Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của nguyên hàm: nguyên hàm của tổng (A) và hiệu (D) bằng tổng/hiệu các nguyên hàm; $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ với $k$ hằng số khác 0 (B) đều đúng. Khẳng định C sai vì nguyên hàm của thương không bằng thương các nguyên hàm. Ví dụ với $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ ($x\ne 0$): $\int \frac{x^2}{x}dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$, trong khi $\frac{\int x^{2}dx}{\int xdx}=\frac{x^3/3}{x^2/2}=\frac{2x}{3}$, hai kết quả khác nhau. Vậy khẳng định sai là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int (\cos x+2x)dx=\sin x+x^2+C$. Với $F(0)=3$ thì $C=3$, nên $F(x)=\sin x+x^2+3$. Do đó $F(\pi )=\sin \pi +{\pi }^2+3\approx 0+9.8696+3=12.8696\approx 12.9$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=3x^2-e^x$.
a) $F(x)=x^3-e^x+2026$ có $F^{\prime }(x)=3x^2-e^x=f(x)$, nên $F$ là một nguyên hàm của $f$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=6x-e^x=g(x)$, tức $f$ là một nguyên hàm của $g$. Đúng.
c) Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$. Đúng.
d) ${\int }_0^{1}f(x)dx={\left[x^3-e^x\right]}_0^1=(1-e)-(0-1)=2-e\ne 1-e$. Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn ĐĐĐS (mã đề 1212).
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=3x^2-e^x=f(x)$ nên $F$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=6x-e^x=g(x)$, do đó $f$ là một nguyên hàm của $g$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton–Leibniz: ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(3x^2-e^x)dx={\left[x^3-e^x\right]}_0^1=2-e\ne 1-e$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=2x-e^x$.
a) $F^{\prime }(x)=2x-e^x+2026^{\prime }=2x-e^x=f(x)$, nên $F(x)=x^2-e^x+2026$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=2-e^x=g(x)$, nên $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$. Đúng.
c) Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$, còn đề phát biểu $f(0)-f(1)$. Sai.
d) ${\int }_0^1(2x-e^x)dx={\left[x^2-e^x\right]}_0^1=(1-e)-(0-1)=2-e$. Đúng.
Đối chiếu đáp án mã đề 1211: Đ Đ S Đ — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-e^x=f(x)$ nên $F$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2-e^x=g(x)$ nên $f$ là một nguyên hàm của $g$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)$, không phải $f(0)-f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(2x-e^x)dx=[x^2-e^x{]}_0^1=2-e$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ với $F^{\prime }(x)=f(x)$, tức là nguyên hàm của $f(x)$ chứ không phải $f(x)+C$. Do đó mệnh đề A sai. Các mệnh đề B, C, D đều là các tính chất đúng của phép lấy nguyên hàm (tuyến tính): nguyên hàm của tổng/hiệu bằng tổng/hiệu các nguyên hàm, và hằng số $k\ne 0$ có thể đưa ra ngoài. Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos 3x\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sin 3x+C$ vì ${\left(\frac{\sin 3x}{3}\right)}^{\prime }=\cos 3x$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 405 (Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. b) Sai: nếu $F(x)=\frac{1}{x}$ thì $F^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, không phải $\ln |x|$ (thực tế $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$, tức $\ln |x|$ là nguyên hàm của $\frac{1}{x}$, không phải ngược lại). c) Đúng: họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ là $\int f(x)dx=F(x)+C$. d) Đúng: $F(x)=\int (2x+1)dx=x^2+x+C$; với $F(0)=5\Rightarrow C=5$, suy ra $F(x)=x^2+x+5$. Kết quả khớp đáp án nguồn: A-Đ; B-S; C-Đ; D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $F(x)=\frac{1}{x}$ thì $F^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}\ne \ln |x|$. (Ngược lại, $\ln |x|$ là nguyên hàm của $\frac{1}{x}$.)
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $\int f(x)dx=F(x)+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2+x+C$, $F(0)=5\Rightarrow C=5$, nên $F(x)=x^2+x+5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2\cos x+3)\mathrm{d}x=2\sin x+3x+C$ vì $\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x$ và $\int 3\mathrm{d}x=3x$. Đạo hàm của $2\sin x+3x+C$ là $2\cos x+3=f(x)$, đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 222 (Câu 4: C).

