đúng. b) $d(A,(P))=\frac{|2-0+1-4|}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}$; $d(B,(P))=\frac{|10-2+3-4|}{\sqrt{6}}=\frac{7}{\sqrt{6}}$, nên $d(A,(P))<d(B,(P))$. Sai. c) Trung điểm $M(3;1;2)$, pháp tuyến $\overrightarrow{AB}\sim (2;1;1)$: $2(x-3)+(y-1)+(z-2)=0\iff 2x+y+z-9=0$. Đúng. d) $\overrightarrow{AB}=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2)$. Đúng. Kết quả ĐSĐĐ khớp đáp án chính thức mã đề 1121, Phần 2, Câu 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times {\vec{n}}_P=(4;0;-8)\sim (1;0;-2)$; qua $A(1;0;1)$ được $(Q):x-2z+1=0$, kiểm tra $B$ cũng thỏa. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{3}{\sqrt{6}}<d(B,(P))=\frac{7}{\sqrt{6}}$, nên khẳng định là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M(3;1;2)$, pháp tuyến $\overrightarrow{AB}\sim (2;1;1)$: $2x+y+z-9=0$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(5-1;2-0;3-1)=(4;2;2)$. Đúng.