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $F(x)=e^{3x}$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=3e^{3x}$, do đó $\int \left[f(x)+\frac{1}{x}\right]dx=e^{3x}+\ln |x|+C$ với $x\ne 0$. b) Đúng: $F(x)=x^2-e^x+C$, $F(0)=-1+C=2\Rightarrow C=3$, nên $F(1)=1-e+3=4-e$. c) Sai: $\int \sin xdx=-\cos x+C$, không phải $\cos x+C$. d) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=e^{3x}$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $\int f(x)dx=e^{3x}+C$, cộng thêm $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ (với $x\ne 0$) được $e^{3x}+\ln |x|+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\int (2x-e^x)dx=x^2-e^x+C$; $F(0)=-1+C=2\Rightarrow C=3$; $F(1)=1-e+3=4-e$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \sin xdx=-\cos x+C$ vì $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$; còn $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm, $f(x)$ là một nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$, nên $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=6x^2-5$ là $F(x)=2x^3-5x+d$. Với $F(0)=-2$ thì $d=-2$. Vậy $a=2,b=3,c=-5,d=-2$, nên $a+b+c+d=2+3-5-2=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-2).

Câu 1: a) Tìm $\int \left(\sin x-5^x\right)dx$.

$\int \left(\sin x-5^x\right)dx=-\cos x-\frac{5^x}{\ln 5}+C$ (0,25 + 0,25 điểm)

b) Tính $\underset{-5}{\overset{-1}{\int }}\frac{3}{x}dx$.

$\underset{-5}{\overset{-1}{\int }}\frac{3}{x}dx=3\ln |x|{|}_{-5}^{-1}=-3\ln 5$ (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân bất định có tính chất tuyến tính: hiệu, tổng và nhân với hằng số đều đúng (A, B, C đúng). Mệnh đề D sai vì tích phân không có tính chất $\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx$; tích hai hàm phải tính bằng tích phân từng phần hoặc đổi biến. Phản ví dụ: $f(x)=g(x)=x$ thì $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $f(x)\int g(x)dx=x\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{2}$, khác nhau. Khớp đáp án nguồn: D (Mã đề 1001, Câu 10).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $\int \cos xdx=\sin x+C$ (đạo hàm của $-\sin x$ là $-\cos x$). b) Đúng: $F(x)=e^{2x}$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=2e^{2x}$, do đó $\int \left[f(x)-\frac{1}{x}\right]dx=e^{2x}-\ln |x|+C$ với $x\ne 0$. c) Đúng theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$. d) Sai: $F(x)=e^x-x^2+C$; từ $F(0)=-2$ suy ra $1+C=-2\Rightarrow C=-3$, nên $F(1)=e-1-3=e-4\ne e-1$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: SDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $\int \cos xdx=\sin x+C$, không phải $-\sin x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $F(x)=e^{2x}\Rightarrow f(x)=F^{\prime }(x)=2e^{2x}$, nên $\int \left[f(x)-\frac{1}{x}\right]dx=e^{2x}-\ln |x|+C$ với $x\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: theo định nghĩa, $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: $F(x)=e^x-x^2+C$, $F(0)=-2\Rightarrow C=-3$, nên $F(1)=e-4\ne e-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=8x^3-3$ là $F(x)=2x^4-3x+C$. Điều kiện $F(0)=-5$ cho $C=-5$, nên $F(x)=2x^4-3x-5$ với $a=2,b=4,c=-3,d=-5$. Vậy $a+b+c+d=2+4-3-5=-2$, khớp với đáp án nguồn.

Câu 1: a) Tìm $\int \left(\cos x-3^x\right)dx$.

$\int \left(\cos x-3^x\right)dx=\sin x-\frac{3^x}{\ln 3}+C$ (0,25 + 0,25 điểm)

b) Tính $\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\frac{2}{x}dx$.

$\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\frac{2}{x}dx=2\ln |x|{|}_{-3}^{-1}=-2\ln 3$ (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{e^{2x+3}}{2}+C$. Với $F(-1)=\frac{e^1}{2}+C=\frac{e}{2}$ suy ra $C=0$, do đó $F(x)=\frac{e^{2x+3}}{2}$. Khi đó $F(1)=\frac{e^5}{2}$ nên $2F(1)=e^5$, và ${\ln }^3\left[2F(1)\right]=(\ln e^5{)}^3=5^3=125$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (125).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=2x+1$ là $F(x)=x^2+x+C$. Với $F(1)=1$: $1+1+C=1\Rightarrow C=-1$, nên $F(x)=x^2+x-1$. Suy ra $F(-1)=1-1-1=-1$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3\cos xdx=3\sin x+C$ và $\int (-4\sin x)dx=4\cos x+C$. Vậy một nguyên hàm của $f(x)=3\cos x-4\sin x$ là $F(x)=3\sin x+4\cos x+C$. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=3\cos x-4\sin x=f(x)$. Đáp án khớp với key nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{e^{3x+1}}{3}+C$. Với $F(0)=\frac{e}{3}$ ta được $\frac{e}{3}+C=\frac{e}{3}\Rightarrow C=0$, nên $F(x)=\frac{e^{3x+1}}{3}$. Suy ra $F(1)=\frac{e^4}{3}$, do đó $3F(1)=e^4$ và ${\ln }^3\left[3F(1)\right]=(\ln e^4{)}^3=4^3=64$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (64).